还剩25页未读，
继续阅读
2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷
展开
这是一份2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷，共28页。
2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）根据公布数据显示，2020年扬州市户籍人口约4550000人．数据“4550000”用科学记数法表示为（ ）
A．4.55×106 B．4.55×107 C．0.455×107 D．455×104
2．（3分）下列各式中，计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
3．（3分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
4．（3分）如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（ ）
A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b
6．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
二．填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为s甲2＝0.2，S乙2＝0.08，成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
11．（3分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 kg．
14．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是 ．
15．（3分）如果一个多边形的每个内角都等于140°，那么关于这个多边形是 边形．
16．（3分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a+2b，a+1），则a+b＝ ．
18．（3分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
21．（8分）今年3月，中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局．为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天；
（3）若该市共有九年级学生4500人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人．
22．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
23．（10分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少5人，请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形．
（2）若AB＝1，DE＝，求点D到AC的距离．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．
28．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，3为半径的圆弧交边AB、AD于点E，F，交对角线BD于点G、H，点P为弧上的一个动点，过点P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N．设PM＝m，PN＝n．
（1）如图2，当点p运动至G位置时，求m+n的值；
（2）若四边形PMCN的面积为3.5，求四边形PMCN的周长；
（3）求四边形PMCN面积的最小值，并说明此时点P的位置．
2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）根据公布数据显示，2020年扬州市户籍人口约4550000人．数据“4550000”用科学记数法表示为（ ）
A．4.55×106 B．4.55×107 C．0.455×107 D．455×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4550000＝4.55×106．
故选：A．
2．（3分）下列各式中，计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
C、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
【分析】随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，
故选：C．
4．（3分）如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据组合体的排放顺序可以得到正确的答案．
【解答】解：从上面看该组合体的俯视图是一个矩形，并且被两条棱隔开，
故选：C．
5．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（ ）
A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b
【分析】根据有理数的运算结果进行判断．
【解答】解：方法一：
由数轴可得：b＜0＜a，
取a＝0.2，b＝﹣0.8，则
＝＝﹣0.25，a+b＝0.2+（﹣0.8）＝0.6，a+b2＝0.2+（﹣0.8）2＝0.2+0.64＝0.84，a﹣b＝0.2﹣（﹣0.8）＝0.2+0.8＝1，
最大的是1，故选项D正确，
方法二：
由数轴可得：b＜0＜a，
因为＜0，a+b＜0，a+b2＞0，a﹣b＞0，而a﹣b＞a+b2，
所以a﹣b最大，
故选：D．
6．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接BD．求出∠ABD，再证明∠CBD＝∠ABD即可解决问题．
【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠CBA＝60°，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，由等腰三角形的性质可求∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，
∴∠ACD＝，
∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，
∵∠CAD＜90°，
∴∠CDE不可能为45°，
故选：D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：根据轴对称的性质得到AO＝BO．根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB．根据相似三角形的性质得到＝，得到AE＝，CF＝，即可得到结论．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
由直线AB与反比例函数y＝﹣的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵AE•OE＝|﹣1|＝1，CF•OF＝8，
∴AE＝，CF＝，
∴＝＝，
∴＝2（负值舍去），
∴∠CAB的正切值为＝＝2，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【解答】解：根据题意得2x﹣4≥0
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
10．（3分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为s甲2＝0.2，S乙2＝0.08，成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝0.2，S乙2＝0.08，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
11．（3分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ （a﹣b）2 ．
【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2+b2﹣2ab
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
12．（3分）已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜ ．
【分析】先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：方程化为x2﹣2x+3m＝0，
根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，
解得m＜．
故答案为m＜．
13．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 20 kg．
【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y＝0时，x对应的值即可．
