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专题01 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版
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专题1 引动点产生的面积问题
【类型综述】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
【方法揭秘】
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3
计算面积长用到的策略还有：
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．
思路点拨
1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．
3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)．
代入点C(0, 2)，得2＝－4a．解得．
所以．
顶点坐标为．
考点伸展
第（2）题S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？
从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比与n无关，两条底边的比也与n无关．
如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．
图3 图4
例2如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点，动点从原点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点从点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点、同时出发，当动点到达原点时，点、停止运动．
直接写出抛物线的解析式：________；
求的面积与点运动时间的函数解析式；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
当的面积最大时，在抛物线上是否存在点（点除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，求出点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；[来源:]
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为，然后过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．
满分解答
例3如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；[
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而，
BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．
例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；
（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．
2．先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形．
3．把△CDA与△MDA的面积比，转化为△MCA与△MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比．
满分解答
（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．
我们把面积进行两次转换：
如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．
而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．
因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．
原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为．
所以D，C．
根据yC∶yD＝3∶1，列方程．
整理，得3m2＝4．解得．所以．
所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
第（1）题可以设抛物线的顶点式：
由点O(0,0), A(4，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点．
可设，代入点O(0,0)，得．
例5如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．
满分解答
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
图2 图3 图4
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
图5 图6
例6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
图1 备用图
思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．
满分解答
图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．[来源:]
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．
【变式训练】
1．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（ ）
A．2 B．+1 C．-1 D．2
【答案】B
【解析】
解：如图所示，
连接OD，则OD≤OC+CD，
∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=+1，[来源:ZXXK]
此时OD⊥AB，
2．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．
连接AB、BN，
在Rt△AOB和Rt△ANB中
∴Rt△AOB≌Rt△ANB，
∴AN=AO=2，
设BM=x，
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
4．如图，在中，，，，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，设的面积为运动时间为，则下列图象能反映y与x之间关系的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时，，图象为开口向上的抛物线；
当时，如下图所示，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：B．
5．如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
分两部分：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S△AMN=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，故选A．
考点：动点问题的函数图象．
6．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
【答案】解：（1）．
（2）．
（3）①．
②综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
【解析】
解：（1）如图，四边形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如图1，
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图2），，
在中，，
，
又，，
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
7．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。
【答案】解（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
②设四边形OAMN的面积为S，则
∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小 ∴当t=10时，s最小，最小面积为54。
③如备用图，取N点关于y轴的对称点N/，连结MN/交AO于点P，此时PM＋PN=PM＋PN/=MN长度最小。
当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2
∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）
设直线MN/的函数关系式为，则
解得
∴P（0，） ∴AP=OA－OP=
∴动点P的速度为个单位长度/ 秒
【解析】
8．如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，的面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
【答案】（1）32cm2（2）当移动秒时，四边形的面积为
【解析】
【分析】
（1）找出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）当t=5时，S最大=；（3）P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．
【解析】
（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴抛物线的解析式为：，故答案为：；
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直线CD的解析式为：，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，
综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）或P（，）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．
10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；
（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．
【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）当t=5时，S最大=．
【解析】
试题分析：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得点E的坐标；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=．
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，
∴DE=OE+OD=10﹣t，
∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=﹣t2+5t，
即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，
∴当t=5时，S最大=．
考点：二次函数综合题．
11．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结AC，若
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上有一动点P，当时，求出点的坐标；
（3）如图2所示，连结，是线段上（不与、重合）的一个动点.过点作直线，交抛物线于点，连结、，设点的横坐标为．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1) y=x2-3x+2；；（2）（，）或（，）；（3）t=1时，S△BCN的最大值为1.
【解析】
试题分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；
（2）存在.
