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2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①如果x＝y，那么＝
②a2的算术平方根是a，
③同旁内角互补，两直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝1﹣x
8．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B．4 C．6 D．
10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：ax2﹣ay2＝ ．
12．如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
13．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 ．
14．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
16．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
18．（4分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
22．（10分）如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为2米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面为EF）的坡度为i＝1：，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为9米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°．
（1）求EF的坡角；
（2）教学楼AB的高度．（结果保留根号）
23．（10分）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
24．（12分）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．
【解答】解：A、﹣是有理数，故本选项不符合题意；
B、3.41是有理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、属于无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝，故不是最简分式，不合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、＝＝，故不是最简分式，不合题意；
D、＝＝，故不是最简分式，不合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；
∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
4．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①如果x＝y，那么＝
②a2的算术平方根是a，
③同旁内角互补，两直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用平行线的判定，等式的性质和算术平方根的定义进而分析得出答案．
【解答】解：①如果x＝y（a≠0），那么＝，故此选项不正确；
②当a≥0时，a2的算术平方根是a，故此选项不正确；
③同旁内角互补，两直线平行，故此选项正确；
④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项不正确；
本题不正确的有3个，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】连接BE，如图，利用圆内接四边形的性质计算出∠BED＝80°，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，然后利用互余计算出∠BED的度数．
【解答】解：连接BE，如图，
∵四边形BCDE为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣100°＝80°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠BED＝90°﹣80°＝10°．
故选：A．
6．如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图画法，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案．
【解答】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：C．
7．下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝1﹣x
【分析】反比例函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．
【解答】解：A、函数y＝2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x≤0时y随x增大而减小故本选项错误；
C、函数，当x＜0或x＞0，y随着x增大而增大故本选项错误；
D、函数y＝1﹣x的图象是y随着x增大而减小，故本选项正确；
故选：D．
8．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2022、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：B．
10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．
∵AB是直径，
∴∠ATB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPT＝60°，
∴PT＝PB•cos60°＝PB，
∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，
故选：C．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣ay2＝a（x2﹣y2）＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
12．如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 a≥﹣3 ．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
13．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 3 ．
【分析】首先由反比例函数系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，然后根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积＝△AOC的面积＝，从而求出△ABC面积．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积，
∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|＝＝，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝，
∴△ABC面积＝△BOC的面积+△AOC的面积＝3，
故答案为3．
14．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 x＞3 ．
【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x＝，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
12×5＝13CP，
CP＝，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x＝，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
16．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 + ．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
【分析】配方法求解可得．
【解答】解：∵x2+6x＝﹣1，
∴x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，
∴x+3＝±2，
则x＝﹣3±2．
18．（4分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵F（m，2）在y＝上，
∴m＝﹣1．
（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
22．（10分）如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为2米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面为EF）的坡度为i＝1：，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为9米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°．
（1）求EF的坡角；
（2）教学楼AB的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）过E作EN⊥BF于N，EM⊥BC于M，由坡度的定义得tan∠EFN＝，求解即可；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得EN＝EF＝5（米），FN＝FN＝5（米），再证四边形MENB是矩形，得BM＝EN＝5（米），ME＝BN＝BF+FN＝（9+5）米，然后由含30°角的直角三角形的性质得CM（3+5）米，则AM＝CM﹣AC＝（3+3）米，求解即可．
【解答】解：（1）过E作EN⊥BF于N，EM⊥BC于M，如图所示：
∵∠ENF＝90°，EF＝10米，EF的坡度为i＝1：＝＝tan∠EFN，
∴tan∠EFN＝，
∴∠EFN＝30°，
即EF的坡角为30°；
（2）∵∠ENF＝90°，∠EFN＝30°，
