高考数学统考一轮复习第7章立体几何第3节直线平面平行的判定及其性质学案

　直线、平面平行的判定及其性质

[考试要求]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)

(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (　　)

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． (　　)

(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

二、教材习题衍生

1．下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

D　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]

2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D　[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D．]

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为        ．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF⊂平面ACE，

BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

4．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；

③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.

其中能推出α∥β的条件是        ．(填上所有正确的序号)

②④　[①③中α，β可能相交也可能平行，②④中α∥β.]

考点一　直线与平面平行的判定与性质       

　直线与平面平行的判定

[典例1－1]　(1)如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1 中，AC＝BC，M，N分别是A1B1，AB的中点，点P在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是(　　)

A．垂直

B．平行

C．相交但不垂直

D．要依点P的位置而定

(2)如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED．求证：BF∥平面CDE.

(1)B　[(1)由题设知B1M∥AN且B1M＝AN，∴四边形ANB1M是平行四边形，∴B1N∥AM，∴B1N∥平面AMC1.

又∵C1M∥CN，∴CN∥平面AMC1.

又∵CN∩B1N＝N，∴平面B1NC∥平面AMC1.

又∵NP⊂平面B1NC，∴NP∥平面AMC1.]

(2)证明：法一：(利用面面平行的性质)∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，

∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴AB∥平面CDE；

又AF∥ED，

∵AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，

∴AF∥平面CDE；

∵AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，

又BF⊂平面ABF，

∴BF∥平面CDE.

法二：(利用线面平行的判定)如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，∵AF∥DN，且AF＝DN，

∴四边形ADNF为平行四边形，

∴AD∥FN，且AD＝FN，

又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，

∴FN∥BC，且FN＝BC，

∴四边形BCNF为平行四边形，

∴BF∥NC，

∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，

∴BF∥平面CDE.]

点评：证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可．

　线面平行性质定理的应用

[典例1－2]　如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.

证明：FG∥平面AA1B1B．

[证明]　在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D．

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B．

点评：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．

(2)利用线面平行性质必须先找出交线．

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　D

A　[B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A．]

2.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.

[证明]　连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．

由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

考点二　平面与平面平行的判定与性质         

[典例2]　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC．

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

点评：本例的证明应用了三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．

如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．

(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；

(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)证明：∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，

∴NQ∥CD，MQ∥PC，

∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，

∴平面MNQ∥平面PCD．

(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝.

证明如下：

取PD中点E，连接NE，CE，

∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綊AD，

∴NE綊MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE，

∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，

∴MN∥平面ACE，且＝.