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2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
4．（3分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是（ ）
A．65° B．55° C．50° D．60°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）：4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知∠A＝70°，则∠A的余角是 ．
12．（3分）计算：（﹣）﹣2+tan45°＝ ．
13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ．
14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 （结果保留π）．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
19．（6分）已知A＝（a﹣）÷．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
20．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90°，则抽查的总人数是 人；
（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；
（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率．
21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．
（1）求北区居民至少有多少人？
（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．
（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；
（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．
23．（10分）如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧的中点．
（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D．
①求证：∠ACB＝2∠CAD；
②若CB＝BD＝2，求AB的长．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝x2﹣（m+n）x+mn（﹣4＜m＜0，n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．
（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）；
（2）若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求的取值范围；
（3）连接OP，设AC交OP于点D，△PCD的面积为S1，△OCD的面积为S2，若的最大值是，求OB的最大值．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当GE＝GD时，求AE的长；
（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：设小车上升的高度是xm，
∵sinα＝，
∴＝，
解得，x＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．（3分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是（ ）
A．65° B．55° C．50° D．60°
【分析】根据切线的性质得出AC⊥BC，求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADO＝25°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝65°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A＝25°，
∴∠COD＝∠A+∠ADO＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的除法运算法则、去括号法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、a15÷a5＝a10（a≠0），故此选项错误；
C、﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a，故此选项正确；
D、（a5）2＝a10，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的除法运算、去括号法则、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）：4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，
∴该组成绩的众数是6环，
故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是：（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝，故本选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得到BC＝3，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到BE＝BC＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝2，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴DE2+22＝（4﹣DE）2，
∴DE＝，
∴BD＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【分析】令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，当p＝0时，得到方程的两根，分当p≠0时，当p＝﹣1时，当p＝3时，得y的函数式，根据题意画出图象，继而得到问题的答案．
【解答】解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当x＝﹣1时，y＝p2；
当x＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
【点评】此题考查的是抛物与x轴的交点问题，掌握根与系数的关系，能够正确画出图形是解决此题关键．
9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【分析】通过证明△BEH∽△FAH，可得HF＝2BH，AH＝2HE，由面积数量关系可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∵CE＝2BE，AF＝2DF，
∴BE＝DF，AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴△BEH∽△FAH，
∴＝，
∴HF＝2BH，AH＝2HE，
∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，
