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高考数学一轮复习 第八章 第6节
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这是一份高考数学一轮复习 第八章 第6节，共18页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程和几何性质等内容，欢迎下载使用。
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
2.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(5)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(1,eeq \\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq \r(17)－1，故|PF2|＝6.
答案 6
4.(2018·浙江卷)双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案 B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，则a＝________.
解析 由题意可得eq \f(3,a)＝eq \f(3,5)，所以a＝5.
答案 5
6.(2018·北京卷)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝________.
解析 由题意可得，eq \f(a2＋4,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2)，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案 4
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝eq \r(2)，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4eq \r(2)，|PF2|＝2eq \r(2)，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(3,4).
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1).
答案 (1)C (2)x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A.2eq \r(15)a2 B.eq \r(15)a2
C.30a2 D.15a2
(2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3eq \r(7) D.3＋3eq \r(17)
解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝eq \f(c,a)＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cs ∠F1AF2＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1|·|AF2|)
＝eq \f(（4a）2＋（2a）2－（4a）2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4).
又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝eq \f(\r(15),4)，
∴S△AF1F2＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝eq \f(1,2)×4a×2a×eq \f(\r(15),4)＝eq \r(15)a2.
(2)由已知得双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
(2)(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
解析 (1)由题设知eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，①
又由椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝eq \r(5)，则双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq \f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,\f(2,3))－eq \f(y2,\f(3,2))＝1
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(eq \r(6)，2)，则双曲线的方程为________________.
解析 (1)由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a2)－\f(3,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)，))
∴双曲线C的标准方程是x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，
可设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(eq \r(6)，2)，所以eq \f(6,9)－eq \f(4,4)＝λ，λ＝－eq \f(1,3)，
故所求双曲线方程为eq \f(y2,\f(4,3))－eq \f(x2,3)＝1.
答案 (1)C (2)eq \f(y2,\f(4,3))－eq \f(x2,3)＝1
考点三 双曲线的性质 多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \f(\r(3),2)x
解析 法一 由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，即eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
法二 由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )
A.eq \r(5) B.2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
C.(1，2) D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，则F2到y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝eq \r(6)a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cs∠POF1＝eq \f(a2＋c2－（\r(6)a）2,2ac)＝－cs∠POF2＝－eq \f(a,c)，则3a2＋c2－(eq \r(6)a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝eq \f(1,2)a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))).
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】 已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
解析 因为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，eq \f(xeq \\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0，即3yeq \\al(2,0)－1<0，解得－eq \f(\r(3),3)答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(16,9) D.eq \f(25,16)
(2)已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析 (1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，则eq \f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，
所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝eq \f(25,16)，
又e>1，故e＝eq \f(5,4).
(2)对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.本题中，双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1即eq \f(x2,8－m)－eq \f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－m>0，,m－4>0，))解得4答案 (1)B (2)(0，2)
[思维升华]
1.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t (t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0就是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，
＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x，eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq \f(a,b)x.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·郑州模拟)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(1,2)x B.y＝±eq \f(\r(2),2)x
C.y＝±eq \r(2)x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x.
答案 B
2.双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \f(\r(6),2)
解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，故双曲线C的离心率e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2).
答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
解析 法一 由离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，得c＝eq \r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
法二 离心率e＝eq \r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
答案 D
4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(3,2)，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为eq \r(5)，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－eq \f(4y2,5)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(2y2,5)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1
解析 由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，
取一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，
可得F到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝eq \r(|OF|2－|MF|2)＝eq \r(c2－b2)＝a，由题意可得eq \f(1,2)ab＝eq \r(5)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(\r(5),2)，,\f(1,2)ab＝\r(5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(5)，))
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
答案 C
5.已知F2，F1是双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \f(\r(2),2)x
C.y＝±eq \r(6)x D.y＝±eq \f(\r(6),6)x
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2为等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs 120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝28a2，亦即c2＝7a2，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(6a2)＝eq \r(6)a，由此可得双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6),6)x.
答案 D
二、填空题
6.直线l：y＝2x＋10过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.
解析 由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，eq \f(b,a)＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，
所以双曲线方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1.
答案 eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
7.设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)·2·eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
答案 eq \f(32,15)
8.(2019·梅州质检)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cs 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝eq \r(3)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
三、解答题
9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点P(4，－eq \r(10)).
(1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
(1)解 ∵e＝eq \r(2)，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，
∴c＝2eq \r(3)，∴F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∴kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝－eq \f(m2,3).
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，∴c＝2eq \r(3)，
∴F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－3，－m)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
10.设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标.