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·（2-t），
=MN·（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），
∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．
考点：二次函数综合题．
12．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点F 是边 BC 上的一动点．
（1）若 AE=CF，试证明 DE=DF；
（2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DE⊥DF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明．
（3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请直接写出它的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析;(3）四边形 ECFD的面积是一定值1．
【解析】
（2）DE与DF一定相等．
证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；
13．如图，在中，已知，，，直线，动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点Ｅ也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．
A
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｍ
（1）问运动多少秒时，，并说明理由．
（2）设运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积．
（3）运动多少秒时，与的面积比为3:1．
【答案】（1）2；（2）9-3x；（3）1．2．
【解析】
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∵，，，
∴AF=3cm．
由（1）得，BD=6-2x，
∴
（3）过点A作AG⊥CM于点G，，可得四边形AFCG为矩形，
∴AF=AG，
∵，与的面积比为3:1，
∴BD：CE=3：1，
由（1）得，CE=x，BD=6-2x，
∴（6-2x）：x=3：1，
解得x=1．2．
∴运动1．2秒时，与的面积比为3:1．
考点：全等三角形的判定及性质；方程思想的运用．
14．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；
在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．
【答案】(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；(3) 点的坐标为：，，，
【解析】
解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，
∴点的坐标为：，
∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，
连接，设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点的坐标为：，
则，
∴当时，的面积最大，最大值，
∴的坐标为：；
设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，
∵平行四边形中，点、的坐标分别是、，
∴点的坐标为，
∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点，
15．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，
①若△POA的面积是△POB面积的倍．求点P的坐标；
②当四边形AOBP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）①P（，1），②P（1，0.5）；
（3）满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；
【解析】
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，
由（1）知，抛物线解析式为
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面积是△POB面积的倍．
∴﹣a2+a+1=×a，
∴a = 或a=（舍）
∴P（，1）；
（3）即：满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣ ， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；
点睛：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，解本题的关键是求抛物线解析式.解答（3）时，注意分类讨论.
16如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）当t=2时，S最大=2；（3）N点的坐标（2，2），（2，1），（2，），（2，）．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得N点坐标．
（2）如图1
由题意，得
CE=t，OE=3﹣t，FE=4﹣t，OD=t．
S=FE•OD=（4﹣t）t=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2，
当t=2时，S最大=2；
考点：二次函数综合题．
17．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为．
求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴上．
①当，且时，求此时点的坐标；
②当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】 ，顶点坐标为； ①点；②当时，， ．
【解析】[来源:Z&xx&k.Com]
令，解得或，
∴点，，
作轴于点，
∵点在上，
∴设点
①∵，且，
∴，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴点；
②设，则，
∴，
∴当时，，此时，
所以．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
求抛物线的解析式；
如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标和面积的最大值？
在的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是；（3）点的坐标是、、．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F．
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，由（2），可得点M的横坐标是2．
解得：或．
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，由（2），可得点M的横坐标是2．
∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，）．
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
③如图4，由（2），可得点M的横坐标是2．
∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，）．
19．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．
求抛物线的解析式；[来源:Zxxk.Com]
点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；
条件同，若与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或
【解析】
把，，代入得：，
解得：，，，
抛物线的解析式为；
当∽时，，即，
整理得：，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为；
当∽，则，即，
整理得，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为，
综上所述点P的坐标为或
20．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图甲中，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标；
（3）在图乙中，点C和点C1关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且∠PAB=∠CAC1，求点P的横坐标．
【答案】(1)y＝x2－x－4(2)点M的坐标为(2，－4)(3)－或－
【解析】
(1)抛物线的解析式为y＝ (x－4)(x＋2)＝x2－x－4.
即 ，化简得 ＝(8－2n)，
即3n2－6n－24＝8－2n，或3n2－6n－24＝－(8－2n)，
解得n＝－，或n＝－，或n＝4(舍去)，
∴点P的横坐标为－或－.
【点睛】本题考核知识点：二次函数综合运用. 解题关键点：熟记二次函数的性质，数形结合，由所求分析出必知条件.
