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2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．2021的倒数的相反数是（ ）
A． B．﹣2021 C． D．2021
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0） D．a（a+1）＝a2+1
4．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
7．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，圆锥底面半径为r，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．12cm B．15cm C．4πcm D．5πcm
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
12．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣16b2＝ ．
14．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝ 米．
15．如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2sin60°．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
20．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
21．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图①，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．
（1）如图①若手机显示AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，请确定此时测试者的身高AB长．
（2）如图②若手机显示AC＝2m，AD＝2.5m，∠CAD＝53°，求此时被测试者CD的高．（结果保留根号），cos53°≈，tan53°≈
22．（9分）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到武汉，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装15吨物资，B型货车每辆可装12吨物资，安排的B型货车的数量是A型货车的2倍还多4辆，且A型车最多可安排18辆．运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是多少？
23．（9分）矩形ABCD的边CD上有一动点E，连接AE，把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处（如图）．
（1）求证：．
（2）若矩形ABCD的边AD＝5，AB＝4，求DE的长．
（3）若S△AEF＝S△ABF+S△CEF，试判断的值与的值的大小关系，并证明你的判断．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，则称A与B是“纠缠多项式”，简单的说，A是B的“纠缠式”，这个常数称为A关于B的“纠缠值”．
例如：多项式A＝x3﹣4x2+6，B＝x2（x﹣4）﹣3，则A是B的“纠缠式”，A关于B的“纠缠值”为9．
（1）已知多项式C＝3x2﹣x﹣4，判断下列式子中哪一个为C的“纠缠式”，并请并求出C关于这个多项式的“纠缠值”．这个多项式是 （填序号），纠缠值等于 ．
①2x2﹣x（1﹣x）；
②（3x+4）（x﹣1）；
③6x2﹣2x+4．
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“纠缠式”，且当x为实数时，N的最小值为2，求M关于N的“纠缠值”；
（3）已知多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）．构造函数：y＝x2+b1x+c1，y＝x2+b2x+c2．若直线y＝kx+m与y＝x2+b1x+c1、y＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1、S2、S3分别为△EPF、△EPG、△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
25．（10分）如图，扇形AOB的扇形角∠AOB为90°，点C为弧AB上的一个动点（点C不与点A、B重合）．过圆心O分别作弦AC、BC的垂线OD、OE，垂足分别为D、E．已知扇形AOB的半径等于2．
（1）求∠ACB的度数．
（2）设弦AC＝a、BC＝b，试求a、b的关系式．
（3）在（2）条件下，连接AB，分别交OD、OE于M、N，记以线段AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求的值．
2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．2021的倒数的相反数是（ ）
A． B．﹣2021 C． D．2021
【分析】直接利用倒数以及相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2021的倒数为：，则的相反数是：﹣．
故选：A．
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0） D．a（a+1）＝a2+1
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；
B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；
D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．
故选：C．
4．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图案，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
故选：A．
5．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案．
【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故A错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可能投中6次，故B错误；
C、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故C错误；
D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故D正确；
故选：D．
7．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，
∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，
∴，
解得：a＜2．
则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．
故选：C．
8．如图，圆锥底面半径为r，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．12cm B．15cm C．4πcm D．5πcm
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr＝π×20，
解得r＝12．
故选：A．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA＝a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF＝S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA＝a，
在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝，
∴AM＝OA•sin∠AOB＝a，OM＝＝a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴a•a＝a2＝48，
解得：a＝10，或a＝﹣10（舍去）．
∴AM＝8，OM＝6，OB＝OA＝10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF＝S菱形OBCA＝OB•AM＝40．
故选：B．
12．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用对称轴方程得到b＝2a，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），则当x＝﹣3时，y＞0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质，通过比较点（﹣2，y1）和点（，y2）到直线x＝﹣1的距离的大小对③进行判断；利用x＝2，y＝0得到c＝﹣8a，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∴当x＝﹣3时，y＞0，
即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；
∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
∴y1＞y2，所以③错误；
∵x＝2，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣16b2＝ （a+4b）（a﹣4b） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．
故答案为：（a+4b）（a﹣4b）．
14．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝ 3 米．
【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵i＝1：，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AB＝3（米），
故答案为：3．
15．如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 52° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠GFD＝26°，∠AEF＝∠EFD，利用角平分线的定义可求解∠EFD的度数，进而可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠AEF＝∠EFD，
∵∠FGB＝154°，
∴∠GFD＝180°﹣154°＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∴∠AEF＝52°，
故答案为52°．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2sin60°．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×+3﹣1﹣
＝+3﹣1﹣
＝2．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
把x＝2021代入得：原式＝．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ADE是△EBD的一个外角，∠B为与∠ADE不相邻的内角．
∴∠ADE＞∠B．
（2）证明：∵将△ABC折叠，使点B落在点C上，
∴BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，即AF+BF＞AC，
∴AB＞AC．
20．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；
（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），
补全图形如下：
（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；
（4）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为＝．
21．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图①，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．
（1）如图①若手机显示AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，请确定此时测试者的身高AB长．
（2）如图②若手机显示AC＝2m，AD＝2.5m，∠CAD＝53°，求此时被测试者CD的高．（结果保留根号），cos53°≈，tan53°≈
【分析】（1）由已知条件可得△ACD为等边三角形，利用30度角的直角三角形即可求出结果；
（2）过点D作DH⊥AC于H．利用锐角三角函数和勾股定理即可求出结果．
【解答】解：（1）∵AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵CD⊥BC，AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝3.4m，
∴AB＝1.7（m），
答：此时测试者的身高AB长为 1.7m；
（2）如图②中，过点D作DH⊥AC于H．
在Rt△ADH中，AH＝AD•cos53°＝2.5×＝1.5（m），
DH＝AD•sin53°＝2.5×＝2（m），
∵AC＝2m，
∴CH＝AC﹣AH＝0.5（m），
∴CD＝（m）．
答：此时被测试者CD的高为m．