∴S△ABF＝12，
∴S▱ABCD＝2×＝36，
∴五边形CEHFD的面积＝36﹣12﹣2＝22，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】求两条线段和最小问题，找出动点P的运动路径即可，由CP＝DP即可得出P的运动路径．
【解答】解：连接PC，PD，
∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，
∴CP＝EF，
在Rt△EDF中，
DP＝，
∴CP＝DP，
∴点P在CD的垂直平分线上运动，
作A关于CD垂直平分线的对称点A'，
∴PA+PB的最小值为A'B，
在Rt△AA'B中，
A'B＝，
故选：D．
【点评】本题考查了以等腰直角三角形为背景的两条线段和最小问题，找出P的运动路径是解决问题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知∠A＝70°，则∠A的余角是 20° ．
【分析】根据互余的定义得出．
【解答】解：根据定义∠A＝70°的余角度数是90°﹣70°＝20°．
【点评】若两个角的度数和为90°，则这两个角互余．
12．（3分）计算：（﹣）﹣2+tan45°＝ 5 ．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4+1
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ＝+5 ．
【分析】直接根据题意表示出实际每天植树的数量为：（1+20%）x，再利用植树所用天数得出等式求出答案．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为：
＝+5．
故答案为：＝+5．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 100π （结果保留π）．
【分析】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2＝5，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积．
【解答】解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2＝5，
所以圆锥的侧面积＝×2π×5×8＝40π，圆柱的侧面积＝2π×5×6＝60π，
所以每顶帐篷的表面积＝40π+60π＝100π．
故答案为：100π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【分析】分两种情况：当点C在边AD上，当点C在边DE上，由旋转的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【解答】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是 ②③ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】分别讨论函数的k和b的正负，得出函数过第几象限，可得出结论①错误，结论②正确；由解析式可得一次函数过定点（﹣2，﹣1），可得出当点H和定点重合时，OH最大，故③正确；分别求出点A和点B的坐标，根据△AOB是等腰三角形可得出等式，并求出参数m的值，得出结论④错误．
【解答】解：当m＞0，2m﹣1＞0，即m＞时，直线l经过第一，第二，第三象限；
当2m﹣1＝0，即m＝时，直线l经过第一，第三象限；
当m＞0，2m﹣1＞0，即0＜m＜时，直线l经过第一，第三，第四象限；
当m＜0时，2m﹣1＜0，直线l经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确；
一次函数y＝mx+2m﹣1＝m（x+2）﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，即直线l经过定点（﹣2，﹣1），当点H和定点（﹣2，﹣1）重合时，
OH取得最大值；即③正确；
若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则A（，0），B（0，2m﹣1），
若△AOB为等腰三角形，则|OA|＝|OB|，
∴||＝|2m﹣1|，解得m＝±1或，
又当m＝时，点A和点B，点O重合，故不成立，
∴当△AOB为等腰三角形，m＝±1；故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查一次函数图象过象限问题，等腰三角形存在性等问题，在计算时注意特殊情况即函数过原点时的情况需要排除．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：①﹣②得：4y＝20，即y＝5，
把y＝5代入①得：x＝﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
【分析】连接BD，可得△EDB≌△FDB，可得结论．
【解答】证明：如图，连接BD，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
在△EDB和△FDB中，
，
∴△EDB≌△FDB（SAS），
∴BE＝BF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，是一道比较简单的证明题．也可证明△EAB≌△FCB．
19．（6分）已知A＝（a﹣）÷．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
【分析】（1）直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
（2）利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
【解答】解：（1）A＝（a﹣）÷
＝
＝
＝．
（2）∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得，，
∴，
∴A＝＝2．
【点评】此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
20．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90°，则抽查的总人数是 200 人；
（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；
（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率．
【分析】（1）由图书管理的人数除以所占比例即可；
（2）求出纪律检查的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽查的总人数为：50÷＝200（人），故答案为：200；
（2）参与的纪律检查的人数为：200﹣50﹣120＝30（人），条形统计图补充完整如下：
（3）把参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小亮和小明选中同一项活动的结果有3个，
∴小亮和小明选中同一项活动的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．
（1）求北区居民至少有多少人？
（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值．
