2021高考数学全国甲卷（文）真题与深度分析

这是一份2021高考数学全国甲卷（文）真题与深度分析，共30页。

试卷使用地区
2021年全国甲卷即原来的全国 = 3 \* ROMAN III卷,使用地区为四川、云南、贵州、广西、西藏
二、试卷总评
2021年高考数学全国甲卷文科命题,落实高考内容改革总体要求,贯彻德智体美劳全面发展教育方针,聚焦核心素养,突出关键能力考查,体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式. 2021年高考数学全国甲卷文科命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如第21题给出已知条件,要求考生根据条件推测结论,并进行证明,充分考查考生对数学本质的理解,引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中,重视培养数学核心素养.该套试题突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,通过设计真实问题情境,体现数学的应用价值.如第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果,以此设计问题,考查考生分析问题和数据处理的能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质,健全人格,锻炼意志.本套试卷对此也有所体现,如第6题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力.此外,该套试卷还具有入手容易的特点,如前9道题都为常规试题,且运算量都比较少,这样的设置充分考虑的文理的不同,能迅速稳定考生生情绪,让考生考出真实水平,此外保证文科试卷更容易的前提条件下,为与新教材文理同卷接轨,今年的文理相同题目及姊妹题也有所增加.总之,2021年高考数学全国甲卷文科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,试题有坡度,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
三、考点分布细目表
四、试题深度解读
1. 设集合,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】B
【解析】因为,所以,故选B.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合均为不等式的解集,但无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集概念的考查,该题难度与往年老教材全国卷 = 3 \* ROMAN III的文科集合试题难度相当.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【命题意图】本题考查频率分布直方图及样本的数字特征,考查数据分析与直观想象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选C.
【点评】统计图表是高考考查的热点,但考查方式不限于课本涉及的统计分布直方图及茎叶图,生产与生活中常用的折线图、柱形图、扇形图、雷达图在高考中多次考查.
【知识链接】
1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点
(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)直方图中纵轴表示eq \f(频率,组距),故每组样本的频率为组距×eq \f(频率,组距),即矩形的面积．
(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
(3)平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.
3. 已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解法一：因为,所以.故选B.
解法二：因为,所以.故选B.
解法三：因为,设,由可得,所以,即,所以,故选B.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
4. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查函数的单调性,考查数学抽象的核心素养.难度：容易
【答案】D
【解析】对于A,为上的减函数,不满足题意；对于B,为上的减函数,不满足题意；对于C,在为减函数,不满足题意；对于D,为上的增函数,满足题意,故选D.
【点评】本题选择基本的一次函数、二次函数、指数函数、幂函数,判断其单调性,既突出了对重点知识的考查,又照顾了试题的难度.
【知识链接】
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
3.若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数． 函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减
5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质及点到直线距离公式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.
【答案】A
【解析】
解法一：由题意可知,双曲线的渐近线方程为：,即,结合对称性,不妨考虑点到直线距离：.故选A.
【点评】双曲线的几何性质是高考考查热点,一般为容易题,若与圆等其他曲线结合在一起考查,常作为客观题的压轴题
【知识链接】
1. 两种距离
(1)点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
2.研究双曲线的几何性质常与焦点分不开,双曲线的性质重点是渐近线方程和离心率,在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)满足关系式e2＝1＋k2.
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
【命题意图】本题考查对数式与指数式的互化,考查数学运算的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】由,当时,,则.
故选C.
【点评】本题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和近似求解能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质,健全人格,锻炼意志.
【知识链接】若,则.
7. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G．该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查三视图的识别,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】D
【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,
所以其侧视图为,故选D.
【点评】有关三视图的试题,往年大多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年考查三视图的识别,不需要计算,难度也有所降低,属于送分题.
【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
8. 在中,已知,,,则（ ）
A. 1B. C. D. 3
【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】D
【解析】
解法一：设,可得：,
即：,解得：或（舍去）,所以.故选D.
解法二：由正弦定理得,即,解得,
由题意可知C为锐角,所以=,所以=,再由正弦定理可得,
所以BC=3.
【点评】给出三角形的两边与一边所对的角求第三边,可以用余弦定理整理出关于第三边的一元二次方程（解法一）,也可以先用正弦定理求出其中一个角,再利用正弦定理或余弦定理求第三边（解法二）.
【知识链接】已知三角形的三条边求三个角,可用正弦定理,已知三角形的两边及其夹角求第三边可用正弦定理；已知三角形的两边与其中一边的对角,解三角形,可用正弦定理也可用余弦定理,但要注意三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
9.记为等比数列的前n项和.若,,则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【命题意图】本题考查等比数列基本量的计算,考查数学运算的核心素养.
【答案】A
【解析】
解法一：由题意可知等比数列的公比,所以,解得,,所以,故选A.