22．（9分）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到武汉，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装15吨物资，B型货车每辆可装12吨物资，安排的B型货车的数量是A型货车的2倍还多4辆，且A型车最多可安排18辆．运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是多少？
【分析】（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，根据“从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆，根据A型车最多可安排18辆且安排的车辆总的装载量不低于600吨，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出m的值，再求出各安排方案所需补贴的总的油费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，
依题意，得：，
解得：．
答：从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费400元，每辆B型货车补贴油费300元．
（2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆，
依题意，得：，
解得：14≤m≤18．
∵m为正整数，
∴m＝15，16，17，18
当m＝15时，补贴的总的油费为400×15+300×（15×2+4）＝16200（元）；
当m＝16时，补贴的总的油费为400×16+300×（16×2+4）＝17200（元）；
当m＝17时，补贴的总的油费为400×17+300×（17×2+4）＝18200（元）；
当m＝18时，补贴的总的油费为400×18+300×（18×2+4）＝19200（元）．
∵16200＜17200＜18200＜19200，
∴运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是16200元．
23．（9分）矩形ABCD的边CD上有一动点E，连接AE，把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处（如图）．
（1）求证：．
（2）若矩形ABCD的边AD＝5，AB＝4，求DE的长．
（3）若S△AEF＝S△ABF+S△CEF，试判断的值与的值的大小关系，并证明你的判断．
【分析】（1）证明△ABF∽△FCE，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出BF＝3，设ED＝x，由勾股定理得出方程22+（4﹣x）2＝x2，解方程即可得出答案；
（3）过F作AB的平行线交AE于G，则，得出FG＝，过E作EH⊥AB于H，交FG于M．求出∠BAF＝30°，证明△ABF∽△AEF，△AFE∽△FCE，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处，
∴△AED≌△AFE，
∴∠CFE+∠BFA＝90°，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠CFE＝∠BAF，
∴△ABF∽△FCE，
∴，
∵AB＝CD，
∴；
（2）解：设ED＝x，
∵CD＝AB＝4，
∴CE＝4﹣x，FE＝x，
又∵AF＝AD＝5，AB2+BF2＝AF2，
∴BF＝＝＝3，
∴CF＝5﹣3＝2，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴DE＝；
（3）答：相等．
证明：∵S△AEF＝S△ABF+S△EFC，
∴S△AEF＝，
过F作AB的平行线交AE于G，则（AB+CE）BC，
∴FG＝（AB+CE），
过E作EH⊥AB于H，交FG于M．
∵FG∥AB∥CE，
∴FM＝（BH+CE），
∴FM+GM＝（BH+AH+CE），
∴GM＝AH，
∴G，F分别为AE、BC中点．
在Rt△ABF中，BF＝BC＝AF．
∴∠BAF＝30°，
∴∠BAF＝∠CFE＝∠EAF＝30°，
∵∠ABF＝∠AFE＝∠FCE＝90°，
∴△ABF∽△AEF，△AFE∽△FCE，
∴，，
∴AF2＝AE⋅AB，EF2＝AE⋅CE，
∴，
∴．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，则称A与B是“纠缠多项式”，简单的说，A是B的“纠缠式”，这个常数称为A关于B的“纠缠值”．
例如：多项式A＝x3﹣4x2+6，B＝x2（x﹣4）﹣3，则A是B的“纠缠式”，A关于B的“纠缠值”为9．
（1）已知多项式C＝3x2﹣x﹣4，判断下列式子中哪一个为C的“纠缠式”，并请并求出C关于这个多项式的“纠缠值”．这个多项式是 ① （填序号），纠缠值等于 ﹣4 ．
①2x2﹣x（1﹣x）；
②（3x+4）（x﹣1）；
③6x2﹣2x+4．
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“纠缠式”，且当x为实数时，N的最小值为2，求M关于N的“纠缠值”；
（3）已知多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）．构造函数：y＝x2+b1x+c1，y＝x2+b2x+c2．若直线y＝kx+m与y＝x2+b1x+c1、y＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1、S2、S3分别为△EPF、△EPG、△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由“纠缠多项式”的定义进行判断即可解决问题；
（2）由C是为D的“纠缠式”，可得M﹣N＝﹣2ax+a2+2x﹣b常数，即﹣2a+2＝0，a＝1．又N的最小值为 2，通过配方顶点式可得b＝3，M关于N的“纠缠值”为a2﹣b＝﹣2；
（3）多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”，得b1＝b2，由x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b1﹣k）x+c1﹣m＝0的两根，得x1+x4＝k﹣b1，x1x4＝c1﹣m．同理：x2+x3＝k﹣b2，x2x3＝c2﹣m，得x1+x4＝x2+x3，即x1﹣x2＝x3﹣x4，得FM＝HN，从而可证△EFM≌△GHN，EF＝GH，由面积公式即可求S△EPF＝S△GPH，即＝1．
【解答】解：（1）3x2﹣x﹣4﹣[2x2﹣x（1﹣x）]＝﹣4，
由定义可得①式是C的“纠缠式”，多项式的“纠缠值”是﹣4．
故答案为①，﹣4；
（2）∵C是为D的“纠缠式”，
∴M﹣N＝﹣2ax+a2+2x﹣b常数．
∴﹣2a+2＝0，a＝1．
又N的最小值为 2，
∴b＝3．
M关于N的“纠缠值”为a2﹣b＝﹣2
（3）分别过E、F作x轴、y轴的垂线，两直线交于点M．
分别过G、H作x轴、y轴的垂线，两直线交于点N．
∵多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”，
∴b1＝b2．
∵x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b1﹣k）x+c1﹣m＝0的两根，
