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    高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程 试卷
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    高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程

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    这是一份高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程,共13页。


    1.圆的定义及方程
    2.点与圆的位置关系
    点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
    (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
    (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
    (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
    1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”).
    (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
    (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )
    (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )
    (4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则xeq \\al(2,0)+yeq \\al(2,0)+Dx0+Ey0+F>0.( )
    [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系,知(1)(3)(4)正确.
    (2)中,当t≠0时,表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆,不正确.
    [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
    2.(教材改编)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )
    A.a<-2或a>eq \f(2,3) B.-eq \f(2,3)<a<0
    C.-2<a<0D.-2<a<eq \f(2,3)
    D [由题意知a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,
    解得-2<a<eq \f(2,3).]
    3.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
    A.-eq \f(4,3) B.-eq \f(3,4)
    C.eq \r(3) D.2
    A [圆x2+y2-2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d=eq \f(|a+4-1|,\r(a2+1))=1,解得a=-eq \f(4,3).]
    4.(2017·西安质检)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.
    x2+(y-1)2=1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称,半径相等,则圆C的圆心为(0,1),半径为1,标准方程为x2+(y-1)2=1.]
    5.(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))2+y2=eq \f(25,4) [由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(00),则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2+4=r2,,4-m2=r2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=\f(3,2),,r2=\f(25,4),))所以圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))2+y2=eq \f(25,4).]
    (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,eq \r(3)),C(2,eq \r(3)),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
    A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3)
    C.eq \f(2\r(5),3)D.eq \f(4,3)
    (2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,eq \r(5))在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为eq \f(4\r(5),5),则圆C的方程为________.
    (1)B (2)(x-2)2+y2=9 [(1)法一:在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距离公式可得|AB|=|AC|=|BC|=2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC为等边三角形.设BC的中点为D,点E为外心,同时也是重心.所以|AE|=eq \f(2,3)|AD|=eq \f(2\r(3),3),从而|OE|=eq \r(|OA|2+|AE|2)=eq \r(1+\f(4,3))=eq \f(\r(21),3),故选B.
    法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1+D+F=0,,3+\r(3)E+F=0,,7+2D+\r(3)E+F=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D=-2,,E=-\f(4\r(3),3),,F=1.))
    所以△ABC外接圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(2\r(3),3))).
    因此圆心到原点的距离d=eq \r(12+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)=eq \f(\r(21),3).
    (2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,
    所以圆心到直线2x-y=0的距离d=eq \f(2a,\r(5))=eq \f(4\r(5),5),
    解得a=2,
    所以圆C的半径r=|CM|=eq \r(4+5)=3,
    所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.]
    [规律方法] 1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
    2.待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
    温馨提醒:解答圆的方程问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
    [变式训练1] (2017·河南百校联盟联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________.
    x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10) [法一 ∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
    ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
    易知线段AB的垂直平分线方程为y=-eq \f(1,2)(x-4).
    设所求圆的圆心为C(a,b),则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a-b-3=0,,b=-\f(1,2)a-4,))
    解得a=2,且b=1.
    因此圆心坐标C(2,1),半径r=|AC|=eq \r(10).
    故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
    法二 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25+4+5D+2E+F=0,,9+4+3D-2E+F=0,,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2)))+\f(E,2)-3=0,))
    解得D=-4,E=-2,F=-5,
    ∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.]
    已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
    (1)求|MQ|的最大值和最小值;
    (2)求eq \f(y-3,x+2)的最大值和最小值.
    [解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
    可得(x-2)2+(y-7)2=8,
    ∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2eq \r(2).2分
    又|QC|=eq \r(2+22+7-32)=4eq \r(2),
    ∴|MQ|max=4eq \r(2)+2eq \r(2)=6eq \r(2),
    |MQ|min=4eq \r(2)-2eq \r(2)=2eq \r(2).5分
    (2)可知eq \f(y-3,x+2)表示直线MQ的斜率k.6分
    设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.8分
    由直线MQ与圆C有交点,所以eq \f(|2k-7+2k+3|,\r(1+k2))≤2eq \r(2),
    可得2-eq \r(3)≤k≤2+eq \r(3),
    ∴eq \f(y-3,x+2)的最大值为2+eq \r(3),最小值为2-eq \r(3).12分
    [迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下,求y-x的最大值和最小值.
