数学26.3 二次函数y = ax2+bx+c的图像教案

课     题

二次函数的图像与性质（四）

教学目标

1．   掌握抛物线平移的规律．同时感悟类比、转化思想；

2．   掌握画抛物线图像的方法，并能运用图像检验抛物线的对称性．

重点、难点

掌握画抛物线图像的方法．感悟类比思想．

考点及考试要求

会用平移法和描点法作出函数的图像，类比于，归纳总结出抛物线图像的主要性质

教学内容

一【课堂导入】

  通过前几次课的学习，我们知道，二次函数的图像都是抛物线.将抛物线进行适当上下平移或左右平移，可以得到抛物线或抛物线.

问题：如果将抛物线向上平移3个单位，所得到的抛物线表达式是什么？

二【知识精讲】

一、的图像与性质：(注:相当于,下同)

（如图为以为例）

二、的图像与性质：(注:相当于,下同)

（如图以为例）

三、二次函数图象的平移

  1、平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

   2、平移规律：

     在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三【典例精析】

【例1】已知二次函数.

     （1）画出函数图像的草图；（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

（3）根据图像，说出x取哪些值时，函数值y=0，y>0，y<0.

答案 （2）（3,0）（-1,0）（0,3）  （3）x=3或-1时 y=0   -1＜x＜3时 y＞0   当x＜-1或x＞3时  y＜0

【练习】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．

（1）试确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．

答案 （1）a=-1/2   h=1  k=-5   (2)开口向下   对称轴x=1   顶点（1，-5） x≤1时，y随x增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小

【例2】对于函数，请回答下列问题：

(1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

分析：把化为的形式。

解：=

(1)由先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到（答案不唯一）

(2)对称轴：直线      顶点坐标：(-1,2)

【练习】二次函数的图像是由二次函数的图像先向______平移_____个单位；再向_____平移____个单位.   答案 右 1  上  7/4

【例3】已知二次函数的图像与x轴的一个交点是（2,0），求k的值，并求抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴的另一个交点。

       解：将（2,0）代入解析式得：

 解得。

解析式为：

顶点坐标，对称轴：；与x轴的另一个交点为（3,0）

【练习】已知反比例函数y=的图象经过点A（4，），若二次函数y=x2-x的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．

答案 设平移后为y=x2+bx+c，代入B(2,1)  C(1,2)可确定解析式y=x2-5/2x+4  顶点为(5/2,7/8)

【例4】已知二次函数的对称轴是直线，且过点及坐标原点，求此函数的解析式。

答案

【练习】对称轴为的抛物线过点A（6,0）和B（0,4），求抛物线的解析式及顶点坐标

答案（1）由抛物线的对称轴是， 可设解析式为， 把A、B两点坐标代入上式，得， 解之，得， 故抛物线解析式为，顶点为；

四【课堂巩固练习】

1、抛物线可以由先向______平移______单位；再向_______平移_____单位. 答案 右 3/2 上 9/4

2、已知二次函数的图像如图所示，试确定a、b、c、、、、

的符号.   答案 a＜0  b＞0  c＞0  ＞0  ＜0  ＞0  ＜0

3、如图所示，在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴 交于A、B两点（A在B左侧）

与 y轴交于点C，如果点M在y轴右侧的抛物线上，且那么点M的坐标是_______.  答案（1，-6）或（4，6）

4、若已知二次函数的图像如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c;4a-2b+c;2a+b;2a-b.其中大于0的个数是________.答案  2个

5、二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为………………………………………………………………………(     )答案 D

   A. B. C. D.

五【课后作业】

一、   选择题：

1. 抛物线的对称轴是（    ）答案 D

A. 直线  B. 直线   C. 直线  D. 直线

2. 二次函数的图象如右图，则点在（    ）答案 D

A. 第一象限     B. 第二象限

C. 第三象限     D. 第四象限

3. 已知二次函数，且，，则一定有（）答案 D

A.   B.   C.   D. ≤0

4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（    ）答案 A

A. ，     B. ，

C. ，     D. ，

5. 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（    ）答案 D

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（    ）答案 D

7. 抛物线的对称轴是直线（    ）答案 D

A.    B.     C.    D.

8. 二次函数的最小值是（    ）答案 B

A.     B. 2     C.     D. 1

9. 二次函数的图象如图所示，若，，则（    ）答案 B

A. ，，

B. ，，

C. ，，

D. ，，

二、填空题：

10. 将二次函数配方成的形式，则y=______________________.答案
11. 已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.答案 有两个不同的实数解
12. 已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.答案 1
13. 请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.答案 开口方向相同
14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：

甲：对称轴是直线；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：   答案不唯一 如y=1/5x2-8/5x+3

15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.答案不唯一  如y=（x-1）2
16. 如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A点的坐标是________________.答案 （2-,0）

三、解答题：

1. 已知函数的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式；

（2）当时，求使y≥2的x的取值范围.

 答案（1）函数y=x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）， ∴9+3b﹣1=2，解得b=﹣2； ∴函数解析式为y=x2﹣2x﹣1．  （2）当x=3时，y=2，根据图象知，当x≥3时，y≥2； ∴当x＞0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．

2、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

答案 （1）∵A（1，0）在抛物线上， ∴可把A点坐标代入方程得-12+5×1+n=0， 解得n=-4，  ∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4； （2）把x=0代入抛物线方程得y=-4，  ∴B点坐标为（0，-4），  ∵△PAB是以AB为腰的等腰三角形， ∴可分两种情况：①PA=AB；②PB=AB， 若PA=AB，则P点和B点关于原点对称， ∴P点坐标为（0，4）； 若PB=AB，且， ∴P点坐标为。