2021高考数学全国甲卷（理）真题与深度分析

这是一份2021高考数学全国甲卷（理）真题与深度分析，共35页。

2021高考数学全国甲卷（理）真题与深度解析
本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等,其中【解析】中尽可能提供多种解法供参考.本资料部分内容来源于网络。
一、 试卷使用地区
2021年全国甲卷即原来的全国III卷,使用地区为四川、云南、贵州、广西、西藏
二、试卷总评
2021年高考数学全国甲卷理科命题, 坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,命制具有教育意义的试题,以增强考生社会责任感,引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观. 如第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一——三角高程测量法为背景设计,要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型,情境真实,突出理论联系实际.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和“机械刷题”现象. 2021年高考数学全国甲卷理科命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如第18题给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题,充分考查考生对数学本质的理解,引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中,重视培养数学核心素养,克服“机械刷题”现象.该套试题突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,通过设计真实问题情境,体现数学的应用价值.如第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果,以此设计问题,考查考生分析问题和数据处理的能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质,健全人格,锻炼意志.本套试卷对此也有所体现,如第4题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力.总之,2021年高考数学全国甲卷理科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,试题有坡度,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
三、考点分布细目表
题号
命题点
模块（题目数）
1
集合的交集
集合（共1题）
2
频率分布直方图
概率与统计（共3题）
3
复数的概念与运算
复数（共1题）
4
指数与对数的应用
函数（共3题）
5
双曲线的几何性质
解析几何（共3题）
6
三视图
立体几何（共3题）
7
等比数列、充分条件与必要条件
1.数列（共2题）
2.常用逻辑用语（共1题）
8
解三角形的应用
三角函数与解三角形（共3题）
9
三角变换
三角函数与解三角形（共3题）
10
古典概型
概率与统计（共3题）
11
球与几何体的切接
立体几何（共3题）
12
函数的性质
函数（共3题）
13
导数的几何意义
导数（共2题）
14
平面向量的数量积及坐标运算
平面向量（共1题）
15
椭圆
解析几何（共3题）
16
三角函数的图象与性质
三角函数与解三角形（共3题）
17
独立性检验
概率与统计（共3题）
18
等差数列
数列（共2题）
19
线线垂直的证明及二面角的计算
立体几何（共3题）
20
抛物线及直线与圆的位置关系
解析几何（共3题）
21
导数的应用
1.函数（共3题）
2.导数（共2题）
22
极坐标与参数方程
选修4-4
23
绝对值函数的图象及恒成立问题
选项4-5
四、试题深度解读
1. 设集合,则（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】B
【解析】因为,所以,
故选B.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合均为不等式的解集,但无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集概念的考查,该题难度与往年老教材全国卷III的文科集合试题难度相当.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【命题意图】本题考查频率分布直方图及样本的数字特征,考查数据分析与直观想象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选C.
【点评】统计图表是高考考查的热点,但考查方式不限于课本涉及的统计分布直方图及茎叶图,生产与生活中常用的折线图、柱形图、扇形图、雷达图在高考中多次考查.
【知识链接】
1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点
(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)直方图中纵轴表示,故每组样本的频率为组距×,即矩形的面积．
(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
(3)平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.
3. 已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解法一：因为,所以.故选B.
解法二：因为,所以.故选B.
解法三：因为,设,由可得,所以,即,所以,故选B.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
4. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【命题意图】本题考查对数式与指数式的互化,考查数学运算的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】由,当时,,则.
故选C.
【点评】本题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和近似求解能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质,健全人格,锻炼意志.
【知识链接】若,则.
5. 已知是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查双曲线的定义及几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】A
【解析】因为,由双曲线的定义可得,
所以,；因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.故选A.
【点评】双曲线是高考必考问题,一般作为客观题考查,若单独考查双曲线的定义与几何性质,一般为基础题,若与其他知识交汇考查,可能会出现难度较大的客观题.
【知识链接】
1. 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1－PF2|＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线－＝1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
6. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G．该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是（ ）

A. B. C. D.
【命题意图】本题考查三视图的识别,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】D
【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,

所以其侧视图为,故选D.
【点评】有关三视图的试题,往年大多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年考查三视图的识别,不需要计算,难度也有所降低,属于送分题.
【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
7. 等比数列的公比为q,前n项和为,设甲：,乙：是递增数列,则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【命题意图】本题考查数列的单调性及充分条件与必要条件,考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易
【答案】B
【解析】
解法一：是递增数列,所以是是递增数列必要不充分条件,故选B.
解法二：令,则,但不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件．若,则
是摆动数列,又,所以若是递增数列,必有成立,所以甲是乙的必要条件．
故选B．
【点评】要否定一个结论,有时可通过构造反例来完成.
【知识链接】
1.充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
2. 从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若A⊉B,则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影满足,．由C点测得B点的仰角为,与的差为100；由B点测得A点的仰角为,则A,C两点到水平面的高度差约为（）（ ）

