2022届高考数学一轮复习第二章第二节第1、2课时-函数的单调性与最值、奇偶性、周期性学案

这是一份2022届高考数学一轮复习第二章第二节第1、2课时-函数的单调性与最值、奇偶性、周期性学案，共23页。

第二节　函数的性质
第1课时　系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
知识点一　函数的单调性
1．增函数与减函数

2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒]　(1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有>0.
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．

[重温经典]
1．(人教A版教材P39B组T1)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　 　 B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案：A
2．(教材改编题)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
3．函数f(x)＝lg(9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
解析：对于函数f(x)＝lg(9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．
令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3,0]，所以函数f(x)＝lg(9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．
答案：(－3,3)　(－3,0]
4．(易错题)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]
5．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，
且为增函数，
故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.
答案：(－∞，－4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) 解析：由题设得解得－1≤x<.
答案：
知识点二　函数的最值
1．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[提醒]　(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．
[重温经典]
1．(人教A版教材P31例4)函数f(x)＝在[2,6]上的最大值是________．
答案：2
2．(教材改编题)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得
答案：1　
3．(易错题)函数y＝的值域为________．
解析：法一：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．
法二：由y＝＝＝1＋，
令t＝x2＋1，则t≥1，∴∈[－2,0)，
∴y＝1＋∈[－1,1)，∴所求函数的值域为[－1,1)．
答案：[－1,1)
4．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值－2.故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1
知识点三　函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特征

奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称

2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有(　　)
A．y＝2－|x| B．y＝x
C．y＝x2－1 D．y＝x3
解析：选BC　A．令y＝f(x)＝2－|x|，f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0， ＋∞)上，y＝2－x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x，f(－x)＝(－x)＝x，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2－1，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(－x)＝ (－x)3＝－x3＝－f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.
2．(人教A版教材P39A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
答案：－2
3．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
4．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
5．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．
解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝－1，∴f(x)＝3x－1.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.
答案：－4
知识点四　函数的周期性

1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．

[重温经典]
1．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
答案：1
2．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)－f(4)＝ －1.
答案：－1
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，
∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.
故f(2 022)＝f(0)＝0.
答案：0
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数的最小正周期为5.当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＝404×1＋0＝404.
答案：404
第2课时　精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ·考查复合函数的单调性及定义域)
已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　　　　　 B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
解析：选D　∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查函数的单调性、奇偶性)
设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
解析：选D　由⇒x≠±，∴函数f(x)的定义域为，关于原点对称，
又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝－＝>0，∴f(x)在单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝－＝<0，∴f(x)在单调递减，∴D正确．
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查函数的性质及解不等式)
若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
解析：选D　法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.
当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅱ·考查由函数的奇偶性求解析式)
设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
解析：选D　当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
5．(2019·全国卷Ⅲ·考查抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)
设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A．f>f>f
B．f>f>f
C．f>f>f
D．f>f>f
解析：选C　因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
又因为log34>1>2>2>0且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(2>f(2)>f.故选C.
6．(2020·江苏高考·考查由函数的奇偶性求值)
已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是________．
解析：由函数f(x)是奇函数得f(－8)＝－f(8)＝－8＝－(23)＝－4.
答案：－4
[把脉考情]
常规
角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等
创新
角度
函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题

二、题型精细研究——提素养

题型一　函数单调性的判断及应用
考法(一)　确定函数的单调性及求单调区间
[例1]　(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．
[解析]　(1)f(x)＝|x2－3x＋2|＝如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和.故选B.
(2)令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
答案：(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]
(3)法一：定义法
设－1 ＝＝.
∵－10，x1x2＋1>0，(x－1)·(x－1)>0.又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：导数法
f′(x)＝
＝＝＝－.
∵a>0，x∈(－1,1)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
[方法技巧]　确定函数单调性的常用方法
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
考法(二)　比较大小
[例2]　函数f(x)＝，若a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f，则有(　　)
A．c>b>a B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
[解析]　∵f(x)＝，
∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，
又∵ln 2>0，－<0，ln <0，∴b>0，a<0，c<0.
又－＝－ln ，ln ＝－ln 3，且－ln >－ln 3，
∴－>ln ，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴fa，∴b>c>a，故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．　　
考法(三)　解函数不等式
[例3]　定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
[解析]　因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2 [答案]　C
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　
考法(四)　利用单调性求参数的取值范围
[例4]　(1)已知函数y＝log(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)设u＝6－ax＋x2，
∵y＝logu是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．
∵u＝6－ax＋x2，对称轴为直线x＝，
∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围为[4,5)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

