类型二 阶梯费用类问题（原卷+解析）

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类型二阶梯费用类问题
【典例1】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．















【典例2】 (2020 宁波10分)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将
一批物资运往 B地,行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与B地联系. B地
收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲
后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地两辆货车
离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示，(通
话等其他时间忽略不计)
(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于x的函数表达式;
(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常
到达B地的时间最多晚1个小时,间货车乙返回B地的速度至少为每小时
多少千米?















【典例3】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/kg)
50
60
70
销售量y(kg)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？



















【典例4】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：
y＝
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．



















【典例5】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p＝日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图3－3－1所示．
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？
(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．


















【典例6】小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：

图3－3－2
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？












【典例7】月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)

图3－3－3
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式．
(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．











【典例8】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格

销量(斤)
80－3x
120－x
储存和损耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
(3) 在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

类型二阶梯费用类问题
【典例1】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2） 这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）．
【解析】
【分析】
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；
（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，
解得：，
即y与x的函数关系式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，
解得：，

∵，
∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，
可得：，解得：m≥3，
∵
∴
故m的取值范围为：．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．
【典例2】 (2020 宁波10分)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将
一批物资运往 B地,行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与B地联系. B地
收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲
后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地两辆货车
离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示，(通
话等其他时间忽略不计)
(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于x的函数表达式;
(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常
到达B地的时间最多晚1个小时,间货车乙返回B地的速度至少为每小时
多少千米?

【答案】
（1）y=80x-128(1.6≤x≤3.1)（2）至少需要75千米/小时
【解析】
（1）设函数表达式为y=kx+b(k≠0)
把(1.6, 0)，(2.6, 80)代入y=kx+b, 得

解得
∴y关于x的函数表达式为y=80x- 128;
由图可知200-80=120 (千米)，120➗80=1.5 (小时)，1.6+1.5=3.1 (小时) ,
∴x的取值范围是1.6≤x≤3.1.

∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y=80x-128 (1.6≤x≤3.1) ;
(2)当y=200-80=120时,
120=80x-128 ,
解得x=3.1,
由图可知，甲的速度为 (千米/小时) ,货车甲正常到达B地的时间为：
200➗ 50=4 (小时) ,18➗ 60=0.3 (小时)，4+1=5 (小时)，5-3.1-0.3=1.6 (小时) ,
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时,
∴1.6v≥120,
解得v≥75.
答:货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时.
【总结】
(1)由待定系数法可求出函数解析式;
(2)根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案.
【点评】
本题考查了一次函数的应用;待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键.
【典例3】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/kg)
50
60
70
销售量y(kg)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
（2）w=－2x2＋280x－8 000(40≤x≤80)；
（3）当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
【解析】(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，
由表中的数据得解得
∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
(2)根据题意得W＝y ·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－
8 000(40≤x≤80)；
(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1 800，∴当售价x在满足 40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足 70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
【典例4】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：
y＝
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
【答案】（1）W＝
（2）800万（3）45≤x≤55.
【解析】(1)W＝
(2)由(1)知，当40≤x