解 (1)由题意知a＝2eq \r(3)，
∵一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，得eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq \r(3).
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2eq \r(3).
又eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝eq \f(\r(3),3)x－2代入双曲线方程eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1得x2－16eq \r(3)x＋84＝0，其中Δ＝(16eq \r(3))2－4×84>0，
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝eq \f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(xeq \\al(2,0),12)－\f(yeq \\al(2,0),3)＝1.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
∴t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±eq \f(1,2)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \r(2)x
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝eq \f(π,6).
由余弦定理，可得eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，即(eq \r(3)a－c)2＝0，所以c＝eq \r(3)a，则b＝eq \r(2)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
答案 D
12.已知点F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B.[2，eq \r(3)＋1]
C.[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D.[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，
∴eq \f(1,2)r1r2＝2·eq \f(1,2)c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，
∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)，又∵β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴sin 2β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)∈[2，(eq \r(3)＋1)2].
又e>1，∴e∈[eq \r(2)，eq \r(3)＋1].
答案 D
13.(2018·北京卷)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，由点A在椭圆M上得，eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴eeq \\al(4,椭)－8eeq \\al(2,椭)＋4＝0，∴eeq \\al(2,椭)＝4±2eq \r(3)，∴e椭＝eq \r(3)＋1(舍去)或 e椭＝eq \r(3)－1，∴椭圆M的离心率为eq \r(3)－1.∵双曲线的渐近线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，∴渐近线方程为y＝eq \r(3)x，∴eq \f(n,m)＝eq \r(3)，故双曲线的离心率e双＝eq \r(\f(m2＋n2,m2))＝2.
答案 eq \r(3)－1 2
14.已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝（－6\r(2)k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0，))
∴k2≠eq \f(1,3)且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝－eq \f(9,1－3k2).
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2))
＝(k2＋1)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq \f(3k2＋7,3k2－1).
又∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)＞2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)＞0，解得eq \f(1,3)＜k2＜3.②
由①②得eq \f(1,3)＜k2＜1，
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).
新高考创新预测
15.(多填题)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1与双曲线x2－eq \f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析 由题意得椭圆的半焦距满足ceq \\al(2,1)＝4－m，双曲线的半焦距满足ceq \\al(2,2)＝1＋n，
又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，
即m＋n＝3，
则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝4×eq \f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))
则|PF1|·|PF2|＝3.
答案 0 3标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
2.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(5)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(1,eeq \\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq \r(17)－1，故|PF2|＝6.
答案 6
4.(2018·浙江卷)双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案 B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，则a＝________.
解析 由题意可得eq \f(3,a)＝eq \f(3,5)，所以a＝5.
答案 5
6.(2018·北京卷)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝________.
解析 由题意可得，eq \f(a2＋4,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2)，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案 4
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝eq \r(2)，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4eq \r(2)，|PF2|＝2eq \r(2)，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(3,4).
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1).
答案 (1)C (2)x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A.2eq \r(15)a2 B.eq \r(15)a2
C.30a2 D.15a2
(2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3eq \r(7) D.3＋3eq \r(17)
解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝eq \f(c,a)＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cs ∠F1AF2＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1|·|AF2|)
＝eq \f(（4a）2＋（2a）2－（4a）2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4).
又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝eq \f(\r(15),4)，
∴S△AF1F2＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝eq \f(1,2)×4a×2a×eq \f(\r(15),4)＝eq \r(15)a2.
(2)由已知得双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
(2)(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
解析 (1)由题设知eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，①
又由椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝eq \r(5)，则双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq \f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,\f(2,3))－eq \f(y2,\f(3,2))＝1
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(eq \r(6)，2)，则双曲线的方程为________________.
解析 (1)由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a2)－\f(3,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)，))
∴双曲线C的标准方程是x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，
可设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(eq \r(6)，2)，所以eq \f(6,9)－eq \f(4,4)＝λ，λ＝－eq \f(1,3)，
故所求双曲线方程为eq \f(y2,\f(4,3))－eq \f(x2,3)＝1.
答案 (1)C (2)eq \f(y2,\f(4,3))－eq \f(x2,3)＝1
考点三 双曲线的性质 多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \f(\r(3),2)x
解析 法一 由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，即eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
法二 由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )
A.eq \r(5) B.2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
C.(1，2) D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，则F2到y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝eq \r(6)a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cs∠POF1＝eq \f(a2＋c2－（\r(6)a）2,2ac)＝－cs∠POF2＝－eq \f(a,c)，则3a2＋c2－(eq \r(6)a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝eq \f(1,2)a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】 已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
解析 因为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，eq \f(xeq \\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0，即3yeq \\al(2,0)－1<0，解得－eq \f(\r(3),3)
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(16,9) D.eq \f(25,16)
(2)已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析 (1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，则eq \f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，
所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝eq \f(25,16)，
又e>1，故e＝eq \f(5,4).
