2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案

1.3 空间向量及其坐标的运算

考点一 坐标的运算

【例1】(1)(2020·宜昌天问教育集团高二期末)设，向量， ，则(    )

A．  B．  C．3 D．4

(2)(2020·宜昌天问教育集团高二期末)已知空间向量，，则向量与()的夹角为(    )

A． B．或 C． D．或

【答案】(1)C(2)B

【解析】

，，，故选：C.

(2)解得，

代入得，又向量夹角范围：故的夹角为，则与的夹角，

当时为；时为.故选：B.

【举一反三】

1．(2020·全国高二课时练习)下列向量中与向量平行的向量是(    )

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】因为，又，所以A、C、D选项均不符合的形式，只有满足.故选：B.

2．(2020·全国高二课时练习)已知向量，，若，则k的值等于(    )

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得=，2，且，

所以得，即2k+8k=2，解得k=.故选：D

3．(2020·广西北流市实验中学高一期中)在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A(2,﹣1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(    )

A．(2,1,3) B．(﹣2,﹣1,3)

C．(2,1,﹣3) D．(2,﹣1,﹣3)

【答案】B

【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A(2,﹣1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(﹣2,﹣1,3).

故选：B.

4．(2020·全国高二课时练习)已知.

(1)若，分别求λ与m的值；

(2)若，且与垂直，求.

【答案】(1)λ=，m=3；(2).

【解析】(1)由，得

，解得

(2)，且

化简得，解得.

因此

考点二 坐标运算在几何中的运用

【例2】(2020·全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.

(1)求BM，BN的长.

(2)求△BMN的面积.

【答案】(1)BM的长为，BN的长为；(2).

【解析】以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).

则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.

(1)

，.

故BM的长为，BN的长为.

(2)

故.

即△BMN的面积为.

【举一反三】

1．(2019·天水市第一中学高二月考(理))如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为(    ).

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，设，

根据题意得，,,,.

,,

.故选：A.

2．(2020·全国高二课时练习) 在直三棱柱ABO­A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标． 

【答案】

【解析】

∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，

∴＝－－－

∵＝－＝－(＋)＝－－.

又||＝2，||＝4，||＝4，

∴＝－－(－4,2，－4)．

考点三 最值问题

【例3】(2020·全国高二课时练习)已知点，，则，两点的距离的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为点，所以

有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.

【举一反三】

1．(2020·江西高安中学高一期中(理))已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

因为点在直线上运动，所以，

所以，即，，所以，

所以

所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.

故选：B

2．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________．

【答案】