高考数学一轮复习 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质

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第四节　直线、平面平行的判定及其性质
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[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．


1．直线与平面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
2.面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β，
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
3.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]
3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
【导学号：31222254】
平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]

5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上序号)．
②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]


与线、面平行相关命题真假的判断
　(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D　[A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]
[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
[变式训练1]　(2017·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]

直线与平面平行的判定与性质

　(2016·南通模拟)如图7­4­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

图7­4­1
[解]　(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.2分
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.4分
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分

(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得
BC1∥D1O，8分
∴＝，
又由题(1)可知＝，＝1，
∴＝1，即＝1.12分
[规律方法]　1.判断或证明线面平行的常用方法有：
(1)利用反证法(线面平行的定义)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
[变式训练2]　(2014·全国卷Ⅱ)如图7­4­2，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

图7­4­2
[解]　(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点，
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.3分
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.5分

(2)由V＝PA·AB·AD＝AB，
又V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB交PB于点H.7分
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.12分

平面与平面平行的判定与性质

　如图7­4­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

图7­4­3
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.5分
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.7分
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.10分
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.12分
[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.


[证明]　如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B.5分
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.12分
[规律方法]　1.判定面面平行的主要方法：
(1)面面平行的判定定理．
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
2．面面平行的性质定理的作用：
(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．

易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．
[变式训练3]　(2016·山东高考)在如图7­4­4所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

图7­4­4
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
[证明]　(1)因为EF∥DB，
所以EF与DB确定平面BDEF.2分
如图①，连接DE.

①
因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分
因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.5分
(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.

②
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.8分
又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分

[思想与方法]
1．线线、线面、面面平行的相互转化

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[易错与防范]
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．
(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．
课时分层训练(四十一)　
直线、平面平行的判定及其性质
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
【导学号：31222255】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

图7­4­5
A．①③　　 B．②③
C．①④ D．②④
C　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]
3．(2017·山东济南模拟)如图7­4­6所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

图7­4­6
A．异面　　　　　 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
B　[在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]
4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B　[若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．]
5．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为(　　)
【导学号：31222256】
A．3 B．2
C．1 D．0
C　[①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．]
二、填空题
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号).
【导学号：31222257】
②④　[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]
7．如图7­4­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

图7­4­7
　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，
∴EF＝AC＝.]
8．(2016·衡水模拟)如图7­4­8，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

图7­4­8
平面ABC，平面ABD　[连接AM并延长交CD于E，则E为CD的中点．
由于N为△BCD的重心，
所以B，N，E三点共线，
且＝＝，所以MN∥AB.
于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]
三、解答题
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­4­9所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．

图7­4­9
[解]　(1)点F，G，H的位置如图所示.5分

(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：
因为ABCD­EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG.7分
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.9分
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12分
10．(2017·西安质检)如图7­4­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

图7­4­10
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
[证明]　(1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.5分
(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.7分
因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.10分
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.12分


B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是
(　　) 【导学号：31222258】
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
C　[因为截面PQMN是正方形，
所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，
由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，
同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，
则AC⊥BD，故A，B正确．
又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]
2．如图7­4­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．

图7­4­12
1　[设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD.
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，
则A1D∶DC1＝1.]
3．如图7­4­13所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．

图7­4­13
(1)求证：DE∥平面PBC.
(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分
又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.5分
(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.7分
证明如下：
取AB的中点F，连接EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
∵点E是AC中点，点F是AB的中点，
∴EF∥BC.10分
又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
又∵DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面PBC，
∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.12分