A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【命题意图】本题考查解三角形在实际问题中的应用,考查数学建模及直观想象的核心素养.难度：中等偏易
【答案】B
【解析】

过作,过作,故,
由题,易知为等腰直角三角形,所以．所以．
因为,所以,在中,由正弦定理得：
,而,
所以所以．故选B．
【分析】本题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一——三角高程测量法为背景设计,要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型,情境真实,突出理论联系实际,求解的关键是将已知所求量转化到一个三角形中,借助正弦定理或余弦定理求解.
【知识链接】
求距离、高度问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理．
9.若,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中点偏易
【答案】A
【解析】由可得,
,,,解得,
,.故选A.
【点评】三角函数与解三角形是高考中的重点,若解答题中没有解三角形,则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题,这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.
【知识链接】
1. 利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差、倍的关系．
10. 将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查排列组合与古典概型.考查逻辑推理的核心素养.难度：中等
【答案】C
【解析】
解法一：先将4个1随机排成一行, 4个1之间与两端有5个空,利用插空法排0,若2个0相邻,则有种排法,若2个0不相邻,则有种排法,所以2个0不相邻的概率为.故选C.
解法二：把4个1和2个0随机排成一行,排法种数为,2个0相邻的排法种数为,所以2个0不相邻的概率为,故选C.
【命题意图】概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.求解本题的关键是正确计数,注意4个1和2个0分别为相同元素,不要误用排列计数.
【知识链接】
1. 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
2. 古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法、排列组合法,具体应用时可根据需要灵活选择．
11. 已如A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且,则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查球的几何性质及棱锥的体积,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等
【答案】A
【解析】,为等腰直角三角形,,则外接圆的半径为,又球的半径为1,设到平面的距离为,则,
所以.故选A.
【点评】球与几何体的切接是高考的热点与难点,常作为客观题中的压轴题,考查热点是几何体的外接球,此类问题要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.
【知识链接】
1.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解．
2.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解,其中公式使用频率非常高,考生一定要重视．
12. 设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,．若,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查函数的奇偶性与周期性,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难
【答案】D
【解析】
解法一：由是奇函数,所以,令得,
令,,
又是偶函数,所以,令得,
所以,所以,再由可得,所以时,,所以
．故选D.
解法二：由是奇函数,所以,用代换上式中的x可得,由是偶函数,所以,所以
,所以,所以,,中令得,所以,所以时,,所以,故选D．
【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】
【解析】因为,所以,,
故切线方程为,即．
【点评】用导数的几何意义研究曲线的切线,是高考的一个热点,内容主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、公切线问题,由切线满足条件求参数或参数范围等,高考中既有基础客观题,也有压轴客观题,时而也会以解答题形式考查.
【知识链接】导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
14. 已知向量．若,则________．
【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】.
【解析】
解法一：,,解得.
解法二：因为 所以,,因为,所以,解得.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略
①求两向量的夹角：cosθ＝,要注意θ∈[0,π]．
②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝;|a±b|＝;若a＝(x,y),则|a|＝.
15. 已知为椭圆C：的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________．
【命题意图】本题考查椭圆的定义及几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点,也关于原点对称,所以四边形为平行四边形,又,所以四边形为矩形,设,则,
所以, ,即四边形面积等于.
【点评】注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离问题,常利用椭圆的定义求解.本题通过椭圆定义整体代入,直接求mn,避开了复杂的运算.
【知识链接】椭圆中几个常用的结论：
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|,r2＝|PF2|,∠F1PF2＝θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大；
②S＝b2tan＝c,当＝b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin＝.
(3)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则
①弦长l＝＝|y1－y2|；②直线AB的斜率kAB＝－.
16. 已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________．
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：中等偏难

【答案】2
【解析】
解法一：由图可知,即,所以；由五点法可得,即；所以.因为,；
所以由可得或；因为,又,符合题意,可得的最小正整数为2.
解法二：根据图象估值,或者干脆拿出三角板测量一下,由图象估计y轴左侧第1个零点到原点距离是y轴右侧第1个零点到原点距离的一半,所以y轴左侧第1个零点为,,,y轴右侧第一个对称轴为,,显然1不符合条件.结合估值可知2在y轴右侧第1个零点与第2个零点之间,符合条件.
【点评】解法二是非常规解法,但在求解与某些给出图象的问题时比较实用,法无定法,得分是硬道理！
【知识链接】根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【命题意图】本题考查频率的计算与独立性检验,考查数据分析与数学建模的核心素养.难度：容易
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
【点评】作为解答题,本题实在太容易了,只相当于课本基础题的难度,且这种题型平时训练较多,该题就是送分题.
【知识链接】独立性检验的一般步骤
(1)假设两个分类变量x与y没有关系；
(2)计算出K2的观测值,其中
；
(3)把K2的值与临界值比较,作出合理的判断．
注意：在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆．
18. 已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分．
【命题意图】本题考查等差数列的证明及与的关系,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：中等
【解析】选①②作条件证明③：
设,则,
当时,；
当时,；
因为也是等差数列,所以,解得；
所以,所以.
选①③作条件证明②：
因为,是等差数列,
所以公差,
所以,即,
因为,
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设,则,
当时,；
当时,；
因为,所以,解得或；
当时,,当时,满足等差数列的定义,此时为等差数列；
当时,,不合题意,舍去.
综上可知为等差数列.
【点评】该题是“结构不良问题”,在老教材高考中首次出现,题目给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题,充分考查考生对数学本质的理解,引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中,重视培养数学核心素养,克服“机械刷题”现象.这种题型对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查,体现了素养导向、能力为重的命题原则.
【知识链接】等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列．
19. 已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点．

