专题06 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版

专题06 二次函数与圆的综合问题

【典例分析】

例1  如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；

①求此抛物线的函数解析式；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

例2已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.

(1)求D点的坐标和圆D的半径；

(2)求sin ∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；

(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．

例4如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．[来源:Z*X*X*K]

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

例5已知圆P的圆心在反比例函数 图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;

（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

例6如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。  

（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【变式训练】

1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为_____．

2．如图，抛物线与x轴交于O、A两点．半径为1的动圆⊙P，圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动； 半径为2的动圆⊙Q，圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动．两圆同时出发，且移动速度相等， 当运动到P、Q两点重合时同时停止运动．设点P的横坐标为t．若⊙P与⊙Q相离，则t的取值范围是                           ．

3．如图，抛物线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， )，平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是_____________．

4．如图，抛物线y＝x2－x与x轴交于O，A两点. 半径为1的动圆（⊙P），圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；半径为2的动圆（⊙Q），圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动. 两圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止运动. 设点P的横坐标为t .

[来源:Z。xx。k.Com]

（1）点Q的横坐标是          （用含t的代数式表示）；

（2）若⊙P与⊙Q 相离，则t的取值范围是           .

6．如图,圆B切y轴于原点O,过定点A(-,0)作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB=,抛物线C经过A、P两点。

(1)求圆B的半径.

(2)若抛物线C经过点B,求其解析式.

(3)设抛物线C交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标.

7．如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A（2，0），点B（0，）。

（1）求圆心的坐标以及圆C的半径； （4分）

（2）设弧OB的中点为D，请求出同时经过O,A,D三个点的抛物线解析式。

并判断该抛物线的顶点是否在圆C上，说明理由。（6分）

（3）若（2）中的抛物线上存在点P（m，n），满足∠APB为钝角，直接写出m的取值范围。（2分）

8．如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆C与x轴相切；

（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；

（1）求证：4a+b=0；[来源:Zxxk.Com]

（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；

（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．

10．已知一元二次方程的一根为．

求关于的函数关系式；

求证：抛物线与轴有两个交点；

设抛物线与轴交于、两点（、不重合），且以为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求，的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．

（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；

（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．

[来源:]

13．如图，已知的圆心在x轴上，且经过、两点，抛物线（m＞0）经过A、B两点，顶点为P。

（1）求抛物线与y轴的交点D的坐标（用m的代数式表示）；

14．如图，抛物线与x轴的两个交点A、B，与y轴交于点C，A点坐标为（4，0），C点坐标（0，－4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）用直尺和圆规作出△ＡＢＣ的外接圆⊙M，（不写作法，保留作图痕迹），并求⊙M的圆心M的坐标；

15．已知直线与抛物线交于点A（1，），与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求的值；

（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时的值；若不存在，请说明理由．

16．已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接写出抛物线解析式；

（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．

①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；

②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

17．已知抛物线y=ax2+bx+c ，当x=0时，有最小值为1 ；且在直线y=2上截得的线段长为4 .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线的任意一点，记点P到X轴的距离为d1，点P 与点 F （0，2）的距离为d2，猜想d1、 d2的大小关系，并证明；

（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。 试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由。

18．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；

（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标． 

19．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆”．如图，A，B，C，D是“果圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，8），且AB=6，点P是以AB为直径的半圆的圆心，P的坐标为（1，0），连接DB，AD，动点E，F分别从A，O两点出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，当F到达B点时两点同时停止，过点F作FG∥BD交AD于点G．[来源:+网Z+X+X+K]

（1）求“果圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）在“果圆”上是否存在一点H，使得△DBH为直角三角形？若存在，求出H点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设M，N分别是GE，GF的中点，求在整个运动过程中，MN所扫过的图形面积．