∴x1+x4＝k﹣b1，x1x4＝c1﹣m．
同理：x2+x3＝k﹣b2，x2x3＝c2﹣m，
∴x1+x4＝x2+x3，
∴x4﹣x3＝x2﹣x1，
∴HN＝FM，
∵FM∥HN，
∴∠EFM＝∠GHN，
在△EFM和△GHN中
，
∴△EFM≌△GHN（ASA），
∴EF＝GH，
∴S△EPF＝S△GPH，
∴＝1．
25．（10分）如图，扇形AOB的扇形角∠AOB为90°，点C为弧AB上的一个动点（点C不与点A、B重合）．过圆心O分别作弦AC、BC的垂线OD、OE，垂足分别为D、E．已知扇形AOB的半径等于2．
（1）求∠ACB的度数．
（2）设弦AC＝a、BC＝b，试求a、b的关系式．
（3）在（2）条件下，连接AB，分别交OD、OE于M、N，记以线段AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求的值．
【分析】（1）证明∠DOC＝∠AOC，同理，∠COE＝∠BOC，则∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOB＝45°，即可求解；
（2）证明DE为△ABC中位线，在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，则2＝（b）2+（a+b）2，即可求解；
（3）由S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC，而S△AOB＝2，故当S△ABC取最大值时，S四边形AOBC最大，则S四边形DOEC最大，进而求解．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴∠DOC＝∠AOC，
同理，OE⊥BC，OC＝OB，
∴∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOB＝45°，
∴在四边形DOEC中，∠DCE＝∠ACB＝135°；
（2）∵AC＝a，BC＝b，
∴DC＝a，EC＝b，
在△DEC中，∠DCE＝135°，
过E作EH⊥AG，交AC于H，
∴∠ECH＝45°，
∴EH＝CH＝×b＝b，
∴DH＝a+b，
连接AB，
则DE为△ABC中位线，
∴DE＝AB＝，
在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，
∴2＝（b）2+（a+b）2，
∴a2+b2+ab＝8；
（3）如图2，连接CM、CN，
由垂径定理，OD、OE分别为AC、CB的中垂线，
∴AM＝CM，BN＝CN，
由（1）可知，∠CAB+∠CBA＝45°，
∴∠MCN＝90°，
∴Rt△CMN的外接圆半径为r＝．
由题意得：△AOD≌△COD，△BOE≌△COC，
∴．
∵S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC，
又S△AOB＝2，
∴当S△ABC取最大值时，S四边形AOBC最大，则S四边形DOEC最大，
∵，
∴当h最大值时，S四边形ODCE最大，C为弧AB中点，
∴AC＝BC，即a＝b，
作OC⊥AB于P点，
则AP＝PB＝，PC＝2﹣，
又由（2）得：a2+b2+ab＝8，
又∵a＝b，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠NEB＝∠BPC＝90°，∠NBE＝∠CBP，
∴△BEN∽△BPC，
∴BE•BC＝BN•BP，
∴2BE2＝BN•，
∴2（2﹣）＝BN•，
∴BN＝2﹣2，
∴PN＝﹣（2﹣2）＝2﹣，
∴MN＝2r，
∴r＝PN＝2﹣，
又∵a2＝b2＝BC2＝8﹣，
∴．
2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．2021的倒数的相反数是（ ）
A． B．﹣2021 C． D．2021
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0） D．a（a+1）＝a2+1
4．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
7．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，圆锥底面半径为r，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．12cm B．15cm C．4πcm D．5πcm
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
12．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣16b2＝ ．
14．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝ 米．
15．如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2sin60°．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
20．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
21．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图①，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．
（1）如图①若手机显示AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，请确定此时测试者的身高AB长．
（2）如图②若手机显示AC＝2m，AD＝2.5m，∠CAD＝53°，求此时被测试者CD的高．（结果保留根号），cos53°≈，tan53°≈
22．（9分）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到武汉，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装15吨物资，B型货车每辆可装12吨物资，安排的B型货车的数量是A型货车的2倍还多4辆，且A型车最多可安排18辆．运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是多少？
23．（9分）矩形ABCD的边CD上有一动点E，连接AE，把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处（如图）．
（1）求证：．
（2）若矩形ABCD的边AD＝5，AB＝4，求DE的长．
（3）若S△AEF＝S△ABF+S△CEF，试判断的值与的值的大小关系，并证明你的判断．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，则称A与B是“纠缠多项式”，简单的说，A是B的“纠缠式”，这个常数称为A关于B的“纠缠值”．
例如：多项式A＝x3﹣4x2+6，B＝x2（x﹣4）﹣3，则A是B的“纠缠式”，A关于B的“纠缠值”为9．
（1）已知多项式C＝3x2﹣x﹣4，判断下列式子中哪一个为C的“纠缠式”，并请并求出C关于这个多项式的“纠缠值”．这个多项式是 （填序号），纠缠值等于 ．
