2019年天津卷理数高考真题文档版（含答案）

这是一份2019年天津卷理数高考真题文档版（含答案），共10页。试卷主要包含了设，则“”是“”的，已知，，，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件、互斥，那么．·如果事件、相互独立，那么．·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则A． B． C． D．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A．2 B．3 C．5 D．63．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A．5 B．8 C．24 D．295．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A． B． C． D．6．已知，，，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A． B． C． D．8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．是虚数单位，则的值为_____________．10．的展开式中的常数项为_____________．11．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_____________．13．设，则的最小值为_____________．14．在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．17．（本小题满分13分）如图，平面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．18．（本小题满分13分）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．19．（本小题满分14分）设是等差数列，是等比数列．已知．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中．（i）求数列的通项公式；（ii）求．20．（本小题满分14分）设函数为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．9．  10．  11．  12．  13． 14．三．解答题15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故．16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知      ．17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．（Ⅱ）解：依题意，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得．因此有．所以，直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即不妨令，可得．由题意，有，解得．经检验，符合题意．所以，线段的长为．18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）解：由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．由，得，化简得，从而．所以，直线的斜率为或．19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．所以，的通项公式为的通项公式为．（Ⅱ）（i）解：．所以，数列的通项公式为．（ii）解：                                           ．20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故．因此，在区间上单调递减，进而．所以，当时，．（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，，故．所以，．