2021年河南省汝阳县中招第二次模拟考试数学试题

汝阳县2021年中招第二次模拟考试

数学

注意事项：

1．本试卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．

2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡，答在试卷上的答案无效．

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．

1．的绝对值是（    ）．

A．    B．    C．6    D．

2．下面立体图形中，从左面看到的平面图形与其他三个不一样的是（    ）．

A．  B．  C． D．

3．下列调查中，适合抽样调查的是（    ）．

A．调查本班同学的体育达标情况

B．了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况

C．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况

D．调查黄河的水质情况

4．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．为祝贺辛丑年的到来，用一副七巧板（如图①），拼成了“牛气冲天”的图案（如图②），则图②中（    ）．

A．360°    B．270°    C．225°    D．180°

5．计算：，其中第一步运算的依据是（    ）．

A．幂的乘方法则       B．乘法分配律

C．积的乘方法则       D．同底数幂的乘法法则

6．，两点在反比例函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为，，下列结论正确的是（    ）．

A．   B．   C．   D．

7．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（    ）．

A．有两个不相等的实数根     B．有两个相等的实数根

C．没有实数根       D．有实数根

8．2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站万个，规划到2022年5G基站数量将达到万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，可列方程为（    ）．

A．     B．

C．     D．

9．在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，，对角线、相交于点、分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的横坐标为（    ）．

A．5    B．4    C．3    D．1

10．如图①，在等边三角形中，点是边上一动点（不与点，重合），以为边向右作等边，边与相交于点，设，，若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（    ）．

A．3    B．    C．    D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．计算：______．

12．不等式组的最小整数解为______．

13．郑小舟在数学课本“读一读”中了解到一些中国古代的数学著作，如《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》，现在他计划从这四部书中随机选择两部书购买则选择到《九章算术》的概率是______．

14．如图，在扇形中，，点是的中点，以为边作矩形，点在弧上，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______．

15．如图，矩形中，，，点是的中点，点是直线上的一动点，将沿所在直线翻折，得到，则长的最小值是______．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：，其中．

17．（9分）2021年央视春晚，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．中原人民再次以丰富的节目参与到这场全国人民的关注的除夕盛宴中．某校随机对九年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为）、歌曲《牛起来》（记为）、武术表演《天地英雄》（记为）、小品《开往春天的幸福》（记为）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：

（1）本次接受调查的学生共有______名；

（2）扇形统计图中，所在扇形的圆心角度数是______；

（3）将条形统计图补充完整;

（4）若九年级共有720名学生，估计其中最喜欢相声《年三十的歌》的学生大约有多少人？

18．（9分）千玺广场举办的灯光秀是郑州一景，夜幕下的“大玉米”流灯溢彩，绚丽纷呈．象征着古老河南、厚重河南的“大玉米”，穿上了“晚礼服”，展示着开放河南、出彩河南的崭新形象．如图所示，在处测得“中原更出彩”顶端点的仰角为45°，点到玉米楼顶端点的距离约为，再沿方向前进到达处，测得玉米楼顶端点的仰角为．求玉米楼的总高度．（结果精确到．参考数据：，，）

19．（9分）春暖花开的季节最适合外出摘草莓，不仅能尝到新鲜的草莓，还可以体会田园乐趣，现有甲、乙两家草莓采摘园均推出了优惠活动方案，两家草莓品质相同，且其门票及草莓的销售价格也相同．

甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓按售价的五折销售．

乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓按售价的七折销售；

优惠期间，设某一位游客的草莓采摘量为千克，在甲采摘园所需总费用为元，且，在乙采摘园所需总费用为元，且．其函数图象如图所示．

（1）求和的值，并说出它们的实际意义；

（2）求打折前的每千克草莓的售价和的值；

（3）若预计采摘草莓4千克，那么选择哪家采摘园更省钱？说明理由．

20．（9分）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．

已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．

求证：．

证明一：连接、，

∵和为所对的圆周角，∴______．

又∵，∴______，∴______．

即．

研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．

证明二：连接、，

21．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．

（1）求的值及，满足的关系式；

（2）若抛物线在，两点间从左到右下降，求的取值范围；

（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．

22．（10分）郑小舟在学习中遇到这样一个问题：“如图①，菱形的边长是4，，点为对角线上一动点，过点作，交边、于点、，把沿折叠得到，若恰为等腰三角形，求的长．”他尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，的长度，得到下表几组对应值．

操作中发现：“线段的长度无需测量即可得到”．因为与满足关系式：______．

（2）将线段的长度作为自变量，的长度是的函数，记作，在图②所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．