①2x2﹣x（1﹣x）；
②（3x+4）（x﹣1）；
③6x2﹣2x+4．
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“纠缠式”，且当x为实数时，N的最小值为2，求M关于N的“纠缠值”；
（3）已知多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）．构造函数：y＝x2+b1x+c1，y＝x2+b2x+c2．若直线y＝kx+m与y＝x2+b1x+c1、y＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1、S2、S3分别为△EPF、△EPG、△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
25．（10分）如图，扇形AOB的扇形角∠AOB为90°，点C为弧AB上的一个动点（点C不与点A、B重合）．过圆心O分别作弦AC、BC的垂线OD、OE，垂足分别为D、E．已知扇形AOB的半径等于2．
（1）求∠ACB的度数．
（2）设弦AC＝a、BC＝b，试求a、b的关系式．
（3）在（2）条件下，连接AB，分别交OD、OE于M、N，记以线段AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求的值．
2021年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．2021的倒数的相反数是（ ）
A． B．﹣2021 C． D．2021
【分析】直接利用倒数以及相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2021的倒数为：，则的相反数是：﹣．
故选：A．
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0） D．a（a+1）＝a2+1
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；
B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；
D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．
故选：C．
4．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图案，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图案，故此选项不合题意；
故选：A．
5．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案．
【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故A错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可能投中6次，故B错误；
C、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故C错误；
D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故D正确；
故选：D．
7．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，
∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，
∴，
解得：a＜2．
则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．
故选：C．
8．如图，圆锥底面半径为r，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．12cm B．15cm C．4πcm D．5πcm
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr＝π×20，
解得r＝12．
故选：A．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA＝a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF＝S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA＝a，
在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝，
∴AM＝OA•sin∠AOB＝a，OM＝＝a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴a•a＝a2＝48，
解得：a＝10，或a＝﹣10（舍去）．
∴AM＝8，OM＝6，OB＝OA＝10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF＝S菱形OBCA＝OB•AM＝40．
故选：B．
12．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用对称轴方程得到b＝2a，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），则当x＝﹣3时，y＞0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质，通过比较点（﹣2，y1）和点（，y2）到直线x＝﹣1的距离的大小对③进行判断；利用x＝2，y＝0得到c＝﹣8a，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∴当x＝﹣3时，y＞0，
即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；
∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
∴y1＞y2，所以③错误；
∵x＝2，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：a2﹣16b2＝ （a+4b）（a﹣4b） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．
故答案为：（a+4b）（a﹣4b）．
14．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝ 3 米．
【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵i＝1：，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AB＝3（米），
故答案为：3．
