2021年山东省东营市东营区初中学业水平第二次模拟考试数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年山东省东营市东营区初中学业水平第二次模拟考试数学试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省东营市东营区初中学业水平第二次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．有20张背面完全一样的卡片，其中8张正面印有天鹅湖风光，7张正面印有黄河入海口自然风景，5张正面印有孙武湖景色．把这些卡片的背面朝上，搅匀后从中随机抽出一张卡片，抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：

①；②； ③； ④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

二、填空题
11．有一种病毒的直径大约是0.00000068米，则它的直径用科学记数法可表示为______米．
12．分解因式：=______．
13．已知：直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，若∠1＝25°，则∠2＝_____度．

14．在党中央的正确领导和全国人民的共同努力下，我国新冠肺炎确诊人数逐日下降，同时为构建人类命运共同体，我国积极派出医疗队帮助其他国家抗疫，由我国援助的Y国刚开始每周新增新冠肺炎确诊人数是2500人，两周后每周新增新冠肺炎确诊人数是1600人，若平均每周下降的百分率相同，则平均每周下降的百分率是___________．
15．某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是18，，15，16，13，若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是______．
16．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为___________米（精确到1米，，sin20o=0.3420，tan20o=0.3640，cos20o=0.9400）．

17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点、分别为坐标轴轴和轴上的任意一点，则四边形的周长的最小值为______．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，点的坐标为以为圆心，为半径画圆，交直线于点，交轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线于点，交轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线于点，交轴正半轴于点；······按此做法进行下去，其中弧的长________________．


三、解答题
19．（1）计算
（2）化简式子并在0，2，3中选取一个合适的数作为的值代入求值．
20．《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我区某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别
海选成绩
A组

B组

C组

D组

E组



请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出D组的人数，并把图1中的条形统计图补充完整；（请画在答题卷相对应的图上）
（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为，则的值为______，表示C组扇形的圆心角的度数为______度；
（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
（4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？
21．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
（1）请判断直线是否是的切线，并说明理由；
（2）若，，求半径的长．

22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
23．一方有难，八方支援．2020年初，新冠肺炎爆发，山东某蔬菜基地运输公司计划安排甲、乙两种货车向某疫区运送新鲜蔬菜，两次满载的运输情况如下表：
次数
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运送吨数
第一次
2
3
19
第二次
3
5
30
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨新鲜蔬菜？
（2）目前至少有36吨新鲜蔬菜要一次性运输到目的地，该公司拟安排甲、乙两种货车共8辆，其中每辆甲种货车一次运送费用为500元，每辆乙种货车一次运送费用为300元，请问该公司应如何安排甲、乙两种货车使总运送费用最少？
24．如图1 ，在中，是边上一点(不与点重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

（发现问题）
（1）如图1 ，通过图形旋转的性质，可知_______， 度；
（解决问题）
（2）如图1，证明；
（拓展延伸）
如图2，在中，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（3）若求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4)，点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及ΔPAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
1．B
【分析】
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】
解：，，，，
∵，
∴绝对值最小的数是；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2．C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】
A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．
3．D
【分析】
直接利用同底数幂的乘积、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方进行求解即可．
【详解】
解：Ａ，，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，与不是同类项，不能进行合并，故选项错误，不符合题意；
D，，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘积、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，解题的关键是：熟练掌握相关的运算法则．
4．C
【分析】
依据天鹅湖风光卡片的张数除以卡片的总张数即为所求的概率．
【详解】
解：共有图片20张，天鹅湖风光卡片8张，抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单概率法的计算，概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．C
【分析】
分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
【详解】
，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
故选：C．
【点睛】
把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
6．B
【分析】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7．B
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
8．D
【分析】
分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【详解】
解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，

y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．A
【分析】
先判断出∠ADE=45°，进而判断出AE=AD，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD=1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=，
由第二次折叠可知，
∴
故选：A．

【点睛】
本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．
10．A
【分析】
①在△AOL和△BLK中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，则第三个角∠LKB=∠BAC=22.5°；②根据线段中垂线定理证明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；③根据等量代换可得：∠CGF=∠BLK，可作判断；④连接EL，证明四边形ALEG是菱形，根据EL＞BL，及相似三角形的性质可作判断．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
由作图可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ是AE的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正确；
②∵OG是AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正确；
④连接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形，
∴AL=EL=EG＞BL，
∴，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题．
11．；
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000068=6.8×10-7，
故选：B．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．；
【分析】
首先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了分解因式，用到提取公因式及平方差公式，解题的关键是：熟练掌握分解因式的各种运算方法．
13．35
【分析】
如解图所示，先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图所示

∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝55°，
∵∠4+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出∠3的度数是解题的关键．
14．20%
【分析】
根据增长率（或降低率）的公式解答.
【详解】
解：设平均每周下降的百分率是x，
，
解得：，（舍去），
答：平均每周下降的百分率是，
故答案为：.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用——增长率问题，掌握增长率（或降低率）的计算公式（或），熟知公式中字母的意义：a是前量，b是后量，x是变化的百分率.
15．16
【分析】
先根据平均数的大小，求得x的值，再将这组数据按从小到大的顺序排列，求得中位数即可．
【详解】
解：∵18，x，15，16，13这组数据的平均数为16，
∴(18+x+15+16+13)÷5=16，
解得x=18，
∴这组数据按从小到大的顺序排列为：13，15，16，18，18，
∴这组数据的中位数是16．
故答案为：16
【点睛】
本题主要考查了中位数以及算术平均数，注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
16．210
【分析】
过点A作AE⊥BD于E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：过点A作AE⊥BD于E，过点B作BG⊥CF于点G，