（1）证明：；
（2）当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?
【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、二面角的计算,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.
【解析】解法一：（1）取BC中点G,连接EG,则EG∥,共面,
且,所以,
连接,由四边形为正方形,可得,
因为,所以平面,
因为平面,所以.
因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
（2）由（1）知两两垂直．以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图．

所以．由题设（）．
设平面的法向量为,因为,
所以,即．
令,则
因为平面的法向量为,
设平面与平面的二面角的平面角为,
则．
当时,取最小值为,
此时取最大值为．
所以,此时．
解法二：因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
又,所以平面．
所以两两垂直．
直三棱柱中
因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
又,所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图．

所以,
．
由题设（）．
（1）因为,
所以,所以．
（2）设平面的法向量为,
因为,
所以,即．
令,则
因为平面的法向量为,
设平面与平面的二面角的平面角为,
则．
当时,取最小值为,
此时取最大值为．
所以,此时．
【点评】立体几何解答题是每年必考题,该题一般分2问,第1问一般考查线面位置关系的证明,第2问一般考查空间角的计算.第1问失分主要原因是步骤不规范,第2问求空间角一般用空间向量求,该问失分主要原因是运算失误.
【知识链接】
1.证明线面位置关系应注意的问题
（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
（3）证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
利用向量法计算二面角大小的常用方法
（1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
20. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上,直线l：交C于P,Q两点,且．已知点,且与l相切．
（1）求C,的方程；
（2）设是C上的三个点,直线,均与相切．判断直线与的位置关系,并说明理由．
【命题意图】本题考查圆与抛物线的方程及直线与圆、抛物线的位置关系,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：中等偏难.
【解析】（1）依题意设抛物线,
,
所以抛物线的方程为,
与相切,所以半径为,
所以的方程为；
（2）设,则互不相等,
所以方程为,
因为,所以,
展开整理得所以直线方程为,
同理直线的方程为,
直线的方程为,
与圆相切,
整理得,
同理可得
所以为方程的两根,
,
到直线的距离为：
,
所以直线与圆相切.
【点评】解析几何解答题是高考数学必考题,该题一般分2问,第1问通常为求曲线的方程,难度较小,第2问通常为直线与圆锥曲线的位置关系,一般运算量比较大,相当一部分同学会因为运算能力不过关而失分.
【知识链接】过不同两点的直线方程为,无论AB斜率是否存在,上式都成立、
21. 已知且,函数．
（1）当时,求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点,求a取值范围．
【命题意图】本题考查用导数研究函数的单调性及函数图象交点个数问题.难度：难.
【解析】（1）当时,,
令得,当时,,当时,,
∴函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）解法一：,
设,则问题转化为有2个不同实根,
,
若,则,在上是减函数,
方程最多有一个实根,不满足题意.
若,则时,是减函数,时,是增函数,
,
因为在及上的值域均为,
所以只需,即,即,
设,则,
所以在上是增函数,在上是减函数,且,
所以的取值范围是.
解法二：,
设函数,
则,令,得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又,当趋近于时,趋近于0,
所以曲线与直线有且仅有两个交点,即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
【点评】本题易错之处一是在求函数单调性时忽略,二是解法二中忽略在上,得出的错误结论
【知识链接】利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略
研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据图象判断函数的零点个数．
22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点．
【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化,圆的几何性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得,
将代入可得,即,
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设,设
,
,
则,即,
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,
则圆心距为,,两圆内含,
故曲线C与没有公共点.
【点评】本题是一道基础题,与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.
【知识链接】
1.圆的参数方程
(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)；
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．
23. 已知函数．

（1）画出和的图像；
（2）若,求a的取值范围．
【命题意图】本题考查绝对值函数图象的画法及不等式恒成立问题,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】（1）可得,画出图像如下：

,画出函数图像如下：

（2）,
如图,在同一个坐标系里画出图像,
是平移了个单位得到,
则要使,需将向左平移,即,
当过时,,解得或（舍去）,
则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.

【点评】求解本题的关键是正确作出的图象,作含有绝对值的函数的图象,一般把函数转化为分段函数作图,第2问不少学生想不到利用图象求解,陷入复杂的分类计算之中,导致失分,故提醒考生求解数学问题不要“得意忘形”.
【知识链接】作y=|mx－a||nx－b|型函数图象的步骤．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号分别作出每个个区间上的图象,即得所给函数的图象