专题1 引动点产生的面积问题
【类型综述】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
【方法揭秘】
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3
计算面积长用到的策略还有：
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．
思路点拨
1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．
3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)．
代入点C(0, 2)，得2＝－4a．解得．
所以．
顶点坐标为．
考点伸展
第（2）题S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？
从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比与n无关，两条底边的比也与n无关．
如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．
图3 图4
例2如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点，动点从原点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点从点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点、同时出发，当动点到达原点时，点、停止运动．
直接写出抛物线的解析式：________；
求的面积与点运动时间的函数解析式；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
当的面积最大时，在抛物线上是否存在点（点除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，求出点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；[来源:]
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为，然后过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．
满分解答
例3如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；[
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而，
BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．
例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；
（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．
2．先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形．
3．把△CDA与△MDA的面积比，转化为△MCA与△MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比．
满分解答
（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．
我们把面积进行两次转换：
如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．
而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．
因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．
原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为．
所以D，C．
根据yC∶yD＝3∶1，列方程．
整理，得3m2＝4．解得．所以．
所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
第（1）题可以设抛物线的顶点式：
由点O(0,0), A(4，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点．
可设，代入点O(0,0)，得．
例5如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．
满分解答
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
图2 图3 图4
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
图5 图6
例6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
图1 备用图
思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．
满分解答
图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．[来源:]
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．
【变式训练】
1．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（ ）
A．2 B．+1 C．-1 D．2
【答案】B
【解析】
解：如图所示，
连接OD，则OD≤OC+CD，
∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=+1，[来源:ZXXK]
此时OD⊥AB，
2．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．
连接AB、BN，
在Rt△AOB和Rt△ANB中
∴Rt△AOB≌Rt△ANB，
∴AN=AO=2，
设BM=x，
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
4．如图，在中，，，，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，设的面积为运动时间为，则下列图象能反映y与x之间关系的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时，，图象为开口向上的抛物线；
当时，如下图所示，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：B．
5．如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
分两部分：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S△AMN=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，故选A．
考点：动点问题的函数图象．
6．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
【答案】解：（1）．
（2）．
（3）①．
②综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
【解析】
解：（1）如图，四边形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如图1，
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图2），，
在中，，
，
又，，
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
7．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。
【答案】解（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
②设四边形OAMN的面积为S，则
∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小 ∴当t=10时，s最小，最小面积为54。
③如备用图，取N点关于y轴的对称点N/，连结MN/交AO于点P，此时PM＋PN=PM＋PN/=MN长度最小。
当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2
∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）
设直线MN/的函数关系式为，则
解得
∴P（0，） ∴AP=OA－OP=
∴动点P的速度为个单位长度/ 秒
【解析】
8．如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，的面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
【答案】（1）32cm2（2）当移动秒时，四边形的面积为
【解析】
【分析】
（1）找出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）当t=5时，S最大=；（3）P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．
【解析】
（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴抛物线的解析式为：，故答案为：；
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直线CD的解析式为：，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，
综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）或P（，）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．
10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；
（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．
【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）当t=5时，S最大=．
【解析】
试题分析：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得点E的坐标；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=．
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，
∴DE=OE+OD=10﹣t，
∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=﹣t2+5t，
即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，
∴当t=5时，S最大=．
考点：二次函数综合题．
11．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结AC，若
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上有一动点P，当时，求出点的坐标；
（3）如图2所示，连结，是线段上（不与、重合）的一个动点.过点作直线，交抛物线于点，连结、，设点的横坐标为．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1) y=x2-3x+2；；（2）（，）或（，）；（3）t=1时，S△BCN的最大值为1.
【解析】
试题分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；
（2）存在.