解法二：由等比数列的通项公式可得,所以,解得,所以,故选A.
解法三：∵为等比数列的前n项和,∴,,成等比数列∴,∴,∴.故选A.
【点评】高考全国卷中,若解答题没有数列题,客观题中一般有2道数列题,数列客观题一般具有小巧活的特点,恰当使用数列的有关性质可提高解题速度.
【知识链接】
1. 在等比数列五个基本量a1,q,n,an,Sn中,已知其中三个量,可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量,计算有时要整体代换,根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．
2.设等比数列的公比为q,前n项和为,则
3. 设等比数列前n项和为,若 的各项均不为零,则该数列为等比数列.
10. 将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【命题意图】本题考查古典概型.考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易
【答案】C
【解析】将3个1和2个0随机排成一行,可以是：
,
共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为：,
共6种方法,故2个0不相邻的概率为,故选C.
【点评】概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.求解本题的关键是正确计数,注意4个1和2个0分别为相同元素,不要误用排列计数.
【知识链接】古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法,具体应用时可根据需要灵活选择,注意用列举法时要按照一定的标准进行列举,防止重复与遗漏．
11.若,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等
【答案】A
【解析】由可得,
,,,解得,
,.故选A.
【点评】三角函数与解三角形是高考中的重点,若解答题中没有解三角形,则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题,这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.
【知识链接】
1. 利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差、倍的关系．
12. 设是定义域为R的奇函数,且.若,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查函数的奇偶性与周期性,考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：中等.
【答案】C
【解析】
解法一：由题意可得,而,.故选C.
解法二：因为是奇函数,所以,,所以,故选C.
【点评】函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
13. 若向量满足,则_________.
【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】
【解析】解法一：∵,∴
∴.
解法二：.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于常规题型,难度与课本练习题难度相当,且学生训练比较多,所以此题属于得分题.
【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略
= 1 \* GB3 ①求两向量的夹角：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．
= 2 \* GB3 ②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
= 3 \* GB3 ③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a);|a±b|＝eq \r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),则|a|＝eq \r(x2＋y2).
14. 已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为,则该圆锥的侧面积为________.
【命题意图】本题考查圆锥侧面积的计算,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】
【解析】∵,∴,∴,∴.
【点评】有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题,这是解决立体几何问题常用的基本方法．
【知识链接】
1.计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积,可以分别求各面面积,再求和,对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等,它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法,应熟练掌握．利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题．
15. 已知函数的部分图像如图所示,则_______________.
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：中等偏易
【答案】
【解析】由题意可得：,
当时,,
令可得：,据此有.
【点评】本题易错之处是根据错误认为,得出的错误结论,提醒考生注意：根据零点确定的值要注意区分该零点是在递增区间内还是递减区间内.
【知识链接】根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
16. 已知为椭圆C：的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________．
【命题意图】本题考查椭圆的定义及几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点,也关于原点对称,所以四边形为平行四边形,又,所以四边形为矩形,设,则,
所以, ,即四边形面积等于.
【点评】注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离问题,常利用椭圆的定义求解.本题通过椭圆定义整体代入,直接求mn,避开了复杂的运算.
【知识链接】椭圆中几个常用的结论：
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|,r2＝|PF2|,∠F1PF2＝θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大；
②S＝b2taneq \f(θ,2)＝ceq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0)),当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y0))＝b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(3)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则
①弦长l＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；②直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
【命题意图】本题考查频率的计算与独立性检验,考查数据分析与数学建模的核心素养.难度：容易
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
【点评】作为解答题,本题实在太容易了,只相当于课本基础题的难度,且这种题型平时训练较多,该题就是送分题.本题文科与理科试题相同,最近两年的高考试卷在使文科试题更容易的前提下,文理相同试题有所增加.
【知识链接】独立性检验的一般步骤
(1)假设两个分类变量x与y没有关系；
(2)计算出K2的观测值,其中
；
(3)把K2的值与临界值比较,作出合理的判断．
注意：在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆．
18. 记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明：是等差数列.
【命题意图】本题考查等差数列的证明,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
【证明】∵数列等差数列,设公差为
∴,
∴,
∴当时,
当时,,满足,
∴的通项公式为,
∴
∴是等差数列.
【点评】本题与理科18题是姊妹题,只是比理科试题更容易.注意在利用求通项公式时一定要分与两种情况讨论.
【知识链接】等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列．注意证明是等差数列,只能用（1）（2）.
19. 已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点,证明：.
【命题意图】本题考查几何体体积的计算及线面位置关系的证明,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.
【解析】(1)解法一：如图所示,连结AF,
由题意可得：,
由于AB⊥BB1,BC⊥AB,,故平面,
而平面,故,
从而有,
从而,
则,为等腰直角三角形,
,.
解法二：因为AB⊥BB1,BC⊥AB,,所以平面,
所以=.