    [解] 设y-x=b,则x-y+b=0.3分
    当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,
    ∴eq \f(|2-7+b|,\r(12+-12))=2eq \r(2),∴b=9或b=1.10分
    因此y-x的最大值为9,最小值为1.12分
    [迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q(-2,3)”改为“点Q是直线3x+4y+1=0上的动点”,其它条件不变,试求|MQ|的最小值.
    [解] ∵圆心C(2,7)到直线3x+4y+1=0上动点Q的最小值为点C到直线3x+4y+1=0的距离,
    ∴|QC|min=d=eq \f(|2×3+7×4+1|,\r(32+42))=7.5分
    又圆C的半径r=2eq \r(2),
    ∴|MQ|的最小值为7-2eq \r(2).12分
    [规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,数形结合求解.
    2.某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值.
    根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的.
    [变式训练2] 设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,求四边形PACB的面积的最小值.
    [解] 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,2分
    圆心为C(1,1),半径为r=1.5分
    根据对称性可知,四边形PACB的面积为
    2S△APC=2×eq \f(1,2)|PA|r=|PA|=eq \r(|PC|2-r2).8分
    要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离
    d=eq \f(|3-4+11|,\r(32+-42))=eq \f(10,5)=2.10分
    所以四边形PACB面积的最小值为
    eq \r(|PC|\\al(2,min)-r2)=eq \r(4-1)=eq \r(3).12分
    (2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
    (1)求M的轨迹方程;
    (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
    [解] (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.2分
    设M(x,y),则eq \(CM,\s\up8(→))=(x,y-4),eq \(MP,\s\up8(→))=(2-x,2-y).
    由题设知eq \(CM,\s\up8(→))·eq \(MP,\s\up8(→))=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
    即(x-1)2+(y-3)2=2.
    由于点P在圆C的内部,
    所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.5分
    (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,eq \r(2)为半径的圆.
    由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.
    又P在圆N上,从而ON⊥PM.7分
    因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-eq \f(1,3),
    故l的方程为y=-eq \f(1,3)x+eq \f(8,3).10分
    又|OM|=|OP|=2eq \r(2),O到l的距离为eq \f(4\r(10),5),|PM|=eq \f(4\r(10),5),所以△POM的面积为eq \f(16,5).12分
    [规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
    (1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解.
    (2)定义法:根据圆的定义列方程求解.
    (3)几何法:利用圆的几何性质得出方程求解.
    (4)代入法(相关点法):找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.
    [变式训练3] 已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程. 【导学号:31222293】
    [解] 由题意可知:动点C的轨迹是以(-1,0)为圆心,3为半径长的圆,方程为(x+1)2+y2=9.3分
    设M(x0,y0),则由中点坐标公式可求得
    C(2x0-1,2y0-4),6分
    代入点C的轨迹方程得4xeq \\al(2,0)+4(y0-2)2=9,
    化简得xeq \\al(2,0)+(y0-2)2=eq \f(9,4),10分
    故点M的轨迹方程为x2+(y-2)2=eq \f(9,4).12分
    [思想与方法]
    1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件,“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法.
    2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.
    [易错与防范]
    1.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一前提条件.
    2.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
    3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.
    课时分层训练(四十七) 圆的方程
    A组 基础达标
    (建议用时:30分钟)
    一、选择题
    1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
    A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
    C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2
    D [圆的半径r=eq \r(12+12)=eq \r(2),∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]
    2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
    A.2 B.eq \f(\r(2),2)
    C.1 D.eq \r(2)
    D [圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=2,则圆心坐标为(1,-2).
    故圆心到直线x-y-1=0的距离d=eq \f(|1+2-1|,\r(2))=eq \r(2).]
    3.(2017·山西运城二模)已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( )
    A.3x+y-5=0B.x-2y=0
    C.x-2y+4=0D.2x+y-3=0
    D [易知圆心坐标为(2,-1).