在Rt△ABE中，
∵sinα=
∴AE=ABsinα=200×sin20°≈68
在Rt△BCG中，
∵sinβ=
∴BG=BCsinβ=200×sin45°≈142
∴他下降的高度为：AE+BG=68+142=210
故答案为210．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的知识．解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
17．；
【分析】
如图，作点A关于y轴的对称点，点B关于x轴的对称点，连接，交x轴与C，交y轴与D，连接AD，BC，AB，四边形ABCD的周长最小．四边形ABCD的周长．
【详解】
解：如图，作点A关于y轴的对称点，点B关于x轴的对称点，连接，交x轴与C，交y轴与D，连接AD，BC，AB，四边形ABCD的周长最小．

由作图可知：，
所以四边形ABCD的周长




，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查周对称－最短路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，属于中考常考题型．
18．
【分析】
连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可得弧PnOn+1为以OOn为半径的圆的周长的，再找出圆半径的规律即可解题.
【详解】
连接P1O1，P2O2，P3O3…

∵P1是⊙O2上的点，
∴P1O1=OO1，
∵直线l解析式为y=x，
∴∠P1OO1=45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴弧PnOn+1为以OOn为半径的圆的周长的，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OOn=2n-1，
∴弧PnOn+1为：•2π•OOn=2π•2n-1=2n-2π，
当n=2020时，弧P2020O2021为：22018π．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键.
19．（1）；（2）；当时，原式．
【分析】
（1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，2，3四个数中选取一个使得原分式有意义的数代入即可解答本题．
【详解】
解：（1）


；
（2）


，
因为x不能取2，3，
所以当x=0时，
原式=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（1）（人）；作图见解析；（2）15，72；（3）700人；（4）．
【分析】
（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出，用乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校参加这次海选比赛的2000名学生中，成绩“优等”的有多少人；
（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与所选两人正好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）D组的人数是：（人），补全图形如下：

（2）B组人数所占的百分比是，则的值是15；
C组扇形的圆心角的度数为；
故答案为：15，72；
（3）根据题意得：（人）
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．
（4）分别用、表示两名女生，分别用、表示两名男生，由题意，可列表：
第一次
第二次
A
B
C
D
A




B




C




D




由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种，
∴（恰好抽到1个男生和1个女生）．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（1）直线是的切线，答案见解析；（2）3．
【分析】
（1）连接，证明为等腰三角形，在由条件可算出，根据切线的判定定理即可；
（2）利用三角形相似的判定定理及性质，证明，再由性质对应边成比例建立等量关系，就出半径．
【详解】
解：（1）直线是的切线，理由如下：如图，连接．
∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．又∵点在上，
∴直线是的切线．
（2）∵，，
∴，
∴，即，
∴，，∴，
∴，从而，即，
∴．

【点睛】
本题考查了圆的切线，三角形相似的判定及性质，解题的关键是：通过等量代换证明角是直角和利用相似比建立等式求解．
22．（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【分析】
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】
此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
23．（1）甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜；（2）该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少．
【分析】
（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨新鲜蔬菜，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车a辆，乙货车（8-a）辆，根据题意列出不等式求出a的整数值，再设总运费为w元，再根据题意列出w关于a的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质求得a的值，进而得安排货车的方案．
【详解】
解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨新鲜蔬菜，根据题意得：
，
解得．
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜；
（2）设安排甲种货车辆，乙种货车辆，根据题意得：
，解得，
设总运送费用为元，则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最小，从而该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
24．（1）AE；90；（2）见解析；（3）BD的长为9
【分析】
利用旋转变换的性质即可解决问题；
证明≌，推出，等量代换即可得结论；
如图2中，连接，证明≌，推出，再证明是直角三角形，利用两次勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）由旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，得到.
故答案为：AE；90．
（2）∵，
∴,
∴,
又∵,
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图2中，连BD．

∵，
∴,
∴,
又，，
≌，
，
∵,,
∴，
，
为直角三角形，,
∴，
，
∴．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是依据全等三角形的性质进行线段的转移，将已知条件和目标聚拢在一个直角三角形中，用勾股定理求解．
25．（1）y＝−x2＋3x＋4；(2)存在, 当P点坐标为（2，6）时，ΔPAC面积的最大值是8；（3）Q(0,0),(－4,0),．
【分析】
（1）根据点C的坐标，即可求得OC的长，再求得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）存在，作PN⊥x轴交AC于N，先求得直线AC的解析式，设P（x，−x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4)，即可得PN＝−x2＋4x ，根据三角形的面积公式可得S△PAC＝PN×4＝－2(x－2)2＋8 ，根据二次函数的性质可得当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，再求得点P的坐标即可；
（3）设 根据勾股定理得： 再分三种情况讨论即可得到答案．
【详解】
解： (1)∵C(0,4)，∴OC＝4．
∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，
∴A(4,0),B(−1,0)，
设抛物线解析式：y＝a(x＋1)(x−4)，
∴4＝−4a，∴a＝−1．
∴y＝−x2＋3x＋4．
(2)存在．
作PN⊥x轴交AC于N，

AC的解析式为y＝－x＋4 ，

设P（x，−x2＋3x＋4），则N(x,－x＋4),
得PN＝（−x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝−x2＋4x ，
∴S△PAC＝PN×4＝2PN＝2(−x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8 ，
当x=2时，ΔPAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为（2，6）.
∴P点坐标为（2，6）时，ΔPAC面积有最大值，最大面积是8 .
(3) 设 根据勾股定理得：

①当时，

此时可得Q的坐标为（4+4，0）、（4-4，0）；
②当时，

当时，不合题意舍去，

③当时，



综上，符合条件的点Q的坐标为：(0,0)，(－4,0)，．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的性质以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．