第八章 8.4直线、平面平行-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时

进门测



1．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案　D
解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线
答案　A
解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
答案　6
解析　各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，
在四边形EFGH中有6条符合题意．
4. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
答案　平行四边形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形．
作业检查


无第2课时


阶段训练


题型一　直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明　
(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．
再由PO∥GK得GK＝PO，
即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，
PO＝＝＝6，
所以GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
【同步练习】
1、如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．
证明　∵CD∥平面EFGH，
而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
∵CD∥EF.
同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.
同理HE∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形．
题型二　平面与平面平行的判定与性质
例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明　
如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
【同步练习】
1、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
(1)证明　由题设知，BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)解　∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
又AO＝AC＝1，AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又S△ABD＝××＝1，
∴＝S△ABD·A1O＝1.








第3课时


阶段重难点梳理



1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b


2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b







重点题型训练




题型三　平行关系的综合应用
例4 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　方法一　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
下面给出证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1，
∵AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面AB1C1.
方法二　假设在棱AB上存在点E，
使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
【同步练习】
1、如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？
解　∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，
∴截面EFGH是平行四边形．
设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．
又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，
＝，两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，
∴S▱EFGH＝FG·GH·sin α
＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．
∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，
∴x(a－x)≤，当且仅当x＝a－x时等号成立．
此时x＝，y＝.
即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．

2、如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.
(1)求四棱锥S－ABCD的体积；
(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．
规范解答
解　(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，
∴AD＝3.
由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，
VS－ABCD＝·SA··(BC＋AD)·AB
＝×2××(2＋3)×2＝.
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.
证明如下：
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，
则EF綊AD，BC綊AD，
∴BC綊EF，∴CE∥BF.
又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，
∴CE∥平面SAB.
思导总结



一、判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
二、证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．





作业布置



1．有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.
2．已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案　D
解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案　D
解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)


A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案　B
解析　①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)
A．16 B．24或
C．14 D．20
答案　B
解析　由α∥β得AB∥CD.
分两种情况：
若点P在α，β的同侧，则＝，
∴PB＝，∴BD＝；
若点P在α，β之间，则＝，
∴PB＝16，∴BD＝24.


6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
答案　②③④
解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________．
答案　①或③
解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案　Q为CC1的中点
解析　假设Q为CC1的中点．
因为P为DD1的中点，
所以QB∥PA.
连接DB，因为O是底面ABCD的中心，
所以D1B∥PO，
又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，且PA∩PO于P，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案　平面ABD与平面ABC
解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
答案　
解析　如图，取AC的中点G，
连接SG，BG.
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，
故AC⊥平面SGB，
所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
则SB∥HD.同理SB∥FE.
又D，E分别为AB，BC的中点，
则H，F也为AS，SC的中点，
从而得HF綊AC綊DE，
所以四边形DEFH为平行四边形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
所以DE⊥HD，
所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝(AC)·(SB)＝.
11. 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明　(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.
如图，连接HB、D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1＝D1，
BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
12． 在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD.
(1)在AF上是否存在点G，使得EG∥平面ABCD，请证明你的结论；
(2)求该多面体的体积．
解　(1) 当点G位于AF中点时，有EG∥平面ABCD.
证明如下：取AF的中点G，AD的中点H，连接GH，GE，BH.
在△ADF中，HG为中位线，
故HG∥DF且HG＝DF.
因为BE∥DF且BE＝DF，
所以BE綊GH，即四边形BEGH为平行四边形，
所以EG∥BH.
因为BH⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，
所以E
G∥平面ABCD.


(2) 连接AC，BD.
因为DF⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
所以AC⊥平面BDFE.
所以该多面体可分割成两个以平面BDFE为底面的等体积的四棱锥．
即VABCDEF＝VA－BDFE＋VC－BDFE＝2VA－BDFE
＝2×××a×a
＝a3.
*13.如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解　(1) 如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，
∴＝，＝，
又∵＝1，∴＝1，即＝1.