【分析】（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，根据南区居民数量不超过北区居民数量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）由“两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，
依题意得：18000﹣x≤3x，
解得：x≥4500．
答：北区居民至少有4500人．
（2）依题意得：1500（1+m）2+2700（1+4m）＝18000×90%，
整理得：5m2+46m﹣40＝0，
解得：m1＝0.8＝80%，m2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：m的值为80%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．
（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；
（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．
【分析】（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsinBOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，故点B的坐标为（﹣2，2），即可求解；
（2）tan∠ABC＝2，故设AC＝2t，则BC＝t，设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，解得t＝m+n，进而求解．
【解答】解：（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsin∠BOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，
故点B的坐标为（﹣2，2），
将点B的坐标代入函数表达式得：2＝，
解得k＝﹣4；
（2）∵tan∠ABC＝2，
故设AC＝2t，则BC＝t，
设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），
将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，
解得t＝m+n，
则点C的坐标为（m，﹣m），
设直线OC的表达式为y＝rx，
将点C的坐标代入上式并解得：﹣m＝rm，解得r＝﹣，
故直线OC的表达式为y＝﹣x．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
23．（10分）如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧的中点．
（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D．
①求证：∠ACB＝2∠CAD；
②若CB＝BD＝2，求AB的长．
【分析】（1）过O点作AB的垂线交⊙O于C；
（2）根据垂径定理得到AH＝BH，＝，则∠AOC＝∠BOC，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠OAC＝∠OCA＝∠BCO，从而得到∠ACB＝2∠CAD；
（2）AD交⊙O于E，如图，利用圆周角定理得到∠ABE＝90°，再证明BE＝OC，BE＝2OH，设OH＝x，则BE＝2x，OC＝4x，CH＝3x，BH＝x，在Rt△BCH中利用勾股定理得到（3x）2+（x）2＝22，解方程求出x，然后计算2x即可．
【解答】（1）解：如图，点C为所作；
（2）证明：∵OC⊥AB，
∴AH＝BH，＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OC，OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCO，
∴∠ACB＝2∠CAD；
（2）解：AD交⊙O于E，如图，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴BE∥OC，
∵BC＝BD＝2，
∴BE＝OC，
∵OH∥BE，
∴BE＝2OH，
设OH＝x，则BE＝2x，OC＝4x，
∴CH＝3x，
在Rt△BOH中，BH＝＝x，
在Rt△BCH中，（3x）2+（x）2＝22，解得x＝，
∴AB＝2BH＝2x＝2×＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和圆周角定理．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝x2﹣（m+n）x+mn（﹣4＜m＜0，n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．
（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）；
（2）若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求的取值范围；
（3）连接OP，设AC交OP于点D，△PCD的面积为S1，△OCD的面积为S2，若的最大值是，求OB的最大值．
【分析】（1）对于y＝x2﹣（m+n）x+mn①，令y＝x2﹣（m+n）x+mn＝0，解得x＝m或n，令x＝0，则y＝mn，即可求解；
（2）证明∠ACP是△A′AC的外角，进而求解；
（3）△PCD和△OCD是同高的两个三角形，故其面积比等于DP：OD，而DP：OD＝PE：OC，故＝＝﹣（﹣x2+mx）＝（x﹣m）2﹣，进而求解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣（m+n）x+mn①，令y＝x2﹣（m+n）x+mn＝0，解得x＝m或n，令x＝0，则y＝mn，
故点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（n，0）、（0，mn）；
（2）当抛物线的对称轴在y轴及其右侧都不会存在∠PCA＝2∠CAO，故抛物线的对称轴在y轴左侧，如图1，
作点A关于y轴的对称点A′（﹣m，0），则CA＝CA′，则∠CA′O＝∠CAO，
∴∠PCA＝2∠CAO＝∠CA′O+∠CAO，即∠ACP是△A′AC的外角，
由点A′、C的坐标得，直线A′C的表达式为y＝nx+mn②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（m+2n，2mn+2n2），
∵P是抛物线G位于第三象限上的点，
故，解得﹣＜，
∵n＞0，m＜0，故﹣＞0，
而m+2n＜n，故﹣＜1，
而，
∴0＜＜；
（3）设点P的坐标为（x，x2﹣（m+n）x+mn），过点P作PE∥OC交AC于点E，
由点A、C的坐标，同理可得，直线AC的表达式为y＝﹣nx+mn，则点E的坐标为（x，﹣nx+mn），
则PE＝yE﹣yP＝（﹣nx+mn）﹣[x2﹣（m+n）x+mn]＝﹣x2+mx，
而OC＝﹣mn，
∵△PCD和△OCD是同高的两个三角形，
故其面积比等于DP：OD，
∵PE∥OC，
∴△PDE∽△ODC，
则DP：OD＝PE：OC，
∴＝＝﹣（﹣x2+mx）＝（x﹣m）2﹣，
∵＜0，故有最大值为﹣，
即﹣＝，
解得：n＝﹣m2﹣m＝﹣（m+2）2+1≤1，
∴当m＝﹣2时，n有最大值为1．
即OB的最大值为1．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当GE＝GD时，求AE的长；
（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
【分析】（1）过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，由勾股定理可得出答案；
