高三数学一轮复习： 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值

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1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．( )
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
图2­12­1
A．1 B.2
C.3 D.4
A [导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B.11万件
C．9万件 D.7万件
C [y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B.－2
C．4 D.2
D [由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x2时，f′(x)>0；当－2