小六数学第9讲：整除和位值原理

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第九讲 整除和位值原理







整除问题
整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：
1.整除的概念
a，b，c为整数，且，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数．
2.整除的基本性质
①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么
②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么
③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果
④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；
②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；
③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；
④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；
⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；
⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；
⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．
4.位值原理
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
　　用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：表示a个百，b个十，c个一。
其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
5.位值原理的表达形式
以三位数为例：
上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别

1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。




例1：证明：当时，必是9的倍数。
分析：与的数字顺序恰好相反，我们称与互为反序数，互为反序数的两个数之差必能被9整除。

例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
　　设这个两位数为x。由题意得到
　　（10x+1）-（100+x）=666，
　　10x+1-100-x=666，
　　10x-x=666-1+100，
　　 9x=765，
　　x=85。
　　原来的两位数是85。
　
例3：a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是

这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到
　　所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。

例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
分析与解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，
　　所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。

例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
分析与解：设这两个数为，则有
　　（a+b）×5-（10a+b）=6，
　　5a+5b-10a-b=6，
　　4b-5a=6。
　　当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若


　　由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。

A
1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．
答案：37

2.有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正确的判断有( )．
A．4个 B．3个 C 2个 D．1个
答案：A

3.已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．
答案：符合条件的7位数是：1287216，1287936，1287576

4.(1)一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是．
(北京市竞赛题)
(2)若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于( )．
A．15 B．1 C．164 D．174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设N=，试问N被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
答案：


5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )
A．1990个 B．1991个 C 1992个 D．1993个
答案：D
B
6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?
答案：30、60、90三个．

7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．
答案：显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999—n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除
思考：“如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999—n也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性．
若六位数是99的倍数，求整数a、b的值．
∵能被9整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9kl(k1为整数)． ①
又能被11整除，∴8—1+a—b+9—3=13+a—b能被11整除，得2+a—b=11k2(k2为整数)． ②
∵ 0≤a，b≤9 ∴ 0≤a+b≤18，－9≤a－b≤9．
由①、②两式，得3≤