专题44 其他类型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题44  其他类型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·重庆市鲁能巴蜀中学校九年级期中）朝天门，既是重庆城的起源地，也是“未来之城”来福士广场的停泊之地，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑﹣﹣“朝天扬帆”，来福士广场T3N塔楼核芯筒于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线，小明为了测量T3N的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C，继而沿坡度为i＝1：2.4的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行100米至趸船E，在E处小明操作无人勘测机，当无人勘测机飞行之点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°．楼顶A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，则T3N塔楼AB的高度约为（　　）（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

A．319米 B．335米 C．342米 D．356米

【答案】B

【分析】

作FG⊥AB于点G，CH⊥DO于点H，先利用坡度、CD的长，求出CH、DH，得到EO的长，在△AGF中，利用仰角求出AG，在△EFD中，利用俯角求出EF，根据AB、GO、GB间关系得结论．

【详解】

解：如图，作FG⊥AB于点G，CH⊥DO于点H，
 

由，

可设CH=x、DH=2.4x，
∵CD2=CH2+DH2，且CD=65，
∴652=x2+（2.4x）2，
解得：x=25，
则BO=CH=25，DH=2.4x=60，
∴FG=EO=ED+DH+OH=100+60+185=345，
则AG=FGtan∠AFG=345×=，
又∵GO=EF=ED×tan∠FDE=100×tan58°≈100×1.60=160．
∴AB=AG+OG-OB=+160-25≈198.95+135≈335（米）
故选：B．

【点睛】

本题考查了坡度、仰角、俯角与实际问题．题目难度不大，考查的知识面比较多，利用仰角、俯角构造直角三角形是解决本题的关键．

例2．（2020·陕西西安市·八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，其中，把含角的三角板向右平移，使顶点B落在含角的三角板的斜边上，则的长度为______．

【答案】

【分析】

根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG的长即可．

【详解】

解：在直角△BCF中，∵∠F=45°，BC=6，

∴CF=BC=6．

又∵EF=8，

则EC=2．

在直角△ABC中，∵BC=6，∠A=30°，

∴，

则AE=，∠A=30°，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是平移的性质，需要正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值．

例3．（2020·河南洛阳市·九年级三模）如图，海上观察哨所位于观察哨所正南方向，距离为海里，在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所南偏东的方向上，位于哨所北偏东的方向上，若观察哨所发现走私船从处以海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿南偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截？ (结果保留整数)（参考数据：）

【答案】海里/时

【分析】

由题意得∠B=37°，∠BAC=53°，从而得到∠ACB=90°，所以△ACB是直角三角形，因为AB=25海里，根据余弦可得AC的长，延长交于点，由题意知，DE⊥AB，解Rt△AEC，可得AE，CE的长，解Rt△ADE，可得DE的长，从而得出DC的长，可得走私船行驶CD所用的时间，也是缉私艇行驶AD的时间，根据勾股定理可得AD的长，从而可得缉私艇的速度．

【详解】

解：由题意得∠B=37°，∠BAC=53°，

在中，，

∴△ACB是直角三角形，

海里，

海里，

延长交于点，由题意知，DE⊥AB，

，

（海里），

（海里），

（海里），

(海里)，

（海里），

（海里/时），

答：当缉私艇的速度为海里/时，恰好在处成功拦截．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题及勾股定理．结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·沙坪坝区·重庆八中九年级期中）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得放杆顶端点的仰角为39°，则旗杆的高度约为（    ）米．（参考数据：，，）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1

【答案】C

【分析】

通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．

【详解】

解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，

在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i=，得，=，
又BC=65，
设BF=12x，FC=5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG，
在Rt△AEG中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C．

【点睛】

本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．

2．（2020·江苏无锡市·九年级其他模拟）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．

【详解】

解：如图

∵ ，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，延长交于，

∴ ，则， ，

过点作，设，则，， 

∴，

∴在中，，即，

解得：，

∴．

故选B．

【点睛】

本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．

二、填空题

3．（2020·温州市第二十三中学九年级三模）如图1是一溜娃推车，溜娃时该推车底部支架张开后，其框架投影图如图2所示，两支撑轮是分别以点为圆心，其支架长，竖直支撑柱分米，水平座椅分米，并与靠背成夹角，推手柄分米．当张开角时，三点共线， 且则的长度为          分米．

【答案】

【分析】

延长FH，交OM于点Q，由GM//AB可得FQ//AB，可知△AOB为等边三角形，，可求OQ=1，即QM=7，过F作FN//QM，易知△FNG为等边三角形，从而GF=FN=MQ=7．

【详解】

连接GM，延长FH交OM于Q，

，

为等边三角形，

∴Sin60°

即，

（分米）

过F点作，则，

是等边三角形，

，

，

∴四边形FQMN是平行四边形，

，

故答案为：7．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及解直角三角形，灵活运用各个知识点的性质是解答此题的关键．

4．（2020·天津红桥区·九年级一模）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经)时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则的值为________．

【答案】．

【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，

∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，

∴cosθ-5sinθ=5，

∴cosθ-sinθ=，

∴（sinθ-cosθ）2=，

sin2θ-2sinθ•cosθ+cos2θ=，

1-2sinθ•cosθ=，

sinθ•cosθ=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，根据正方形面积求其边长，正确建立关于三角函数的等式是解题的关键，难度适中．

三、解答题

5．（2020·金华市南苑中学九年级月考）李老师为了准备网课直播，购买了一个三脚架，如图①所示，图②为其截面示意图．测得．求点到地面的高度(结果精确到)．

(参考数据:．)

【答案】151cm

【分析】

延长交于点则，在计算OM长度，再加上AO长度，即可得到A到地面CD的距离．

【详解】

解:延长交于点则．

在中，

．

．

答:点到地面的高约为．

【点睛】

本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟悉此知识点是解题的关键．

6．（2020·安徽九年级三模）图1是合肥正大广场摩天轮，图2是其正面的平面图．已知正大广场楼顶距地面为米，摩天轮与楼顶近似相切，切点为．测得米，求摩天轮的最高点到地面的距离． ( 结果精确到米)(参考数据： )

【答案】摩天轮的最高点到地面的距离约为米

【分析】

连结OG．由切线的性质得垂直，再由等腰三角形的三线合一性质，得G为EF中点，从而在Rt△OGF中用三角函数解出OG，再乘以2，加上楼顶距地面的距离即可．

【详解】

解：如图，连接，

与相切于点，

(米)

在中，

(米)，

(米)．

答：摩天轮的最高点到地面的距离约为米．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，同时题目还考查了圆的切线的性质、等腰三角形的三线合一性质等相关知识点，掌握等腰三角形的三线合一定理是解题的关键．