(新高考)高考数学一轮复习第16讲《导数的应用——导数与函数的极值、最值》达标检测(解析版)

《导数的应用——导数与函数的极值、最值》达标检测

[A组]—应知应会

1．（春•济宁期末）函数的极大值点为　　

A． B． C．0 D．2

【分析】求导得，易推出在和，上单调递增，在，上单调递减，从而得解．

【解答】解：，，

令，则或，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减．

函数的极大值点为．

故选：．

2．（春•历下区校级月考）函数的极值点的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】求出函数的导数，然后构造函数，再导函数，利用导函数的符号，判断原函数的导函数的单调性，然后求出原函数的最小值，说明原函数是增函数，推出结果．

【解答】解：函数，可得，

令，则函数，

所以当时，，是增函数，即是增函数

当时，，是增减函数，

所以的最小值为，

所以是增函数，没有极值点．

故选：．

3．（春•潮州期末）函数在区间上存在极值点，则整数的值为　　

A．，0 B．， C．， D．，0

【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，求解的值即可．

【解答】解：函数，可得，

当和时，，当时，，

则在和上单调递增，在上单调递减．

若在上无极值点，则或或，

，，．时，在上无极值点，

，，时，在上存在极值点．

因为是整数，故或，

故选：．

4．（春•无锡期末）已知函数，，．则下列叙述正确的有　　

A．函数有极大值 B．函数有极小值 

C．函数有极大值 D．函数有极小值

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值判断即可．

【解答】解：，，，

，

令，解得：

令，解得：，

故在，递增，在，递减，

故极大值，

故选：．

5．（•鹿城区校级模拟）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是　　

A．当时函数取得极小值 B．有两个极大值点 

C．（1） D．

【分析】求出导函数，结合导函数的图象，判断函数的极值以及函数值，判断选项的正误即可．

【解答】解：函数，其导函数，由函数的图象可知，，（1），（2），

，是函数的两个极值点，（1）是极大值，（2）是极小值，所以，不正确；不正确；

，由图象可得，，，所以，可得，所以正确；

故选：．

6．（春•海淀区校级期末）若函数不存在极值点，则的取值范围是　　

A．或 B．或 C． D．

【分析】由于函数不存在极值，可得恒成立，求解出一元二次不等式即可得到的取值范围．

【解答】解：函数，

，

函数不存在极值，且的图象开口向上，

对恒成立，

△，

即，

的取值范围是．

故选：．

7．（•运城三模）函数的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】用换元法设，则，，设，求导，分析单调性，再求最值即可．

【解答】解：因为，

设，则，且，

设，则，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以的最小值为．即的最小值为．

故选：．

8．（春•重庆期末）已知函数，，，若，，不等式成立，则的最大值为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】问题转化为则，分别求出函数的最值，得到关于的不等式，解出即可．

【解答】解：若，，不等式成立，

则，

，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故（1），

而，

①即时，，，

在递增，，成立，

②，即时，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故，

故只需，

即，

令，

则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

（1），（2），（3），（4），

故满足的的最大值是3，

故选：．

9．（多选）（春•宿迁期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是　　

A．是函数的极小值点 　　　　　　B．是函数的极小值点 

C．函数在区间上单调递增 　　D．函数在处切线的斜率小于零

【分析】结合图象求出函数的单调区间，求出函数的极值点，判断选项即可．

【解答】解：由图象得时，，时，，

故在递减，在递增，

故是函数的极小值点，

故选：．

10．（多选）（春•徐州期中）已知函数，下列说法中正确的有　　

A．函数的极大值为，极小值为 

B．当，时，函数的最大值为，最小值为 

C．函数的单调减区间为， 

D．曲线在点处的切线方程为

【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论．

【解答】解：定义域为，

，

令，得或2，

所以在，上单调递增，

在上单调递减，故正确，

（2）（2）（2），故正确，

（3）（3）（3），

（4）（4）（4），

所以当，时，最大值为，最小值为

故不正确，

，

曲线在点处切线方程为，即，

故正确．

故选：．

11．（春•海淀区校级期末）设函数，则的极小值是　 　．

【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，由图象可得答案．

【解答】解：当时，，

当时，，

则其图象如图所示，

由图象可得在，上单调递增，在上单调递减，

函数的极小值为（2），

故答案为：0．

12．（春•运城期末）函数在处有极值，则的值是　 　．

【分析】求出函数的导数，得到关于的方程，解出检验即可．

【解答】解：，

，

若函数在处有极值，

必有，即，解得：，

故答案为：2．

13．（春•鼓楼区校级期中）已知函数，则它的极小值为　　；若函数，对于任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是　       　．