[答案]　(1)[4,5)　(2)(－∞，1]∪[4，＋∞)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．　　

[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
解析：选C　选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b C．b 解析：选C　因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f()＝f(－2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)．因为－1<－2<0，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以b 3．已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是(　　)
A．(0,10) B．(10，＋∞)
C. D.∪(10，＋∞)
解析：选C　∵g(－x)＝－f(|－x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lg x)>g(1)，∴g(|lg x|)>g(1)，∴|lg x|<1，∴ 4．函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)．
答案：[4,8)
题型二　函数最值的求法

[典例]　(1)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2－的最小值为________．
[解析]　(1)(单调性法)由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.
当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.
又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.
(3)(换元法)令＝t，t≥1，则x2＝t2－1，
∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．
∵y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴t＝，
∴ymin＝2×12－1－2＝－1，
∴函数f(x)的最小值为－1.
[答案]　(1)3　(2)2－6　(3)－1
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．　　
[针对训练]
1．(单调性法)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以
即所以所以a＋b＝6.
答案：6
2．(换元法)函数f(x)＝x－的最小值为________．
解析：令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，所以y＝t2－t－1(t≥0)．又y＝t2－t－1(t≥0)的图象是对称轴为直线t＝，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝2－－1＝－，故函数f(x)的最小值为－.
答案：－
3．(分离常数法)当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
解析：由y＝，可得y＝－.∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，∴≤y≤3.∴所求函数的最小值为.
答案：
题型三　函数奇偶性的判断及应用
考法(一)　函数奇偶性的判断
[例1]　(2021·广州名校联考)函数y＝x2lg的图象(　　)
A．关于x轴对称　　　 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[解析]　记f(x)＝x2lg，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)2lg＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg的图象关于原点对称．故选B.
[答案]　B
[方法技巧]　函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二)　函数奇偶性的应用
[例2]　(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则 f(－6)＝(　　)
A．2 B．4
C．－2 D．－4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析]　(1)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3log22＝－2.故选C.
(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
[答案]　(1)C　(2)－
[方法技巧]　利用函数奇偶性可以解决以下问题
求函数值
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出
求解析式
中的参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值
利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值

[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选ABC　∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．易知A、B、C正确．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
2．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选C　f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
3．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解析：由f(－1)＝－f(1)得＝－，解得k＝±1.经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数．
答案：±1
题型四　函数周期性的判断及应用
[典例]　(1)(2021·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B.
C．2 D．－5
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
[解析]　(1)由f(x)＝－f(x＋2)，
得f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)＝－f(0＋2)
＝－(22＋log22)＝－5.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos ＝.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　)
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
解析：选ABC　因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1,0)和(2,0)中心对称，所以f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k,0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以f(x＋3)＝f(x＋1＋2)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函数，故选A、B、C.
2．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 021)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C　因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又2 021＝2×1 010＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2 021)＝f(1)＝1.
3．(2021·重庆八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：

1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x3＋1　　　　　 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：选B　对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f，
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：选CD　∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
解析：选D　因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，
当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，
即x2＋x－2<0，解得－2 5．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B　f(x)＝2|x－a|＋3＝
因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，
所以a>1.
所以a的取值范围是(1，＋∞)．
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25) C．f(11) 解析：选D　因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(－25)＝f(－1) 7．已知函数f(x)＝2 020x＋log2 020(＋x)－2 020－x＋3，则关于x的不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选A　∵函数y1＝2 020x－2 020－x为奇函数，函数y2＝log2 020(＋x)为奇函数，∴函数g(x)＝2 020x－2 020－x＋log2 020(＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1－2x)＋f(x)>6，即g(1－2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x－1)，∴x>2x－1，∴x<1，∴不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为(－∞，1)．
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
解析：选D　由函数f(x)为奇函数可知f(－x)＝－f(x)，因此<0可化为不等式<0，故有或再由f(2)＝0，可得f(－2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|－2 9．(多选)下列关于函数f(x)＝的性质描述正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为∪
B．f(x)的值域为(－1,1)
C．f(x)在定义域上是增函数
D．f(x)的图象关于原点对称
解析：选ABD　由得－1≤x≤1且x≠0，
此时f(x)＝＝＝，
因此A正确；
当0＜x≤1时，f(x)＝－∈，
当－1≤x<0时，f(x)＝∈，
故f(x)的值域为(－1,1)，B正确；
易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.
10．(2021·唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
11．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，解得
所以a∈.
答案：
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1 则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0,2)时，－1≤f(x)<0；
当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4；
当－1 且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故a的取值范围为[－4，－2]．

14．(2021·河北名校联考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.
从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．