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可知：
，
解得：，
所以函数关系式为y＝30x﹣600，
当y＝0时，即30x﹣600＝0，所以x＝20．
故答案为：20．
14．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是 15π ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆半径是3，则底面周长＝6π，侧面展开图的面积＝×6π×5＝15π．
15．（3分）如果一个多边形的每个内角都等于140°，那么关于这个多边形是 九 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9．
故多边形是九边形．
故答案为：九．
16．（3分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 20 厘米．
【分析】依题意可知该三角形为直角三角形，其中有一锐角为30°，又知其中一直角边是10，再利用锐角三角函数的正切值解决问题．
【解答】解：设长方形长的一半为x．
∵tan30°＝＝，
∴x＝，
∴长方形长为20cm．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a+2b，a+1），则a+b＝ ﹣ ．
【分析】由题意知点P在第二象限角平分线上，即可得a+2b+a+1＝0，从而得出答案．
【解答】解：由题意知，点P在第二象限角平分线上，
∴a+2b+a+1＝0，
则a+b＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（3分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．
【分析】等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），设a＝1，求出b＝，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设a＝1，
根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），
∵a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
解得b＝或（负值舍去），
∴b＝，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
（a+b）：2b＝（1+）：（2×）＝．
故答案为：．
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4+（﹣1）﹣3×
＝4+﹣1﹣3
＝．
（2）原式＝•
＝•
＝1﹣a．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．
【解答】解：由①得x＞﹣2
由②得x≤1
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1
∴不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0．
21．（8分）今年3月，中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局．为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 200 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天；
（3）若该市共有九年级学生4500人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人．
【分析】（1）根据3天的人数和所占的百分比求出样本容量；
（2）根据中位数的定义直接得出答案；
（3）用总人数乘以劳动实践天数不少于5天的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
则样本容量为200；
故答案为：200；
（2）∵共抽取了200人，处于中间位置的是第100和101个数的平均数，
∴九年级学生劳动实践天数的中位数是＝5（天）；
故答案为：5；
（3）根据题意得：
4500×（1﹣10%﹣15%）＝3375（天），
答：九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有3375人．
22．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．
23．（10分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少5人，请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
【分析】问题：两班各有多少人？
设2班有x人，则1班有（x+5）人，根据人均捐款金额＝捐款总额÷人数，结合2班比1班人均捐款多4元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】问题：两班各有多少人？
解：设2班有x人，则1班有（x+5）人，
依题意得：﹣＝4，
依题意得：x2+5x﹣2250＝0，
解得：x1＝45，x2＝﹣50．
经检验，x1＝45，x2＝﹣50是原方程的解，x1＝45符合题意，x2＝﹣50不符合题意，舍去，
∴x+5＝50（人）．
答：1班有50人，2班有45人．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形．
（2）若AB＝1，DE＝，求点D到AC的距离．
【分析】（1）由ASA即可证明△ADF≌△ECF，得出AD＝CE，即可得出结论；
（2）作DG⊥AC于G，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，由平行四边形的性质得AC＝DE＝，由勾股定理求出AD＝2，由面积法求出DG即可．
【解答】（1）证明：∵F是CD中点，
∴DF＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∴∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD＝CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）解：作DG⊥AC于G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，
由（1）得：四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵DG⊥AC，
∴△ADC的面积＝AC×DG＝AD×CD，
∴DG＝＝＝，
即点D到AC的距离为．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
【分析】连接OE，通过证明OE∥BD证明OE⊥AC，得出AC与⊙O相切；通过证明∠C＝∠A，解直角三角形AOE求OE的长，即半径的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵AB＝BC且D是BC中点
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE＝∠DBE
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB
∴∠OEB＝∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD＝2，sinC＝，BD⊥AC
∴BC＝4
∴AB＝4
设⊙O 的半径为r，则AO＝4﹣r
∵AB＝BC
∴∠C＝∠A
∴sinA＝sinC＝．
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA＝＝
∴r＝．
26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ＝FE，继而求出FG•FE＝24，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示．AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴或，
∴CD＝2.5或CD＝10，
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．
（2）如图2，当AB≠BD时，BD是四边形ABCD的“相似对角线”，当AB＝BD时，BD不是四边形ABCD的“相似对角线”，
理由如下：
∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠A+∠ADB＝140°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BDC+∠ADB＝140°
∴∠A＝∠BDC，
当AB≠BD时，△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
当AB＝BD时，△ABD≌△DBC，
∴BD不是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似．