(2)解法一：由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体,如图所示,取棱的中点,连结,
正方形中,为中点,则,
又,
故平面,而平面,
从而.
解法二：（1）取BC中点G,连接EG,则EG∥,共面,
且,所以,
连接,由四边形为正方形,可得,
因为,所以平面,
因为平面,所以.
因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
【点评】立体几何解答题是高考全国卷必考题,难度中等,一般分2问,通常1问考查平行或垂直的证明,1问考查求几何体的表面积、体积或距离问题,对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,对于求几何体的表面积、体积或距离问题,运算错误是失分的主要原因.
【知识链接】
1.证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
2．证明面面垂直的常用方法及关键
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化．
在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直．
3.证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
20. 设函数,其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.
【命题意图】本题考查函数的单调性及函数图象交点问题.考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
【解析】（1）函数的定义域为,又,
因为,故,
当时,；当时,；
所以的递减区间为,递增区间为.
（2）由（1）得在上递减,在上递增,
所以,
因为的图象与轴没有公共点,,
所以即.
所以a的取值范围是 .
【点评】注意第2问的求解要规范,的图象与轴没有公共点,有两种可能,一是恒成立,二是恒成立,由排除恒成立这种可能,所以恒成立,这一点必须交代清楚.
【知识链接】含参数函数单调性的讨论
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时,一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：
①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根,求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．
(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到),f(x)在R上是增函数．
22.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上,直线l：交C于P,Q两点,且．已知点,且与l相切．
（1）求C,的方程；
（2）设是C上的三个点,直线,均与相切．判断直线与的位置关系,并说明理由．
【命题意图】本题考查圆与抛物线的方程及直线与圆、抛物线的位置关系,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：中等偏难.
【解析】（1）依题意设抛物线,
,
所以抛物线的方程为,
与相切,所以半径为,
所以的方程为；
（2）设,则互不相等,
所以方程为,
因为,所以,
展开整理得所以直线方程为,
同理直线的方程为,
直线的方程为,
与圆相切,
整理得,
同理可得
所以为方程的两根,
,
到直线的距离为：
,
所以直线与圆相切.
【点评】解析几何解答题是高考数学必考题,该题一般分2问,第1问通常为求曲线的方程,难度较小,第2问通常为直线与圆锥曲线的位置关系,一般运算量比较大,相当一部分同学会因为运算能力不过关而失分.
【知识链接】过不同两点的直线方程为,无论AB斜率是否存在,上式都成立、
22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点．
【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化,圆的几何性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得,
将代入可得,即,
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设,设
,
,
则,即,
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,
则圆心距为,,两圆内含,
故曲线C与没有公共点.
【点评】本题是一道基础题,与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.
【知识链接】
1.圆的参数方程
(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcsθ,y＝rsinθ))(θ为参数)；
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcsθ,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)．
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．
23. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若,求a的取值范围．
【命题意图】本题考查绝对值函数图象的画法及不等式恒成立问题,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】（1）可得,画出图像如下：
,画出函数图像如下：
（2）,
如图,在同一个坐标系里画出图像,
是平移了个单位得到,
则要使,需将向左平移,即,
当过时,,解得或（舍去）,
则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.
【点评】求解本题的关键是正确作出的图象,作含有绝对值的函数的图象,一般把函数转化为分段函数作图,第2问不少学生想不到利用图象求解,陷入复杂的分类计算之中,导致失分,故提醒考生求解数学问题不要“得意忘形”.
【知识链接】作y=|mx－a||nx－b|型函数图象的步骤．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号分别作出每个个区间上的图象,即得所给函数的图象
题号
命题点
模块（题目数）
1
集合的交集
集合（共1题）
2
频率分布直方图
概率与统计（共3题）
3
复数的概念与运算
复数（共1题）
4
函数的单调性
函数（共4题）
5
双曲线
解析几何（共3题）
6
指数与对数的应用
函数（共4题）
7
三视图
立体几何（共3题）
8
解三角形
三角函数与解三角形（共3题）
9
等比数列
数列（共2题）
10
古典概型
概率与统计（共3题）
11
三角变换
三角函数与解三角形（共3题）
12
函数的性质
函数（共4题）
13
平面向量的数量积
平面向量（共1题）
14
圆锥的侧面积
立体几何（共3题）
15
三角函数的图象与性质
三角函数与解三角形（共3题）
16
椭圆
解析几何（共3题）
17
独立性检验
概率与统计（共3题）
18
等差数列
数列（共2题）
19
线线垂直的证明及体积的计算
立体几何（共3题）
20
函数的单调性及函数图象交点个数
1.函数（共4题）
2.导数（共1题）
21
圆与抛物线
解析几何（共3题）
22
极坐标与参数方程
选修4-4
23
绝对值函数的图象及恒成立问题
选项4-5
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828