高考数学一轮复习第五章 5.2

这是一份高考数学一轮复习第五章 5.2，共15页。试卷主要包含了平面向量基本定理，平面向量的坐标表示，平面向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。


1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
概念方法微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，写出x，y的关系式．
提示 x＋y＝1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
4．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝0 D.eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))
答案 ABC
题组三 易错自纠
5．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案 0
6．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
答案 (－7，－4)
解析 根据题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
7．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案 B
解析 b＝2a＋b－2a＝(2,1)，
∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
平面向量基本定理的应用
例1 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将eq \(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(1)用a和b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．
解 (1)由题意知，A是BC的中点，
且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，由平行四边形法则，
得eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b，
eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq \f(2,3)b＝2a－eq \f(5,3)b.
(2)由题意知，eq \(EC,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，故设eq \(EC,\s\up6(→))＝xeq \(DC,\s\up6(→)).
因为eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，eq \(DC,\s\up6(→))＝2a－eq \f(5,3)b.
所以(2－λ)a－b＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(5,3)b)).
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－λ＝2x，,－1＝－\f(5,3)x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)，,λ＝\f(4,5).))
故λ＝eq \f(4,5).
思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
(3)强化共线向量定理的应用．
跟踪训练1 在△ABC中，点P是AB上一点，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，则t的值为________．
答案 eq \f(3,4)
解析 eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝xeq \(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq \(AC,\s\up6(→))，
而eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
由已知eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，可得eq \f(x,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))eq \(AC,\s\up6(→))＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))，
又eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq \f(3,4).
平面向量的坐标运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？
解 设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，
即(x，y)＝eq \f(1,2)[(－2,4)＋(3，－1)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，
所以线段AB中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))).
本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？
解 设AB的中点为P，O为坐标原点，
因为eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CP,\s\up6(→))，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(1,3)))，
所以重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(1,3))).
思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
跟踪训练2 (1)(2019·大连模拟)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 D
解析 设D(x，y)，则eq \(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，
根据eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))故选D.
(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6,1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0,3)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.
向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，
∴2x＝4，即x＝2.
(2)(2020·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
答案 －6
解析 由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，
由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，
解得k＝－6.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____．
答案 (3,3)
解析 方法一 由O，P，B三点共线，
可设eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．
又eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，
由eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，
因为eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))共线，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，
即x＝y.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－eq \f(2,3).
(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.
答案 (1，－2)
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，
∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，
故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案 D
解析 因为A(2,2)，B(1,1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．故选D.
2．(2020·巴中模拟)向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案 B
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)．故选B.
3．(2019·北京市石景山区模拟)已知平面向量a＝(k,2)，b＝(1,1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a与b同向，则a＝mb(m>0)，
即(k,2)＝m(1,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝m，,2＝m，))得m＝2，k＝2，
即k＝2是a与b同向的充要条件，故选C.
4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．R D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝eq \f(π,4)，且|OC|＝2，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(2) C．2 D．4eq \r(2)
答案 A
解析 因为|OC|＝2，∠AOC＝eq \f(π,4)，
所以C(eq \r(2)，eq \r(2))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
所以(eq \r(2)，eq \r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝eq \r(2)，λ＋μ＝2eq \r(2).
6．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A，\f(1,2)))与向量n＝(3，sin A＋eq \r(3)cs A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案 C
解析 ∵m∥n，
∴sin A(sin A＋eq \r(3)cs A)－eq \f(3,2)＝0，
∴2sin2A＋2eq \r(3)sin Acs A＝3，
∴1－cs 2A＋eq \r(3)sin 2A＝3，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝1，
∵A∈(0，π)，
∴2A－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6))).
因此2A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，解得A＝eq \f(π,3)，故选C.
7．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，
∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．
故选AB.
8．(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是( )
A．线段AB的中点的广义坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
B．A，B两点间的距离为eq \r(x1－x22＋y1－y22)
C．向量eq \(OA,\s\up6(→))平行于向量eq \(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量eq \(OA,\s\up6(→))垂直于eq \(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1x2＋y1y2＝0
答案 AC
解析 由中点的意义知A正确；
只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
只有e1，e2互相垂直时，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D不正确；
故选AC.
9．(2019·德阳模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 a＋2b＝(4,2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
(a＋2b)∥(2a－b)，
∴4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－eq \f(1,2).
10．(2019·河南省六市联考)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
答案 (6，－8)
解析 不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，
则|b|＝eq \r(－3m2＋4m2)＝10，
解得m＝－2(m＝2舍去)，
故b＝(6，－8)．
11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)方法一 ∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
方法二 eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq \f(3,2).
12.如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OA1,\s\up6(→))，
因为eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
13.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b B.eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(2,3)b
答案 C
解析 设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,6)，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq \f(π,6)，
则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
故选C.
14.(2019·南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上， ∠AOB＝150°， ∠BOC＝90°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2, |eq \(OB,\s\up6(→))|＝1, |eq \(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则eq \f(μ,λ)等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
答案 D
解析 由题意知A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，由向量相等的坐标表示可得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－\f(\r(3),2)μ＝－\f(3,2)，,\f(1,2)μ＝－\f(3\r(3),2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3)，))即eq \f(μ,λ)＝eq \r(3)，故选D.
15．(2019·上海市崇明区模拟)已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不共线，则该方程的解的情况是( )
A．至少有一个解 B．至多有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
答案 B
解析 由平面向量基本定理可得，c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则方程ax2＋bx＋c＝0可变为ax2＋bx＋λa＋μb＝0，
即(λ＋x2)a＋(μ＋x)b＝0，
∵a，b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋x2＝0，,μ＋x＝0，))
可知方程组可能无解，也可能有一个解．
∴方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解，故选B.
16．(2019·大连模拟)A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为eq \f(\r(3),2)，C是劣弧(包含端点)上一动点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的取值范围．
解 如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，
∵ A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为eq \f(\r(3),2)，
∴ 点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴ eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
即λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(λ,2)，\f(\r(3)λ,2)))，μeq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,2)，\f(\r(3)μ,2)))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ－λ,2)，\f(\r(3)λ＋μ,2)))，
又∵ C是劣弧(包含端点)上一动点， 设点C坐标为(x，y)，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)，,\f(\r(3),2)≤y≤1，))
∵ eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ－λ,2)，\f(\r(3)λ＋μ,2)))＝(x，y)，
∴ eq \f(\r(3),2)≤y＝eq \f(\r(3)λ＋μ,2)≤1 ，解得1≤λ＋μ≤eq \f(2\r(3),3) ，
故λ＋μ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))).