又∠EFH＝∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2＝FE•FG，
过点E作EQ⊥FG垂足为Q，
可得，
∵，
∴，
∴FG•FE＝24，
∴FH2＝FG•FE＝24，
∴．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得
c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．
∴b＝2a﹣3；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，
解得≤a＜0．
当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，
解得 0＜a≤．
∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；
（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，
故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．
∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．
①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）x﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，
则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，
∴a+2a﹣3﹣4＜5．
解得a＜4．
∴0＜a＜4；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，
则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），
∴．即．
解得（舍去）或．
综上，a的取值范围是0＜a＜4或a＝﹣3﹣．
28．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，3为半径的圆弧交边AB、AD于点E，F，交对角线BD于点G、H，点P为弧上的一个动点，过点P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N．设PM＝m，PN＝n．
（1）如图2，当点p运动至G位置时，求m+n的值；
（2）若四边形PMCN的面积为3.5，求四边形PMCN的周长；
（3）求四边形PMCN面积的最小值，并说明此时点P的位置．
【分析】（1）利用正方形的性质可得∠DBC＝∠CDB＝45°，PM⊥BC，则△PMB为等腰直角三角形，BM＝PM＝m；利用四边形PMCN为矩形，可得CM＝PN＝n，于是m+n＝BC＝4；
（2）延长MP，NP，交正方形的边AB，AD于Q，R，连接AP，则得AQ＝4﹣m，PQ＝4﹣n．利用勾股定理可得AQ2+PQ2＝AP2，则可得到关于m，n的关系式，将mn＝3.5代入，利用配方法得到关于m+n的式子，四边形PMCN的周长可求；
（3）利用（2）中的方法，求出四边形PMCN面积关于（m+n）的关系式，利用二次函数的性质可得四边形PMCN面积的最小值．
【解答】解（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°．
∵PM⊥BC，
∴△PMB为等腰直角三角形．
∴BM＝PM＝m．
∵PM⊥BC，PN⊥DC，∠C＝90°，
∴四边形PMCN为矩形．
∴CM＝PN＝n．
∵CM+BM＝BC＝4，
∴m+n＝4．
同理，当点P运动至H位置时，m+n＝4．
（2）延长MP，NP，交正方形的边AB，AD于Q，R，连接AP，如图1，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴四边形PRAQ为矩形．
∴AQ＝PR＝4﹣m，PQ＝4﹣n．
∵AQ2+PQ2＝AP2，
∴（4﹣m）2+（4﹣n）2＝32．
∴16﹣8m+m2+16﹣8n+n2＝9．
∴（m+n）2﹣2mn﹣8（m+n）+32＝9．
∵四边形PMCN的面积为3.5，
∴mn＝3.5．
∴（m+n）2﹣8（m+n）﹣7+32﹣9＝0．
∴（m+n﹣4）2＝0．
∴m+n＝4．
∴四边形PMCN的周长＝2（m+n）＝8．
（3）如图1，由（2）知：（4﹣m）2+（4﹣n）2＝32．
即：16﹣8m+m2+16﹣8n+n2＝9．
∴m2+n2﹣8（m+n）+23＝0．
∴m2+2mn+n2﹣8（m+n）+23＝2mn
∴2mn＝（m+n）2﹣8（m+n）+23．
∵S矩形PMCN＝mn，
∴＝（．
∵，
∴当m+n＝4时，S矩形PMCN有最小值为．
由（1）知，当m+n＝4时，点p运动至G、H位置．
∴此时点P的位置在G或H处．
2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）根据公布数据显示，2020年扬州市户籍人口约4550000人．数据“4550000”用科学记数法表示为（ ）
A．4.55×106 B．4.55×107 C．0.455×107 D．455×104
2．（3分）下列各式中，计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
3．（3分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
4．（3分）如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（ ）
A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b
6．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
二．填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为s甲2＝0.2，S乙2＝0.08，成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
11．（3分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 kg．
14．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是 ．
15．（3分）如果一个多边形的每个内角都等于140°，那么关于这个多边形是 边形．
16．（3分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a+2b，a+1），则a+b＝ ．
18．（3分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
21．（8分）今年3月，中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局．为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天；
（3）若该市共有九年级学生4500人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人．
22．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
23．（10分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少5人，请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形．
（2）若AB＝1，DE＝，求点D到AC的距离．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．
28．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，3为半径的圆弧交边AB、AD于点E，F，交对角线BD于点G、H，点P为弧上的一个动点，过点P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N．设PM＝m，PN＝n．
（1）如图2，当点p运动至G位置时，求m+n的值；
（2）若四边形PMCN的面积为3.5，求四边形PMCN的周长；
（3）求四边形PMCN面积的最小值，并说明此时点P的位置．
2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）根据公布数据显示，2020年扬州市户籍人口约4550000人．数据“4550000”用科学记数法表示为（ ）
A．4.55×106 B．4.55×107 C．0.455×107 D．455×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4550000＝4.55×106．
故选：A．
2．（3分）下列各式中，计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
C、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
【分析】随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，
故选：C．
