新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.2《两条直线的位置关系》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝﹣1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解.
3.三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
eq \a\vs4\al([常用结论])
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1.( )
(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
[答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√
二、教材改编
1.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x﹣y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.2﹣eq \r(2)
C.eq \r(2)﹣1 D.eq \r(2)＋1
答案为：C.解析：由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq \r(2)，又a>0，∴a＝eq \r(2)﹣1.]
2.已知P(﹣2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
1 [由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m﹣4＝﹣2﹣m，所以m＝1.]
3.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
﹣9 [由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝﹣9.]
4.已知直线3x＋4y﹣3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.
2 [由两直线平行可知eq \f(3,6)＝eq \f(4,m)，即m＝8.
∴两直线方程分别为3x＋4y﹣3＝0和3x＋4y＋7＝0，
则它们之间的距离d＝eq \f(|7＋3|,\r(9＋16))＝2.]
考点1 两条直线的位置关系
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y﹣1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案为：A.解析：当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)﹣2×1＝0，所以a＝1或a＝﹣2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.]
2.若直线l1：(a﹣1)x＋y﹣1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案为：D.解析：由已知得3(a﹣1)＋a＝0，解得a＝eq \f(3,4).]
3.已知三条直线l1：2x﹣3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx﹣y﹣1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案为：D.解析：∵三条直线不能构成一个三角形，∴①当l1∥l3时，m＝eq \f(2,3)；
②当l2∥l3时，m＝﹣eq \f(4,3)；③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))，代入mx﹣y﹣1＝0，得m＝﹣eq \f(2,3).故选D.]
直接运用“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论.
考点2 两条直线的交点与距离问题
(1)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
②求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
(1)求经过两条直线l1：x＋y﹣4＝0和l2：x﹣y＋2＝0的交点，且与直线2x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为________
(2)直线l过点P(﹣1，2)且到点A(2，3)和点B(﹣4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
(1)x＋2y﹣7＝0 (2)x＋3y﹣5＝0或x＝﹣1
[(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))∴l1与l2的交点坐标为(1，3).
设与直线2x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，∴c＝﹣7.∴所求直线方程为x＋2y﹣7＝0.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k(x＋1)，
即kx﹣y＋k＋2＝0.由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k﹣1|＝|﹣3k﹣3|，∴k＝﹣eq \f(1,3)，
∴直线l的方程为y﹣2＝﹣eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y﹣5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，也符合题意.]
1.直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y﹣y0＝k(x﹣x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx﹣Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).
2.动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.
[备选例题]
1.已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x﹣y＋4＝0，x＋y﹣7＝0，2x﹣7y﹣14＝0，求边2x﹣7y﹣14＝0上的高所在的直线方程.
[解] 设所求高所在的直线方程为2x﹣y＋4＋λ(x＋y﹣7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ﹣1)y＋(4﹣7λ)＝0，
可得(2＋λ)×2＋(λ﹣1)×(﹣7)＝0，解得λ＝eq \f(11,5)，
所以所求高所在的直线方程为7x＋2y﹣19＝0.
2.求过直线2x＋7y﹣4＝0与7x﹣21y﹣1＝0的交点，且和A(﹣3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.
[解] 设所求直线方程为2x＋7y﹣4＋λ(7x﹣21y﹣1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7﹣21λ)y＋(﹣4﹣λ)＝0，
由点A(﹣3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得
eq \f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))
＝eq \f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ﹣55|，解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直线方程为21x﹣28y﹣13＝0或x＝1.
1.当00)，得y′＝1﹣eq \f(4,x2)，
设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)切于(x0，x0＋eq \f(4,x0))(x0＞0)，
由1﹣eq \f(4,xeq \\al(2,0 )) ＝﹣1，解得x0＝eq \r(2)(x0>0).∴曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)上，
点P(eq \r(2)，3eq \r(2))到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为eq \f(|\r(2)＋3\r(2)|,\r(2))＝4.]
4.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：
(1)点A和点C的坐标；
(2)△ABC的面积.
[解] (1)由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))解得点A(﹣1，0).
又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为﹣1，所以AC所在的直线方程为y＝﹣(x＋1).
已知BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为﹣2，故BC所在的直线方程为y﹣2＝﹣2(x﹣1).
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－（x＋1），,y－2＝－2（x－1），))得点C的坐标为(5，﹣6).
(2)因为B(1，2)，C(5，﹣6)，所以|BC|＝eq \r(（1－5）2＋[2－（－6）]2)＝4eq \r(5)，点A(﹣1，0)到直线BC：y﹣2＝﹣2(x﹣1)的距离为d＝eq \f(|2×（－1）－4|,\r(5))＝eq \f(6,\r(5))，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×4eq \r(5)×eq \f(6,\r(5))＝12.
1.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x﹣y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2) B.2
C.3 D.4
答案为：B.解析：点(0，0)关于直线l：x﹣y＋1＝0的对称点为(﹣1，1)，则最短路程为eq \r(（－1－1）2＋（1－1）2)＝2.]
2. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x﹣y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )
A.(﹣4，0) B.(0，﹣4)
C.(4，0) D.(4，0)或(﹣4，0)
答案为：A.解析：设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为(eq \f(2＋m,3)，eq \f(4＋n,3))，代入欧拉线方程得eq \f(2＋m,3)﹣eq \f(4＋n,3)＋2＝0，整理得m﹣n＋4＝0，①
易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝eq \f(4－0,0－2)＝﹣2，AB的垂直平分线的方程为y﹣2＝eq \f(1,2)(x﹣1)，即x﹣2y＋3＝0.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))∴△ABC的外心为(﹣1，1)，则(m＋1)2＋(n﹣1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m﹣2n＝8.②
联立①②解得m＝4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，∴顶点C的坐标是(﹣4，0).故选A.]
直线方程l1与l2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)