（2）过点G作MN⊥AB，证明△EMG≌△GND（AAS），得出MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，证明△DGN∽△GFN，由相似三角形的性质得出，得出方程3t＝10﹣t+，解方程求出t的值可得出答案；
（3）连接BD，交EF于点K，证明△BEK∽△DFK，得出比例线段，求出BD＝10，DK＝6，取DK的中点，连接OG，点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，连接OC，OG，求出CG的最小值和t的值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，
∵AB＝10，CD＝15，
∴CH＝5，
又∵BH＝AD＝10，
∴BC＝＝＝5；
（2）过点G作MN⊥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵DG⊥EF，
∴∠EMG＝∠GND＝90°，
∴∠MEG+∠MGE＝90°，
∵∠EGM+∠DGN＝90°，
∴∠EGM＝∠DGN，
∵EG＝DG，
∴△EMG≌△GND（AAS），
∴MG＝DN，
设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，
∵点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，
∴BE＝2t，AE＝10﹣2t，DF＝3t，CF＝15﹣3t，
∵AM＝DN，AD＝MN，
∴a+b＝10，a﹣b＝10﹣2t，解得a＝10﹣t，b＝t，
∵DG⊥EF，GN⊥DF，
∴∠DNG＝∠FNG＝90°，
∴∠GDN+∠DFG＝∠GDN+∠DGN＝90°，
∴∠DFG＝∠DGN，
∴△DGN∽△GFN，
∴，
∴GN2＝DN•NF，
∴NF＝，
又∵DF＝DN+NF，
∴3t＝10﹣t+，
解得t＝5，
又∵0≤t≤5，
∴t＝5﹣，
∴AE＝10﹣2t＝2．
（3）如图3，连接BD，交EF于点K，
∵BE∥DF，
∴△BEK∽△DFK，
∴，
又∵AB＝AD＝10，
∴BD＝AB＝10，
∴DK＝，
取DK的中点，连接OG，
∵DG⊥EF，
∴△DGK为直角三角形，
∴OG＝，
∴点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，
连接OC，OG，由图可知CG≥OC﹣OG，
当点G在线段OC上时取等号，
∵AD＝AB，∠A＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠ODC＝45°，
过点O作OH⊥DC于点H，
又∵OD＝3，CD＝15，
∴OH＝DH＝3，
∴CH＝12，
∴OC＝＝3，
则CG的最小值为3（），
当O，G，C三点共线时，过点O作直线OR⊥DG交CD于点S，
∵OD＝OG，
∴R为DG的中点，
又DG⊥GF，
∴OS∥GF，
∴点S是DF的中点，，
∴DS＝SF＝，SC＝15﹣，
∴，
∴t＝，
即当t＝时，CG取得最小值为3﹣3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
4．（3分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是（ ）
A．65° B．55° C．50° D．60°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）：4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知∠A＝70°，则∠A的余角是 ．
12．（3分）计算：（﹣）﹣2+tan45°＝ ．
13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ．
14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 （结果保留π）．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
19．（6分）已知A＝（a﹣）÷．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
20．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90°，则抽查的总人数是 人；
（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；
（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率．
21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．
（1）求北区居民至少有多少人？
（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．
（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；
（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．
23．（10分）如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧的中点．
（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D．
①求证：∠ACB＝2∠CAD；
②若CB＝BD＝2，求AB的长．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝x2﹣（m+n）x+mn（﹣4＜m＜0，n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．
（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）；
（2）若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求的取值范围；
（3）连接OP，设AC交OP于点D，△PCD的面积为S1，△OCD的面积为S2，若的最大值是，求OB的最大值．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当GE＝GD时，求AE的长；
（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
2021年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：设小车上升的高度是xm，
∵sinα＝，
∴＝，
解得，x＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．（3分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是（ ）
A．65° B．55° C．50° D．60°
【分析】根据切线的性质得出AC⊥BC，求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADO＝25°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝65°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A＝25°，
∴∠COD＝∠A+∠ADO＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的除法运算法则、去括号法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、a15÷a5＝a10（a≠0），故此选项错误；