∴EN＝EF＝5（米），FN＝FN＝5（米），
∵∠MBN＝∠EMB＝∠ENB＝90°，
∴四边形MENB是矩形，
∴BM＝EN＝5（米），ME＝BN＝BF+FN＝（9+5）米，
在Rt△CME中，∠CME＝90°，∠CEM＝30°，
∴CM＝ME＝（3+5）米，
∴AM＝CM﹣AC＝（3+3）米，
∴AB＝AM+BM＝（3+8）米，
即教学搂AB的高度为（3+8）米．
23．（10分）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
【分析】①作直径AB，过点O作OC⊥AB交⊙O于C，连接AC，BC，△ABC即为所求作．
②当P，C在AB的两侧时，结论：PA+PB＝PC．过点C作CQ⊥PB于Q，CT⊥PA交PA的延长线于T．证明四边形CTPQ是正方形，AT＝BQ，推出PA+PB＝2PT＝PC．当P，C在AB的同侧时，如图备用图，同法可证，PB﹣PA＝PC．
【解答】解：①如图，△ACB即为所求作．
②当P，C在AB的两侧时，结论：PA+PB＝PC．
理由：过点C作CQ⊥PB于Q，CT⊥PA交PA的延长线于T．
∵AC＝CB，
∴＝，
∴∠CPT＝∠CPQ，
∵∠T＝∠CQP＝90°，PC＝PC，
∴△PCT≌△PCQ（AAS），
∴CT＝CQ，PT＝PQ，
∵∠APB＝∠T＝∠CQP＝90°，
∴四边形CTPQ是矩形，
∵CT＝CQ，
∴四边形CTPQ是正方形，
∴PC＝PT，
∵∠CTA＝∠CQB＝90°，CA＝CB，
∴Rt△CTA≌Rt△CQB（HL），
∴AT＝BQ，
∴PA+PB＝PT＝AT+PQ+BQ＝2PT＝PC．
当P，C在AB的同侧时，见备用图，同法可证，|PB﹣PA|＝PC．
24．（12分）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）连接AO并且延长交圆于C1，连接BO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）△AEF是“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝2a，
∵CD：FC＝4：1，
∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，
在Rt△ABE中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，
在Rt△ECF中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2，
在Rt△ADF中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP＝1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
即OQ最小，
由垂线段最短可得斜边最小为3，
由勾股定理可得PQ＝＝2，
根据面积得，OQ×PM＝OP×PQ，
∴PM＝1×2÷3＝，
由勾股定理可求得OM＝＝，
故点P的坐标（﹣，），（，）．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论；
（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则0＝﹣x+2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2，
∵点B（4，0）在抛物线上，
∴﹣8+4b+2＝0，
∴b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵|BM﹣CM|最小，
∴|BM﹣CM|＝0，
∴BM＝CM，
∴BM2＝CM2，
设M（，m），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，
∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，
∴m＝0，
∴M（，0）；
（3）存在，理由：
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，
∴x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，
∴CB2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵NH⊥x轴，
∴∠BHN＝90°＝∠ACB，
设N（n，﹣n2+n+2），
∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，
∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△BHN∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），
∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），
②△BHN∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，
∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），
即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．
2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①如果x＝y，那么＝
②a2的算术平方根是a，
③同旁内角互补，两直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝1﹣x
8．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B．4 C．6 D．
10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：ax2﹣ay2＝ ．
12．如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
13．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 ．
14．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
16．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
18．（4分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
22．（10分）如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为2米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面为EF）的坡度为i＝1：，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为9米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°．
（1）求EF的坡角；
（2）教学楼AB的高度．（结果保留根号）
23．（10分）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
24．（12分）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．
【解答】解：A、﹣是有理数，故本选项不符合题意；
B、3.41是有理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、属于无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝，故不是最简分式，不合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、＝＝，故不是最简分式，不合题意；
D、＝＝，故不是最简分式，不合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；
∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
4．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①如果x＝y，那么＝
②a2的算术平方根是a，
③同旁内角互补，两直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用平行线的判定，等式的性质和算术平方根的定义进而分析得出答案．
【解答】解：①如果x＝y（a≠0），那么＝，故此选项不正确；
②当a≥0时，a2的算术平方根是a，故此选项不正确；
③同旁内角互补，两直线平行，故此选项正确；
④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项不正确；
本题不正确的有3个，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】连接BE，如图，利用圆内接四边形的性质计算出∠BED＝80°，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，然后利用互余计算出∠BED的度数．
【解答】解：连接BE，如图，
∵四边形BCDE为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣100°＝80°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠BED＝90°﹣80°＝10°．
故选：A．
6．如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图画法，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案．
【解答】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：C．
7．下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝1﹣x
【分析】反比例函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．
【解答】解：A、函数y＝2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x≤0时y随x增大而减小故本选项错误；
C、函数，当x＜0或x＞0，y随着x增大而增大故本选项错误；