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·（2-t），
=MN·（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），
∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．
考点：二次函数综合题．
12．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点F 是边 BC 上的一动点．
（1）若 AE=CF，试证明 DE=DF；
（2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DE⊥DF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明．
（3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请直接写出它的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析;(3）四边形 ECFD的面积是一定值1．
【解析】
（2）DE与DF一定相等．
证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；
13．如图，在中，已知，，，直线，动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点Ｅ也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．
A
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｍ
（1）问运动多少秒时，，并说明理由．
（2）设运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积．
（3）运动多少秒时，与的面积比为3:1．
【答案】（1）2；（2）9-3x；（3）1．2．
【解析】
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∵，，，
∴AF=3cm．
由（1）得，BD=6-2x，
∴
（3）过点A作AG⊥CM于点G，，可得四边形AFCG为矩形，
∴AF=AG，
∵，与的面积比为3:1，
∴BD：CE=3：1，
由（1）得，CE=x，BD=6-2x，
∴（6-2x）：x=3：1，
解得x=1．2．
∴运动1．2秒时，与的面积比为3:1．
考点：全等三角形的判定及性质；方程思想的运用．
14．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；
在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．
【答案】(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；(3) 点的坐标为：，，，
【解析】
解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，
∴点的坐标为：，
∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，
连接，设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点的坐标为：，
则，
∴当时，的面积最大，最大值，
∴的坐标为：；
设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，
∵平行四边形中，点、的坐标分别是、，
∴点的坐标为，
∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点，
15．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，
①若△POA的面积是△POB面积的倍．求点P的坐标；
②当四边形AOBP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）①P（，1），②P（1，0.5）；
（3）满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；
【解析】
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，
由（1）知，抛物线解析式为
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面积是△POB面积的倍．
∴﹣a2+a+1=×a，
∴a = 或a=（舍）
∴P（，1）；
（3）即：满足条件的点M的坐标（1+， （1﹣））或（1﹣ ， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；
点睛：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，解本题的关键是求抛物线解析式.解答（3）时，注意分类讨论.
16如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）当t=2时，S最大=2；（3）N点的坐标（2，2），（2，1），（2，），（2，）．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得N点坐标．
（2）如图1
由题意，得
CE=t，OE=3﹣t，FE=4﹣t，OD=t．
S=FE•OD=（4﹣t）t=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2，
当t=2时，S最大=2；
考点：二次函数综合题．
17．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为．
求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴上．
①当，且时，求此时点的坐标；
②当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】 ，顶点坐标为； ①点；②当时，， ．
【解析】[来源:Z&xx&k.Com]
令，解得或，
∴点，，
作轴于点，
∵点在上，
∴设点
①∵，且，
∴，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴点；
②设，则，
∴，
∴当时，，此时，
所以．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
求抛物线的解析式；
如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标和面积的最大值？
在的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是；（3）点的坐标是、、．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F．
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，由（2），可得点M的横坐标是2．
解得：或．
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，由（2），可得点M的横坐标是2．
∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，）．
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
③如图4，由（2），可得点M的横坐标是2．
∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，）．
19．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．
求抛物线的解析式；[来源:Zxxk.Com]
点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；
条件同，若与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或
【解析】
把，，代入得：，
解得：，，，
抛物线的解析式为；
当∽时，，即，
整理得：，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为；
当∽，则，即，
整理得，
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为，
综上所述点P的坐标为或
20．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图甲中，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标；
（3）在图乙中，点C和点C1关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且∠PAB=∠CAC1，求点P的横坐标．
【答案】(1)y＝x2－x－4(2)点M的坐标为(2，－4)(3)－或－
【解析】
(1)抛物线的解析式为y＝ (x－4)(x＋2)＝x2－x－4.
即 ，化简得 ＝(8－2n)，
即3n2－6n－24＝8－2n，或3n2－6n－24＝－(8－2n)，
解得n＝－，或n＝－，或n＝4(舍去)，
∴点P的横坐标为－或－.
【点睛】本题考核知识点：二次函数综合运用. 解题关键点：熟记二次函数的性质，数形结合，由所求分析出必知条件.
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