专题09 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版

专题09 二次函数与矩形正方形存在型问题

【典例分析】

例1  如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．

（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

例2如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为.

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当时，求的值；

（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？

例3如图，抛物线的顶点为．

（）求抛物线的函数表达式．

（）若抛物线形与关于轴对称，求抛物线的函数表达式．

（）在（）的基础上，设上的点、始终与上的点、分别关于轴对称，是否存在点、（、分别位于抛物线对称轴两侧，且在的左侧），使四边形为正方形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

例4如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，且A点的坐标为（0,1），正方形的边长为.

 (1) 直接写出D、C两点的坐标；

（2）求经过A、D、C三点的抛物线的关系式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度匀速沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停 止．设正方形落在轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点落在轴上时，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．

例5如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F

(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；

(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；

(3)若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．

[来源:]

【变式训练】

1．如图，为坐标原点，边长为的正方形的顶点在轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点顺时针旋转，使点落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（   ）

A．    B．    C．    D．

2．如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；一抛物线y=ax2+bx+c过点M（﹣1，0）且顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是（　　）

A．﹣2≤a≤﹣1    B．﹣2≤a≤﹣    C．﹣1≤a≤﹣    D．﹣1≤a≤﹣

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象过面积为的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则a的值为           ．

4．如图，正方形的顶点，与正方形的顶点，同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为________．

5．如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式及其对称轴；

（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．

6．如图1：矩形OABC的顶点A、B在抛物线上，OC在轴上，且．[来源:Z&X&X&K]

（1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴．

（2）如图2，边长为的正方形ABCD的边CD在轴上，A、B两点在抛物线上，请用含的代数式表示点B的坐标,并求出正方形边长的值．

7．如图，正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线L经过0、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.

(1)点P的坐标为______

(2)求抛物线L的解析式.

(3)求△OAE与△OCE的面积之和的最大值.

8．如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线

段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

（1）填空：点D的坐标为（      ），点E的坐标为（      ）.

（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.

（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E

落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，

并写出相应自变量t的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.



9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；[来源:Z§xx§k.Com]

（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．

10．如图，已 知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．

（1）请直接写出点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．

11．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

12．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.

（1）求此抛物线的函数解析式.

（2）将矩形DEFO向右平移，当点E的对应点E’在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.

（3）若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d的值.

13．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）．

（1）抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C，求该抛物线的解析式；

（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；

（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），将得到矩形OA′B′C′，设A′C′的中点为点E，连接CE，当θ=         时，线段CE的长度最大，最大值为        ．

14．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

15．如图，抛物线与轴交于，两点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，矩形的一条边在线段上，顶点，分别在线段，上．

求点，，的坐标；

若点的坐标为，矩形的面积为，求关于的函数表达式，并指出的取值范围；

当矩形的面积取最大值时，

①求直线的解析式；

②在射线上取一点，使，若点恰好落在该抛物线上，则________．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C的坐标分别为（0，﹣）、（2，0），将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′，边A′B′与y轴交于点D，经过坐标原点的抛物线y=ax2+bx同时经过点A′、C′．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）写出点B′的坐标；[来源:]

（3）点P是边OC′上一点，过点P作PQ⊥OC′，交抛物线位于y轴右侧部分于点Q，连接OQ、DQ，设△ODQ的面积为S，当直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分时，求S的值；

（4）保持矩形OA′B′C′不动，将矩形OABC沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度平移，设平移时间为t秒（t＞0）．当矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出t的取值范围．

17．在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形；

(2)如图2，当点A的横坐标为时，[来源:Z#xx#k.Com]

①求点B的坐标；

②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

18．如图，已知抛物线与直线交于点，．

求抛物线的解析式．

点是抛物线上、之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点、，以、为边构造矩形，设点的坐标为，求，之间的关系式．

将射线绕原点逆时针旋转后与抛物线交于点，求点的坐标．

19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(0，3)、C(－1，0)．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90o，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：

(1)求直线BB′的 函数解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上求出使S△PB′′ 　C′=S矩形OABC的所有点P的坐标．