15．如图，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于 52° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠GFD＝26°，∠AEF＝∠EFD，利用角平分线的定义可求解∠EFD的度数，进而可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠AEF＝∠EFD，
∵∠FGB＝154°，
∴∠GFD＝180°﹣154°＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∴∠AEF＝52°，
故答案为52°．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2sin60°．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×+3﹣1﹣
＝+3﹣1﹣
＝2．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
把x＝2021代入得：原式＝．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ADE是△EBD的一个外角，∠B为与∠ADE不相邻的内角．
∴∠ADE＞∠B．
（2）证明：∵将△ABC折叠，使点B落在点C上，
∴BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，即AF+BF＞AC，
∴AB＞AC．
20．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；
（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），
补全图形如下：
（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；
（4）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为＝．
21．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图①，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．
（1）如图①若手机显示AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，请确定此时测试者的身高AB长．
（2）如图②若手机显示AC＝2m，AD＝2.5m，∠CAD＝53°，求此时被测试者CD的高．（结果保留根号），cos53°≈，tan53°≈
【分析】（1）由已知条件可得△ACD为等边三角形，利用30度角的直角三角形即可求出结果；
（2）过点D作DH⊥AC于H．利用锐角三角函数和勾股定理即可求出结果．
【解答】解：（1）∵AC＝AD＝3.4m，∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵CD⊥BC，AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝3.4m，
∴AB＝1.7（m），
答：此时测试者的身高AB长为 1.7m；
（2）如图②中，过点D作DH⊥AC于H．
在Rt△ADH中，AH＝AD•cos53°＝2.5×＝1.5（m），
DH＝AD•sin53°＝2.5×＝2（m），
∵AC＝2m，
∴CH＝AC﹣AH＝0.5（m），
∴CD＝（m）．
答：此时被测试者CD的高为m．
22．（9分）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到武汉，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装15吨物资，B型货车每辆可装12吨物资，安排的B型货车的数量是A型货车的2倍还多4辆，且A型车最多可安排18辆．运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是多少？
【分析】（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，根据“从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆，根据A型车最多可安排18辆且安排的车辆总的装载量不低于600吨，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出m的值，再求出各安排方案所需补贴的总的油费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，
依题意，得：，
解得：．
答：从甲地到武汉，每辆A型货车补贴油费400元，每辆B型货车补贴油费300元．
（2）设安排A型货车m辆，则安排B型货车（2m+4）辆，
依题意，得：，
解得：14≤m≤18．
∵m为正整数，
∴m＝15，16，17，18
当m＝15时，补贴的总的油费为400×15+300×（15×2+4）＝16200（元）；
当m＝16时，补贴的总的油费为400×16+300×（16×2+4）＝17200（元）；
当m＝17时，补贴的总的油费为400×17+300×（17×2+4）＝18200（元）；
当m＝18时，补贴的总的油费为400×18+300×（18×2+4）＝19200（元）．
∵16200＜17200＜18200＜19200，
∴运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是16200元．
23．（9分）矩形ABCD的边CD上有一动点E，连接AE，把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处（如图）．
（1）求证：．
（2）若矩形ABCD的边AD＝5，AB＝4，求DE的长．
（3）若S△AEF＝S△ABF+S△CEF，试判断的值与的值的大小关系，并证明你的判断．
【分析】（1）证明△ABF∽△FCE，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出BF＝3，设ED＝x，由勾股定理得出方程22+（4﹣x）2＝x2，解方程即可得出答案；
（3）过F作AB的平行线交AE于G，则，得出FG＝，过E作EH⊥AB于H，交FG于M．求出∠BAF＝30°，证明△ABF∽△AEF，△AFE∽△FCE，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处，
∴△AED≌△AFE，
∴∠CFE+∠BFA＝90°，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠CFE＝∠BAF，
∴△ABF∽△FCE，
∴，
∵AB＝CD，
∴；
（2）解：设ED＝x，
∵CD＝AB＝4，
∴CE＝4﹣x，FE＝x，
又∵AF＝AD＝5，AB2+BF2＝AF2，
∴BF＝＝＝3，
∴CF＝5﹣3＝2，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴DE＝；
（3）答：相等．
证明：∵S△AEF＝S△ABF+S△EFC，
∴S△AEF＝，
过F作AB的平行线交AE于G，则（AB+CE）BC，
∴FG＝（AB+CE），
过E作EH⊥AB于H，交FG于M．