(2)对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.本题中，双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1即eq \f(x2,8－m)－eq \f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－m>0，,m－4>0，))解得4
[思维升华]
1.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t (t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0就是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，
＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x，eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq \f(a,b)x.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·郑州模拟)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(1,2)x B.y＝±eq \f(\r(2),2)x
C.y＝±eq \r(2)x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x.
答案 B
2.双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \f(\r(6),2)
解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq \f(π,4)，故双曲线C的离心率e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2).
答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
解析 法一 由离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，得c＝eq \r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
法二 离心率e＝eq \r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
答案 D
4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(3,2)，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为eq \r(5)，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－eq \f(4y2,5)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(2y2,5)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1
解析 由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，
取一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，
可得F到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝eq \r(|OF|2－|MF|2)＝eq \r(c2－b2)＝a，由题意可得eq \f(1,2)ab＝eq \r(5)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(\r(5),2)，,\f(1,2)ab＝\r(5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(5)，))
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
答案 C
5.已知F2，F1是双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \f(\r(2),2)x
C.y＝±eq \r(6)x D.y＝±eq \f(\r(6),6)x
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2为等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs 120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝28a2，亦即c2＝7a2，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(6a2)＝eq \r(6)a，由此可得双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6),6)x.
答案 D
二、填空题
6.直线l：y＝2x＋10过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.
解析 由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，eq \f(b,a)＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，
所以双曲线方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1.
答案 eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
7.设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)·2·eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
答案 eq \f(32,15)
8.(2019·梅州质检)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cs 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝eq \r(3)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
三、解答题
9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点P(4，－eq \r(10)).
(1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
(1)解 ∵e＝eq \r(2)，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，
∴c＝2eq \r(3)，∴F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∴kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝－eq \f(m2,3).
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，∴c＝2eq \r(3)，
∴F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－3，－m)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
10.设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标.
解 (1)由题意知a＝2eq \r(3)，
∵一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，得eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq \r(3).
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2eq \r(3).
又eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝eq \f(\r(3),3)x－2代入双曲线方程eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1得x2－16eq \r(3)x＋84＝0，其中Δ＝(16eq \r(3))2－4×84>0，
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝eq \f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(xeq \\al(2,0),12)－\f(yeq \\al(2,0),3)＝1.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
∴t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3).
能力提升题组
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11.(2019·河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±eq \f(1,2)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \r(2)x
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝eq \f(π,6).
由余弦定理，可得eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，即(eq \r(3)a－c)2＝0，所以c＝eq \r(3)a，则b＝eq \r(2)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
答案 D
12.已知点F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B.[2，eq \r(3)＋1]
C.[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D.[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，
∴eq \f(1,2)r1r2＝2·eq \f(1,2)c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，
∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)，又∵β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴sin 2β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)∈[2，(eq \r(3)＋1)2].
又e>1，∴e∈[eq \r(2)，eq \r(3)＋1].
答案 D
13.(2018·北京卷)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，由点A在椭圆M上得，eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴eeq \\al(4,椭)－8eeq \\al(2,椭)＋4＝0，∴eeq \\al(2,椭)＝4±2eq \r(3)，∴e椭＝eq \r(3)＋1(舍去)或 e椭＝eq \r(3)－1，∴椭圆M的离心率为eq \r(3)－1.∵双曲线的渐近线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，∴渐近线方程为y＝eq \r(3)x，∴eq \f(n,m)＝eq \r(3)，故双曲线的离心率e双＝eq \r(\f(m2＋n2,m2))＝2.
答案 eq \r(3)－1 2
14.已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝（－6\r(2)k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0，))
∴k2≠eq \f(1,3)且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝－eq \f(9,1－3k2).
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2))
＝(k2＋1)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq \f(3k2＋7,3k2－1).
又∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)＞2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)＞0，解得eq \f(1,3)＜k2＜3.②
由①②得eq \f(1,3)＜k2＜1，
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).
新高考创新预测
15.(多填题)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1与双曲线x2－eq \f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析 由题意得椭圆的半焦距满足ceq \\al(2,1)＝4－m，双曲线的半焦距满足ceq \\al(2,2)＝1＋n，
又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，
即m＋n＝3，
则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝4×eq \f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))
则|PF1|·|PF2|＝3.
答案 0 3标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
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