D、函数y＝1﹣x的图象是y随着x增大而减小，故本选项正确；
故选：D．
8．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2022、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：B．
10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．
∵AB是直径，
∴∠ATB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPT＝60°，
∴PT＝PB•cos60°＝PB，
∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，
故选：C．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣ay2＝a（x2﹣y2）＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
12．如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 a≥﹣3 ．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
13．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 3 ．
【分析】首先由反比例函数系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，然后根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积＝△AOC的面积＝，从而求出△ABC面积．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积，
∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|＝＝，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝，
∴△ABC面积＝△BOC的面积+△AOC的面积＝3，
故答案为3．
14．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 x＞3 ．
【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x＝，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
12×5＝13CP，
CP＝，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x＝，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
16．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 + ．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
【分析】配方法求解可得．
【解答】解：∵x2+6x＝﹣1，
∴x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，
∴x+3＝±2，
则x＝﹣3±2．
18．（4分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵F（m，2）在y＝上，
∴m＝﹣1．
（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
22．（10分）如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为2米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面为EF）的坡度为i＝1：，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为9米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°．
（1）求EF的坡角；
（2）教学楼AB的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）过E作EN⊥BF于N，EM⊥BC于M，由坡度的定义得tan∠EFN＝，求解即可；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得EN＝EF＝5（米），FN＝FN＝5（米），再证四边形MENB是矩形，得BM＝EN＝5（米），ME＝BN＝BF+FN＝（9+5）米，然后由含30°角的直角三角形的性质得CM（3+5）米，则AM＝CM﹣AC＝（3+3）米，求解即可．
【解答】解：（1）过E作EN⊥BF于N，EM⊥BC于M，如图所示：
∵∠ENF＝90°，EF＝10米，EF的坡度为i＝1：＝＝tan∠EFN，
∴tan∠EFN＝，
∴∠EFN＝30°，
即EF的坡角为30°；
（2）∵∠ENF＝90°，∠EFN＝30°，
∴EN＝EF＝5（米），FN＝FN＝5（米），
∵∠MBN＝∠EMB＝∠ENB＝90°，
∴四边形MENB是矩形，
∴BM＝EN＝5（米），ME＝BN＝BF+FN＝（9+5）米，
在Rt△CME中，∠CME＝90°，∠CEM＝30°，
∴CM＝ME＝（3+5）米，
∴AM＝CM﹣AC＝（3+3）米，
∴AB＝AM+BM＝（3+8）米，
即教学搂AB的高度为（3+8）米．
23．（10分）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
【分析】①作直径AB，过点O作OC⊥AB交⊙O于C，连接AC，BC，△ABC即为所求作．
②当P，C在AB的两侧时，结论：PA+PB＝PC．过点C作CQ⊥PB于Q，CT⊥PA交PA的延长线于T．证明四边形CTPQ是正方形，AT＝BQ，推出PA+PB＝2PT＝PC．当P，C在AB的同侧时，如图备用图，同法可证，PB﹣PA＝PC．
【解答】解：①如图，△ACB即为所求作．
②当P，C在AB的两侧时，结论：PA+PB＝PC．
理由：过点C作CQ⊥PB于Q，CT⊥PA交PA的延长线于T．
∵AC＝CB，
∴＝，
∴∠CPT＝∠CPQ，
∵∠T＝∠CQP＝90°，PC＝PC，
∴△PCT≌△PCQ（AAS），
∴CT＝CQ，PT＝PQ，
∵∠APB＝∠T＝∠CQP＝90°，
∴四边形CTPQ是矩形，
∵CT＝CQ，
∴四边形CTPQ是正方形，
∴PC＝PT，
∵∠CTA＝∠CQB＝90°，CA＝CB，
∴Rt△CTA≌Rt△CQB（HL），
∴AT＝BQ，
∴PA+PB＝PT＝AT+PQ+BQ＝2PT＝PC．
当P，C在AB的同侧时，见备用图，同法可证，|PB﹣PA|＝PC．
24．（12分）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）连接AO并且延长交圆于C1，连接BO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）△AEF是“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝2a，
∵CD：FC＝4：1，
∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，
在Rt△ABE中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，
在Rt△ECF中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2，
在Rt△ADF中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP＝1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
即OQ最小，
由垂线段最短可得斜边最小为3，
由勾股定理可得PQ＝＝2，
根据面积得，OQ×PM＝OP×PQ，
∴PM＝1×2÷3＝，
由勾股定理可求得OM＝＝，
故点P的坐标（﹣，），（，）．
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论；
（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则0＝﹣x+2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2，
∵点B（4，0）在抛物线上，
∴﹣8+4b+2＝0，
∴b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵|BM﹣CM|最小，
∴|BM﹣CM|＝0，
∴BM＝CM，
∴BM2＝CM2，
设M（，m），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，
∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，
∴m＝0，
∴M（，0）；
（3）存在，理由：
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，
∴x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，
∴CB2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵NH⊥x轴，
∴∠BHN＝90°＝∠ACB，
设N（n，﹣n2+n+2），
∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，
∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△BHN∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），
∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），
②△BHN∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，
∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），
即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．
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