【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值；

（2）问题转化为，结合函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可．

【解答】解：（1）由，

得，

，，的变化如下表：

；

（2），，，，使得，即

，

当时，单调递增，，

，即；

当时，单调递减，（2），

故，即；

当时，，不符合题意，舍．

综上：；

故答案为：；．

14．（春•商丘期末）已知函数在区间，上的最大值与最小值的和为18，则实数的值为　 　．

【分析】用换元法令，则，，可得原函数变为，令，，，则函数为奇函数且，推出，，进而解出的值．

【解答】解：令，则，，

所以原函数变为，

令，，，则函数为奇函数且，

所以，，

所以，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以．

15．（春•西城区校级期末）已知函数，是奇函数．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）求函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求导得，于是，结合奇函数的特点，可列出关于、的方程，解之即可．

（Ⅱ）由（1）可知，，令，则或，然后列表写出、随的变化情况，从表中可知函数的单调性，从而得解．

【解答】解：（Ⅰ），，

，

为奇函数，，解得，

．

（Ⅱ）由（1）可知，，，

令，则或．

、随的变化情况如下表：

函数的极小值为，

极大值为．

16．（春•海淀区校级期末）已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）设函数；

①求在，的最小值；

②若函数在，上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．

【分析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；

（2）①根据导数和函数最值得关系即可求出；

②函数在，上恰有两个不同零点，则，解得即可．

【解答】解：（1），，

，

令，解的，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

（1），无极大值；

（2）①，，，

，

当，时，，函数单调递减，

当，时，，函数单调递增，

（2）．

②由（1），（3），（2），

函数在，上恰有两个不同零点，

，即，解得，

，

，

．

17．（•呼和浩特模拟）已知函数．

（Ⅰ）若函数的极小值为1，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数的取值范围．

【分析】先对函数求导，然后结合导数与极值关系对进行分类讨论，进而可求；

原问题等价于时，恒成立，构造函数，结合导数与单调性关系分析函数的特征，进而可求．

【解答】解：，

①若，则在上恒成立，

在单调递增，所以无极值．

②若，当时，，当时，，

即在单调递减，在单调递增，

所以的极小值为，由，解得．

，函数图象全部在第一象限，等价于时，恒成立，

令，，

令，，

令，

显然在，单调递增，

．

当时，，所以，

在单调递增，

，即，

在单调递增，

所以，此时符合题意；

当时，，

，使．

故在恒为负值，在单调递减，此时，

所以在单调递减，所以，此时不符合题意．

故所求的取值范围为，．

 [B组]—强基必备

1．（2019•合肥一模）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

【分析】求出函数的等式，结合函数的极值点的个数求出的范围，求出，令（a），，根据函数的单调性求出的范围即可．

【解答】解：，，

，

若函数有两个不同的极值点，，

则方程有2个不相等的正实数根，

故，解得，

所以，

，

令（a），，

（a），

故（a）在递增，

故（a），

故，

故选：．

2．（2019春•锡山区校级期末）已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为　　            ．

【分析】由题意可得，，作比得，令，结合条件将写成关于的函数，求导分析得到的范围，再结合得到的范围，与函数有两个极值点时的范围取交集即可．

【解答】解：函数由两个极值点，，有两个零点，，

即，，作比得，

令①，则有，

，代入①，得，

由题意知，，，

令，，，

令，则，单调递减，

，单调递减，

，即，

而，令，则，

在，上单调递增，

，即，

又有两个零点，，在上与有两个交点，

而，在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，，

综上，．

故答案为：．

3．（•涪城区校级模拟）已知函数，．

（1）当时，比较与的大小，并证明；

（2）令函数，若是函数的极大值点，求的取值范围．

【分析】（1）时，设，（1）．，，令，利用导数研究函数在上单调性，即得出大小关系．

（2）函数．．根据1是函数的极大值点，可得时，时，．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

【解答】解：（1）时，设，（1）．

则，，

令，，

可得时，函数取得极大值，（1）．

，

是上的减函数，

，，即，．

时，可得．

时，．

（2）函数．

．

是函数的极大值点，

时，时，．

①时，．

化为：，

令，．

，

令，，

．（1）．

（1）．．

在上单调递增．

时，，

，可得．

②时，．

同理可得：

综上可得：，

解得．

的取值范围是，．