C、﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a，故此选项正确；
D、（a5）2＝a10，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的除法运算、去括号法则、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位；环）：4，6，6，5，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，
∴该组成绩的众数是6环，
故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是：（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝，故本选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得到BC＝3，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到BE＝BC＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝2，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴DE2+22＝（4﹣DE）2，
∴DE＝，
∴BD＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【分析】令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，当p＝0时，得到方程的两根，分当p≠0时，当p＝﹣1时，当p＝3时，得y的函数式，根据题意画出图象，继而得到问题的答案．
【解答】解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当x＝﹣1时，y＝p2；
当x＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
【点评】此题考查的是抛物与x轴的交点问题，掌握根与系数的关系，能够正确画出图形是解决此题关键．
9．（3分）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【分析】通过证明△BEH∽△FAH，可得HF＝2BH，AH＝2HE，由面积数量关系可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∵CE＝2BE，AF＝2DF，
∴BE＝DF，AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴△BEH∽△FAH，
∴＝，
∴HF＝2BH，AH＝2HE，
∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，
∴S△ABF＝12，
∴S▱ABCD＝2×＝36，
∴五边形CEHFD的面积＝36﹣12﹣2＝22，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】求两条线段和最小问题，找出动点P的运动路径即可，由CP＝DP即可得出P的运动路径．
【解答】解：连接PC，PD，
∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，
∴CP＝EF，
在Rt△EDF中，
DP＝，
∴CP＝DP，
∴点P在CD的垂直平分线上运动，
作A关于CD垂直平分线的对称点A'，
∴PA+PB的最小值为A'B，
在Rt△AA'B中，
A'B＝，
故选：D．
【点评】本题考查了以等腰直角三角形为背景的两条线段和最小问题，找出P的运动路径是解决问题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知∠A＝70°，则∠A的余角是 20° ．
【分析】根据互余的定义得出．
【解答】解：根据定义∠A＝70°的余角度数是90°﹣70°＝20°．
【点评】若两个角的度数和为90°，则这两个角互余．
12．（3分）计算：（﹣）﹣2+tan45°＝ 5 ．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4+1
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ＝+5 ．
【分析】直接根据题意表示出实际每天植树的数量为：（1+20%）x，再利用植树所用天数得出等式求出答案．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为：
＝+5．
故答案为：＝+5．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
14．（3分）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 100π （结果保留π）．
【分析】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2＝5，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积．
【解答】解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2＝5，
所以圆锥的侧面积＝×2π×5×8＝40π，圆柱的侧面积＝2π×5×6＝60π，
所以每顶帐篷的表面积＝40π+60π＝100π．
故答案为：100π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【分析】分两种情况：当点C在边AD上，当点C在边DE上，由旋转的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【解答】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是 ②③ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】分别讨论函数的k和b的正负，得出函数过第几象限，可得出结论①错误，结论②正确；由解析式可得一次函数过定点（﹣2，﹣1），可得出当点H和定点重合时，OH最大，故③正确；分别求出点A和点B的坐标，根据△AOB是等腰三角形可得出等式，并求出参数m的值，得出结论④错误．
【解答】解：当m＞0，2m﹣1＞0，即m＞时，直线l经过第一，第二，第三象限；
当2m﹣1＝0，即m＝时，直线l经过第一，第三象限；
当m＞0，2m﹣1＞0，即0＜m＜时，直线l经过第一，第三，第四象限；
当m＜0时，2m﹣1＜0，直线l经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确；
一次函数y＝mx+2m﹣1＝m（x+2）﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，即直线l经过定点（﹣2，﹣1），当点H和定点（﹣2，﹣1）重合时，
OH取得最大值；即③正确；
若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则A（，0），B（0，2m﹣1），
若△AOB为等腰三角形，则|OA|＝|OB|，
∴||＝|2m﹣1|，解得m＝±1或，
又当m＝时，点A和点B，点O重合，故不成立，