（3）设，，继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数，）．

23．（11分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．

（1）【问题发现】

①当时，______；②当时，______；

（2）【拓展研究】

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题解决】

在旋转过程中，求出的最大值．

汝阳县2021年中招第二次模拟考试参考答案

数学

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．A 【解答】．故选A．

2．B

【解答】三棱锥、圆锥、三棱柱从左面看到的形状都是三角形，

而四棱柱从左面看的形状是四边形．故选B．

3．D

【解答】A，B，C三个选项均适合采用全面调查方式，不符合题意；

D．调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意．故选D．

4．D

【解答】七巧板中的角都是特殊的，出现的角是45°、90°、135°和180°．

∵，，

∴．故选D．

5．C 【解答】第一步运算的依据是积的乘方法则．故选C．

6．A

【解答】∵根据函数的图象可知，随的增大而增大，

∴，，∴，．故选A．

7．D

【解答】∵，∴，

∵，∴，

∴，

∴方程有实数根．故选D．

8．D

【解答】设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，

由题意得：．故选D．

9．C

【解答】∵四边形是平行四边形，∴为对角线中点，

由作图可知，垂直平分线段，

连接，则，

延长交轴于点，则轴，设，则，

在中，有，解得，，点的横坐标为3．

故选：C．

10．D

【解答】∴，为等边三角形，∴，

∵，∴，

又∵，∴∽，∴，

设，∵，，

∴，即．

∴当时，取得最大值为，∴，

∴等边三角形的面积为．故选D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．

【解答】原式．故答案为：．

12．3

【解答】解不等式，得，解不等式，得，

则不等式组的解集为，不等式组的最小整数解为3．故答案为：3．

13．

【解答】将四部书《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，，

用列表法列举出从4部书中选择2部所能产生的全部结果：

由表中可以看出，共有12种等可能的结果，而选中《九章算术》的结果有6种，

所以选中《九章算术》的概率为．

故答案为：

14．

【解答】如图，连接，．

∵点是的中点，∴．

∴，∴．

∵，∴，∴，

∴．

故答案为：

15．

【解答】由题意可知，点在以为圆心，为半径的圆上．

当、、三点共线时，最短，

此时，，

所以长的最小值是．故答案为：．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．【解答】原式

，

当时，原式．

17．【解答】（1）根据题意得：％（名）．

（2）占的百分比为％％，

占的百分比为，

所在的扇形圆心角的度数为％．

（3）由（2）可知，的人数为％人，即中男生为人；

的人数为％人，中女生人数为人，

补全条形统计图，如图所示：

（4）根据题意得：％（人），

答：其中最喜欢相声《年三十的歌》的学生大约有144人．

18．【解答】设为，则，

在中，，

∴，∴，

在中，，

即，解得，

∴，

答：玉米楼的总高度约为．

19．【解答】（1）∵过点，，

∴，解得，

表示的实际意义是：购买门票后每千克草莓售价为20元，

表示的实际意义是：购买一张门票的费用为40元．

（2）由题意可得，打折前的每千克草莓售价为（元），

则．

（3）选择方案二所需费用更少．

理由如下：由题意可知，，．

当采摘草莓4千克时，选择方案一所需费用：（元），

选择方案二所需费用：（元），

∵，∴选择方案二所需费用更少．

20．【解答】证明一：，∽，

，

证明二：连接、，

∵四边形为圆内接四边形，∴，

又∵，∴，

又∵，∴∽，

∴，即．

21．【解答】（1）∵抛物线经过点和．

∴，∴，．

（2）由（1）可得：，

对称轴为，

∵抛物线在、两点间从左到右下降，即随的增大而减小，

∴①当时，开口向上，对称轴在点右侧或经过点，

即，由，∴，解得，∴．

②当时，开口向下，对称轴在点左侧或经过点，

即，由，∴，解得，∴．

综上，若抛物线在和两点间，从左到右下降，的取值范围为或．

（3）抛物线不能同时经过点、．

∵若抛物线同时经过点、，

则对称轴为直线，

由抛物线经过，可知抛物线应经过，与抛物线经过相矛盾，

∴抛物线不能同时经过点、．

22．【解答】（1）

（2）如图中的图象；

（3）如图中，的图象；函数与函数，的图象交点的横坐标即为所求线段的长，

故的长度约为或．

23．【解答】（1）①在中，，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴．

故答案为：．

②如图，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴，∴．

故答案为：．

（2）当时，的大小没有变化．

证明：在中，

∵，，∴，

∴，

同理，，∴，

∵，∴，

∴∽，∴．

（3）如上图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为，

在中，，

∴，

∴，

由（1）知，，∴，

∴，

∴．