    由于直线x-2y+3=0的斜率为eq \f(1,2),
    ∴该直径所在直线的斜率k=-2.
    故所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.]
    4.若圆心在x轴上,半径为eq \r(5)的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( )
    A.(x-eq \r(5))2+y2=5B.(x+eq \r(5))2+y2=5
    C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5
    D [设圆心为(a,0)(a<0),
    则r=eq \f(|a+2×0|,\r(12+22))=eq \r(5),解得a=-5,
    所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.]
    5.(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )
    A.6 B.4
    C.3 D.2
    B [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]
    二、填空题
    6.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
    (-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+eq \f(5,2)=0,配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2+(y+1)2=-eq \f(5,4)<0,不表示圆;
    当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.]
    7.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
    【导学号:31222294】
    x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
    则kCM=eq \f(1-0,2-1)=1.
    ∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.]
    8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
    【导学号:31222295】
    (x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d=eq \r(2-12+-1-02)=eq \r(2),所以半径最大时的半径r=eq \r(2),所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]
    三、解答题
    9.已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.
    【导学号:31222296】
    [解] 法一:依题意,点P的坐标为(0,m),2分
    因为MP⊥l,所以eq \f(0-m,2-0)×1=-1,5分
    解得m=2,即点P的坐标为(0,2),8分
    圆的半径r=|MP|=eq \r(2-02+0-22)=2eq \r(2),
    故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分
    法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,2分
    依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4+m2=r2,,\f(|2-0+m|,\r(2))=r,))6分
    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=2,,r=2\r(2),))10分
    所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分
    10.(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
    (1)求圆C1的圆心坐标;
    (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
    [解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,2分
    所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分
    (2)设M(x,y),依题意eq \(C1M,\s\up8(→))·eq \(OM,\s\up8(→))=0,
    所以(x-3,y)·(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,
    所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))2+y2=eq \f(9,4).7分
    又原点O(0,0)在圆C1外,
    因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-3x+y2=0,,x2+y2-6x+5=0,))消去y2得x=eq \f(5,3),
    因此eq \f(5,3)<x≤3.10分
    所以线段AB的中点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))2+y2=eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)<x≤3)).12分
    B组 能力提升
    (建议用时:15分钟)
    1.(2017·佛山模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
    A.6B.25
    C.26D.36
    D [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d=eq \r(5-22+-42)=5.
    则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]
    2.(2017·济南调研)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3),则圆C的标准方程是________.
    (x-2)2+(y-1)2=4 [设圆C的圆心为(a,b)(b>0),
    由题意得a=2b>0,且a2=(eq \r(3))2+b2,
    解得a=2,b=1,
    ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.]
    3.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
    【导学号:31222297】
    (1)求圆C的方程;
    (2)设Q为圆C上的一个动点,求eq \(PQ,\s\up8(→))·eq \(MQ,\s\up8(→))的最小值.
    [解] (1)设圆心C(a,b),
    由已知得M(-2,-2),
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a-2,2)+\f(b-2,2)+2=0,,\f(b+2,a+2)=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=0,,b=0,))2分
    则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
    故圆C的方程为x2+y2=2.5分
    (2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
    eq \(PQ,\s\up8(→))·eq \(MQ,\s\up8(→))=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
    =x2+y2+x+y-4=x+y-2.8分
    令x=eq \r(2)cs θ,y=eq \r(2)sin θ,
    所以eq \(PQ,\s\up8(→))·eq \(MQ,\s\up8(→))=x+y-2
    =eq \r(2)(sin θ+cs θ)-2
    =2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))-2,
    所以eq \(PQ,\s\up8(→))·eq \(MQ,\s\up8(→))的最小值为-4.12分
    定义
    平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
    标准方程
    (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
    圆心(a,b),半径r
    一般方程
    x2+y2+Dx+Ey+F=0,
    (D2+E2-4F>0)
    圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))),
    半径eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F)
    求圆的方程
    与圆有关的最值问题
    与圆有关的轨迹问题
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