高考数学一轮复习第八章 8.2

这是一份高考数学一轮复习第八章 8.2，共14页。教案主要包含了平行直线系，垂直直线系，过直线交点的直线系等内容，欢迎下载使用。


1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
概念方法微思考
1．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直．
2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示 (1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
题组二 教材改编
2．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1
答案 C
解析 由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).
∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2).
3．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案 －9
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三 易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.故选C.
6．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．
答案 eq \f(3\r(2),4)
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq \f(1,2)＝0，
则两平行线间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq \f(3\r(2),4).
7．两点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 由题意可知，A，B所在直线与直线4x＋3y＝11垂直，且线段AB的中点在直线4x＋3y＝11上，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋2－－b,a＋2－b－a)＝\f(3,4)，,4·\f(a＋2＋b－a,2)＋3·\f(b＋2＋－b,2)＝11，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2.))
两条直线的平行与垂直
例1 (2019·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案 D
解析 方法一 ∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴eq \f(a－1,－2)＝－eq \f(1,a)，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
本例中，若l1⊥l2，则a＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 方法一 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,－2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＝－1，
解得a＝eq \f(1,3).
方法二 由A1A2＋B1B2＝0得(a－1)×1＋2a＝0.
解得a＝eq \f(1,3).
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．0
C．－eq \f(3,2)或0 D．2
答案 C
解析 若a≠0，则由l1∥l2⇒eq \f(a＋1,1)＝eq \f(－a,2a)，故2a＋2＝－1，即a＝－eq \f(3,2)；若a＝0，l1∥l2，故选C.
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，
解得a＝eq \f(2,3).
两直线的交点与距离问题
1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，则两直线平行)
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).
又∵交点位于第一象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))
解得－eq \f(1,6)2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
答案 C
解析 因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例3 已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
跟踪训练2 (1)坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(8,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(8,5)))
答案 A
解析 设对称点的坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)－2×\f(y0,2)＋2＝0，,y0＝－2x0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(4,5)，,y0＝\f(8,5)，))即所求点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(8,5))).
(2)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝eq \f(1,3)，b＝6 B．a＝－3，b＝eq \f(1,6)
C．a＝3，b＝－eq \f(1,6) D．a＝－eq \f(1,3)，b＝－6
答案 D
解析 由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，
所以直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，
所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，
所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，
所以a＝－eq \f(1,3).
(3)直线l：x－y－2＝0关于直线3x－y＋3＝0对称的直线方程是__________________．
答案 7x＋y＋22＝0
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))
∴两直线的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，该点也在所求直线上，
在l上任取一点P(0，－2)，
设它关于直线3x－y＋3＝0的对称点为Q(x0，y0)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0＋2,x0－0)×3＝－1，,3×\f(x0,2)－\f(y0－2,2)＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝－1，))∴Q(－3，－1)且在所求直线上．
∴kMQ＝eq \f(－1＋\f(9,2),－3＋\f(5,2))＝－7，
∴所求直线方程为y＋1＝－7(x＋3)，即7x＋y＋22＝0.
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．
一、平行直线系
例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
解题方法 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．
解 由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
例2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解题方法 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3 经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为________．
解题方法 可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．
答案 4x－3y＋9＝0
解析 方法一 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))
即两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.
方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得两直线交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
方法三 由题意可设所求直线方程为
(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
答案 C
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
故选C.
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
3．已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
4．若m∈R，则“lg6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由lg6m＝－1得m＝eq \f(1,6)，若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝eq \f(1,6)，则“lg6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件．故选A.
5．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A.eq \f(4\r(2),3) B．4eq \r(2) C.eq \f(8\r(2),3) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0，
∴l1与l2的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).
7．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
答案 BCD
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq \r(a2＋b2)，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
8．(2020·太原质检)点M(－1,0)关于直线x＋2y－1＝0的对称点M′的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(8,5)))
解析 过点M(－1,0)与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为2x－y＝－2，可解得两垂直直线的交点坐标为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则点M(－1,0)关于点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))的对称点坐标为M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(8,5))).
9．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________．
答案 3x＋4y＋5＝0
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
10．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
答案 －eq \f(1,3)或－eq \f(7,9)
解析 由点到直线的距离公式
得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，
解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9).
11．设一直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
解 方法一 设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－1＝0，,x－y－1＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xC＝1，,yC＝0，))∴C(1,0)．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,x－y－1＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xD＝\f(5,3)，,yD＝\f(2,3)，))∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2,3))).
则C，D的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).
又l过点(－1,1)，由两点式得l的方程为
eq \f(y－\f(1,3),1－\f(1,3))＝eq \f(x－\f(4,3),－1－\f(4,3))，
即2x＋7y－5＝0为所求方程．
方法二 ∵与l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为x＋2y＋eq \f(－1－3,2)＝0，即x＋2y－2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－2＝0，,x－y－1＝0，))得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).(以下同方法一)
方法三 过中点且与两直线平行的直线方程为x＋2y－2＝0，
设所求方程为(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0，
∵(－1,1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x＋7y－5＝0.
方法四 设所求直线与两平行线l1，l2的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋2y1－1＝0，,x2＋2y2－3＝0))⇒(x1＋x2)＋2(y1＋y2)－4＝0.
又A，B的中点在直线x－y－1＝0上，
∴eq \f(x1＋x2,2)－eq \f(y1＋y2,2)－1＝0.
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)＝\f(4,3)，,\f(y1＋y2,2)＝\f(1,3).))(以下同方法一)
12．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，
故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
13．(2019·青岛调研)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(5＋2n2＋n2)
＝eq \r(5n＋22＋5)≥eq \r(5)，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为eq \r(5).
14．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案 eq \f(34,5)
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))
故m＋n＝eq \f(34,5).
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
答案 B
解析 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0,2)，
故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x－4y＋3＝0.
16．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，
|PA1|＝|PA|.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))
∴A1(0,3)．
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝eq \r(82＋－12)＝eq \r(65).