∴当△AOB为等腰三角形，m＝±1；故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查一次函数图象过象限问题，等腰三角形存在性等问题，在计算时注意特殊情况即函数过原点时的情况需要排除．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：①﹣②得：4y＝20，即y＝5，
把y＝5代入①得：x＝﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
【分析】连接BD，可得△EDB≌△FDB，可得结论．
【解答】证明：如图，连接BD，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
在△EDB和△FDB中，
，
∴△EDB≌△FDB（SAS），
∴BE＝BF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，是一道比较简单的证明题．也可证明△EAB≌△FCB．
19．（6分）已知A＝（a﹣）÷．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
【分析】（1）直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
（2）利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
【解答】解：（1）A＝（a﹣）÷
＝
＝
＝．
（2）∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得，，
∴，
∴A＝＝2．
【点评】此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
20．（6分）为了了解某校开展校园志愿服务活动的情况，随机对八年级部分学生参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动进行了抽样调查，现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，参加图书管理的学生人数所在扇形的圆心角度数是90°，则抽查的总人数是 200 人；
（2）在（1）的条件下，将条形统计图补充完整；
（3）现小亮和小明拟参加上述三项志愿活动中任意一项活动，请用画树状图或者列表的方法计算他们选中同一项活动的概率．
【分析】（1）由图书管理的人数除以所占比例即可；
（2）求出纪律检查的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽查的总人数为：50÷＝200（人），故答案为：200；
（2）参与的纪律检查的人数为：200﹣50﹣120＝30（人），条形统计图补充完整如下：
（3）把参与的图书管理、校园保洁和纪律检查这三项活动分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小亮和小明选中同一项活动的结果有3个，
∴小亮和小明选中同一项活动的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
21．（8分）为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创文”宣传工作．据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北区居民数量的3倍．
（1）求北区居民至少有多少人？
（2）通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500人和2700人．为了提高居民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传．南区居民了解“创文”工作的人数月平均增长率为m．北区居民了解的人数两个月的增长率为4m．两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值．
【分析】（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，根据南区居民数量不超过北区居民数量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）由“两个月后，该社区居民中了解“创文”工作的人数达到90%”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设北区居民有x人，则南区居民有（18000﹣x）人，
依题意得：18000﹣x≤3x，
解得：x≥4500．
答：北区居民至少有4500人．
（2）依题意得：1500（1+m）2+2700（1+4m）＝18000×90%，
整理得：5m2+46m﹣40＝0，
解得：m1＝0.8＝80%，m2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：m的值为80%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．
（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；
（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．
【分析】（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsinBOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，故点B的坐标为（﹣2，2），即可求解；
（2）tan∠ABC＝2，故设AC＝2t，则BC＝t，设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，解得t＝m+n，进而求解．
【解答】解：（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsin∠BOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，
故点B的坐标为（﹣2，2），
将点B的坐标代入函数表达式得：2＝，
解得k＝﹣4；
（2）∵tan∠ABC＝2，
故设AC＝2t，则BC＝t，
设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），
将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，
解得t＝m+n，
则点C的坐标为（m，﹣m），
设直线OC的表达式为y＝rx，
将点C的坐标代入上式并解得：﹣m＝rm，解得r＝﹣，
故直线OC的表达式为y＝﹣x．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
23．（10分）如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧的中点．
（1）求作点C，并连接CA，CB（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AO，延长AO，CB，它们的延长线交于点D．
①求证：∠ACB＝2∠CAD；
②若CB＝BD＝2，求AB的长．
【分析】（1）过O点作AB的垂线交⊙O于C；
（2）根据垂径定理得到AH＝BH，＝，则∠AOC＝∠BOC，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠OAC＝∠OCA＝∠BCO，从而得到∠ACB＝2∠CAD；