∵FG∥AB∥CE，
∴FM＝（BH+CE），
∴FM+GM＝（BH+AH+CE），
∴GM＝AH，
∴G，F分别为AE、BC中点．
在Rt△ABF中，BF＝BC＝AF．
∴∠BAF＝30°，
∴∠BAF＝∠CFE＝∠EAF＝30°，
∵∠ABF＝∠AFE＝∠FCE＝90°，
∴△ABF∽△AEF，△AFE∽△FCE，
∴，，
∴AF2＝AE⋅AB，EF2＝AE⋅CE，
∴，
∴．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，则称A与B是“纠缠多项式”，简单的说，A是B的“纠缠式”，这个常数称为A关于B的“纠缠值”．
例如：多项式A＝x3﹣4x2+6，B＝x2（x﹣4）﹣3，则A是B的“纠缠式”，A关于B的“纠缠值”为9．
（1）已知多项式C＝3x2﹣x﹣4，判断下列式子中哪一个为C的“纠缠式”，并请并求出C关于这个多项式的“纠缠值”．这个多项式是 ① （填序号），纠缠值等于 ﹣4 ．
①2x2﹣x（1﹣x）；
②（3x+4）（x﹣1）；
③6x2﹣2x+4．
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“纠缠式”，且当x为实数时，N的最小值为2，求M关于N的“纠缠值”；
（3）已知多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”（其中b1、b2、c1、c2为常数，c1＜c2）．构造函数：y＝x2+b1x+c1，y＝x2+b2x+c2．若直线y＝kx+m与y＝x2+b1x+c1、y＝x2+b2x+c2的图象相交于E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4．若y＝x2+b1x+c1的图象的顶点为P，记S1、S2、S3分别为△EPF、△EPG、△EPH的面积．问：的值是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由“纠缠多项式”的定义进行判断即可解决问题；
（2）由C是为D的“纠缠式”，可得M﹣N＝﹣2ax+a2+2x﹣b常数，即﹣2a+2＝0，a＝1．又N的最小值为 2，通过配方顶点式可得b＝3，M关于N的“纠缠值”为a2﹣b＝﹣2；
（3）多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”，得b1＝b2，由x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b1﹣k）x+c1﹣m＝0的两根，得x1+x4＝k﹣b1，x1x4＝c1﹣m．同理：x2+x3＝k﹣b2，x2x3＝c2﹣m，得x1+x4＝x2+x3，即x1﹣x2＝x3﹣x4，得FM＝HN，从而可证△EFM≌△GHN，EF＝GH，由面积公式即可求S△EPF＝S△GPH，即＝1．
【解答】解：（1）3x2﹣x﹣4﹣[2x2﹣x（1﹣x）]＝﹣4，
由定义可得①式是C的“纠缠式”，多项式的“纠缠值”是﹣4．
故答案为①，﹣4；
（2）∵C是为D的“纠缠式”，
∴M﹣N＝﹣2ax+a2+2x﹣b常数．
∴﹣2a+2＝0，a＝1．
又N的最小值为 2，
∴b＝3．
M关于N的“纠缠值”为a2﹣b＝﹣2
（3）分别过E、F作x轴、y轴的垂线，两直线交于点M．
分别过G、H作x轴、y轴的垂线，两直线交于点N．
∵多项式x2+b1x+c1是x2+b2x+c2的“纠缠式”，
∴b1＝b2．
∵x1，x4是方程组对应的两根方程x2+（b1﹣k）x+c1﹣m＝0的两根，
∴x1+x4＝k﹣b1，x1x4＝c1﹣m．
同理：x2+x3＝k﹣b2，x2x3＝c2﹣m，
∴x1+x4＝x2+x3，
∴x4﹣x3＝x2﹣x1，
∴HN＝FM，
∵FM∥HN，
∴∠EFM＝∠GHN，
在△EFM和△GHN中
，
∴△EFM≌△GHN（ASA），
∴EF＝GH，
∴S△EPF＝S△GPH，
∴＝1．
25．（10分）如图，扇形AOB的扇形角∠AOB为90°，点C为弧AB上的一个动点（点C不与点A、B重合）．过圆心O分别作弦AC、BC的垂线OD、OE，垂足分别为D、E．已知扇形AOB的半径等于2．
（1）求∠ACB的度数．
（2）设弦AC＝a、BC＝b，试求a、b的关系式．
（3）在（2）条件下，连接AB，分别交OD、OE于M、N，记以线段AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求的值．
【分析】（1）证明∠DOC＝∠AOC，同理，∠COE＝∠BOC，则∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOB＝45°，即可求解；
（2）证明DE为△ABC中位线，在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，则2＝（b）2+（a+b）2，即可求解；
（3）由S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC，而S△AOB＝2，故当S△ABC取最大值时，S四边形AOBC最大，则S四边形DOEC最大，进而求解．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴∠DOC＝∠AOC，
同理，OE⊥BC，OC＝OB，
∴∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOB＝45°，
∴在四边形DOEC中，∠DCE＝∠ACB＝135°；
（2）∵AC＝a，BC＝b，
∴DC＝a，EC＝b，
在△DEC中，∠DCE＝135°，
过E作EH⊥AG，交AC于H，
∴∠ECH＝45°，
∴EH＝CH＝×b＝b，
∴DH＝a+b，
连接AB，
则DE为△ABC中位线，
∴DE＝AB＝，
在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，
∴2＝（b）2+（a+b）2，
∴a2+b2+ab＝8；
（3）如图2，连接CM、CN，
由垂径定理，OD、OE分别为AC、CB的中垂线，
∴AM＝CM，BN＝CN，
由（1）可知，∠CAB+∠CBA＝45°，
∴∠MCN＝90°，
∴Rt△CMN的外接圆半径为r＝．
由题意得：△AOD≌△COD，△BOE≌△COC，
∴．
∵S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC，
又S△AOB＝2，
∴当S△ABC取最大值时，S四边形AOBC最大，则S四边形DOEC最大，
∵，
∴当h最大值时，S四边形ODCE最大，C为弧AB中点，
∴AC＝BC，即a＝b，
作OC⊥AB于P点，
则AP＝PB＝，PC＝2﹣，
又由（2）得：a2+b2+ab＝8，
又∵a＝b，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠NEB＝∠BPC＝90°，∠NBE＝∠CBP，
∴△BEN∽△BPC，
∴BE•BC＝BN•BP，
∴2BE2＝BN•，
∴2（2﹣）＝BN•，
∴BN＝2﹣2，
∴PN＝﹣（2﹣2）＝2﹣，
∴MN＝2r，
∴r＝PN＝2﹣，
又∵a2＝b2＝BC2＝8﹣，
∴．
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