（2）AD交⊙O于E，如图，利用圆周角定理得到∠ABE＝90°，再证明BE＝OC，BE＝2OH，设OH＝x，则BE＝2x，OC＝4x，CH＝3x，BH＝x，在Rt△BCH中利用勾股定理得到（3x）2+（x）2＝22，解方程求出x，然后计算2x即可．
【解答】（1）解：如图，点C为所作；
（2）证明：∵OC⊥AB，
∴AH＝BH，＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OC，OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCO，
∴∠ACB＝2∠CAD；
（2）解：AD交⊙O于E，如图，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴BE∥OC，
∵BC＝BD＝2，
∴BE＝OC，
∵OH∥BE，
∴BE＝2OH，
设OH＝x，则BE＝2x，OC＝4x，
∴CH＝3x，
在Rt△BOH中，BH＝＝x，
在Rt△BCH中，（3x）2+（x）2＝22，解得x＝，
∴AB＝2BH＝2x＝2×＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和圆周角定理．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝x2﹣（m+n）x+mn（﹣4＜m＜0，n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．
（1）求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）；
（2）若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求的取值范围；
（3）连接OP，设AC交OP于点D，△PCD的面积为S1，△OCD的面积为S2，若的最大值是，求OB的最大值．
【分析】（1）对于y＝x2﹣（m+n）x+mn①，令y＝x2﹣（m+n）x+mn＝0，解得x＝m或n，令x＝0，则y＝mn，即可求解；
（2）证明∠ACP是△A′AC的外角，进而求解；
（3）△PCD和△OCD是同高的两个三角形，故其面积比等于DP：OD，而DP：OD＝PE：OC，故＝＝﹣（﹣x2+mx）＝（x﹣m）2﹣，进而求解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣（m+n）x+mn①，令y＝x2﹣（m+n）x+mn＝0，解得x＝m或n，令x＝0，则y＝mn，
故点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（n，0）、（0，mn）；
（2）当抛物线的对称轴在y轴及其右侧都不会存在∠PCA＝2∠CAO，故抛物线的对称轴在y轴左侧，如图1，
作点A关于y轴的对称点A′（﹣m，0），则CA＝CA′，则∠CA′O＝∠CAO，
∴∠PCA＝2∠CAO＝∠CA′O+∠CAO，即∠ACP是△A′AC的外角，
由点A′、C的坐标得，直线A′C的表达式为y＝nx+mn②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（m+2n，2mn+2n2），
∵P是抛物线G位于第三象限上的点，
故，解得﹣＜，
∵n＞0，m＜0，故﹣＞0，
而m+2n＜n，故﹣＜1，
而，
∴0＜＜；
（3）设点P的坐标为（x，x2﹣（m+n）x+mn），过点P作PE∥OC交AC于点E，
由点A、C的坐标，同理可得，直线AC的表达式为y＝﹣nx+mn，则点E的坐标为（x，﹣nx+mn），
则PE＝yE﹣yP＝（﹣nx+mn）﹣[x2﹣（m+n）x+mn]＝﹣x2+mx，
而OC＝﹣mn，
∵△PCD和△OCD是同高的两个三角形，
故其面积比等于DP：OD，
∵PE∥OC，
∴△PDE∽△ODC，
则DP：OD＝PE：OC，
∴＝＝﹣（﹣x2+mx）＝（x﹣m）2﹣，
∵＜0，故有最大值为﹣，
即﹣＝，
解得：n＝﹣m2﹣m＝﹣（m+2）2+1≤1，
∴当m＝﹣2时，n有最大值为1．
即OB的最大值为1．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当GE＝GD时，求AE的长；
（3）当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
【分析】（1）过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，由勾股定理可得出答案；
（2）过点G作MN⊥AB，证明△EMG≌△GND（AAS），得出MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，证明△DGN∽△GFN，由相似三角形的性质得出，得出方程3t＝10﹣t+，解方程求出t的值可得出答案；
（3）连接BD，交EF于点K，证明△BEK∽△DFK，得出比例线段，求出BD＝10，DK＝6，取DK的中点，连接OG，点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，连接OC，OG，求出CG的最小值和t的值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，
∵AB＝10，CD＝15，
∴CH＝5，
又∵BH＝AD＝10，
∴BC＝＝＝5；
（2）过点G作MN⊥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵DG⊥EF，
∴∠EMG＝∠GND＝90°，
∴∠MEG+∠MGE＝90°，
∵∠EGM+∠DGN＝90°，
∴∠EGM＝∠DGN，
∵EG＝DG，
∴△EMG≌△GND（AAS），
∴MG＝DN，
设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，
∵点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，
∴BE＝2t，AE＝10﹣2t，DF＝3t，CF＝15﹣3t，
∵AM＝DN，AD＝MN，
∴a+b＝10，a﹣b＝10﹣2t，解得a＝10﹣t，b＝t，
∵DG⊥EF，GN⊥DF，
∴∠DNG＝∠FNG＝90°，
∴∠GDN+∠DFG＝∠GDN+∠DGN＝90°，
∴∠DFG＝∠DGN，
∴△DGN∽△GFN，
∴，
∴GN2＝DN•NF，
∴NF＝，
又∵DF＝DN+NF，
∴3t＝10﹣t+，
解得t＝5，
又∵0≤t≤5，
∴t＝5﹣，
∴AE＝10﹣2t＝2．
（3）如图3，连接BD，交EF于点K，
∵BE∥DF，
∴△BEK∽△DFK，
∴，
又∵AB＝AD＝10，
∴BD＝AB＝10，
∴DK＝，
取DK的中点，连接OG，
∵DG⊥EF，
∴△DGK为直角三角形，
∴OG＝，
∴点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，
连接OC，OG，由图可知CG≥OC﹣OG，
当点G在线段OC上时取等号，
∵AD＝AB，∠A＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠ODC＝45°，
过点O作OH⊥DC于点H，
又∵OD＝3，CD＝15，
∴OH＝DH＝3，
∴CH＝12，
∴OC＝＝3，
则CG的最小值为3（），
当O，G，C三点共线时，过点O作直线OR⊥DG交CD于点S，
∵OD＝OG，
∴R为DG的中点，
又DG⊥GF，
∴OS∥GF，
∴点S是DF的中点，，
∴DS＝SF＝，SC＝15﹣，
∴，
∴t＝，
即当t＝时，CG取得最小值为3﹣3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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