4．（3分）如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据组合体的排放顺序可以得到正确的答案．
【解答】解：从上面看该组合体的俯视图是一个矩形，并且被两条棱隔开，
故选：C．
5．（3分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（ ）
A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b
【分析】根据有理数的运算结果进行判断．
【解答】解：方法一：
由数轴可得：b＜0＜a，
取a＝0.2，b＝﹣0.8，则
＝＝﹣0.25，a+b＝0.2+（﹣0.8）＝0.6，a+b2＝0.2+（﹣0.8）2＝0.2+0.64＝0.84，a﹣b＝0.2﹣（﹣0.8）＝0.2+0.8＝1，
最大的是1，故选项D正确，
方法二：
由数轴可得：b＜0＜a，
因为＜0，a+b＜0，a+b2＞0，a﹣b＞0，而a﹣b＞a+b2，
所以a﹣b最大，
故选：D．
6．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接BD．求出∠ABD，再证明∠CBD＝∠ABD即可解决问题．
【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠CBA＝60°，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，由等腰三角形的性质可求∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，
∴∠ACD＝，
∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，
∵∠CAD＜90°，
∴∠CDE不可能为45°，
故选：D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：根据轴对称的性质得到AO＝BO．根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB．根据相似三角形的性质得到＝，得到AE＝，CF＝，即可得到结论．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
由直线AB与反比例函数y＝﹣的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵AE•OE＝|﹣1|＝1，CF•OF＝8，
∴AE＝，CF＝，
∴＝＝，
∴＝2（负值舍去），
∴∠CAB的正切值为＝＝2，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共30分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【解答】解：根据题意得2x﹣4≥0
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
10．（3分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为s甲2＝0.2，S乙2＝0.08，成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝0.2，S乙2＝0.08，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
11．（3分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ （a﹣b）2 ．
【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2+b2﹣2ab
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
12．（3分）已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜ ．
【分析】先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：方程化为x2﹣2x+3m＝0，
根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，
解得m＜．
故答案为m＜．
13．（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 20 kg．
【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y＝0时，x对应的值即可．
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可知：
，
解得：，
所以函数关系式为y＝30x﹣600，
当y＝0时，即30x﹣600＝0，所以x＝20．
故答案为：20．
14．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是 15π ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆半径是3，则底面周长＝6π，侧面展开图的面积＝×6π×5＝15π．
15．（3分）如果一个多边形的每个内角都等于140°，那么关于这个多边形是 九 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9．
故多边形是九边形．
故答案为：九．
16．（3分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 20 厘米．
【分析】依题意可知该三角形为直角三角形，其中有一锐角为30°，又知其中一直角边是10，再利用锐角三角函数的正切值解决问题．
【解答】解：设长方形长的一半为x．
∵tan30°＝＝，
∴x＝，
∴长方形长为20cm．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a+2b，a+1），则a+b＝ ﹣ ．
【分析】由题意知点P在第二象限角平分线上，即可得a+2b+a+1＝0，从而得出答案．
【解答】解：由题意知，点P在第二象限角平分线上，
∴a+2b+a+1＝0，
则a+b＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（3分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．
【分析】等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），设a＝1，求出b＝，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设a＝1，
根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），
∵a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
解得b＝或（负值舍去），
∴b＝，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
（a+b）：2b＝（1+）：（2×）＝．
故答案为：．
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4+（﹣1）﹣3×
＝4+﹣1﹣3
＝．
（2）原式＝•
＝•
＝1﹣a．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．
【解答】解：由①得x＞﹣2
由②得x≤1
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1
∴不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0．
21．（8分）今年3月，中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局．为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 200 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天；
（3）若该市共有九年级学生4500人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人．
【分析】（1）根据3天的人数和所占的百分比求出样本容量；
（2）根据中位数的定义直接得出答案；
（3）用总人数乘以劳动实践天数不少于5天的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
则样本容量为200；
故答案为：200；
（2）∵共抽取了200人，处于中间位置的是第100和101个数的平均数，
∴九年级学生劳动实践天数的中位数是＝5（天）；
故答案为：5；
（3）根据题意得：
4500×（1﹣10%﹣15%）＝3375（天），
答：九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有3375人．
22．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．
23．（10分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少5人，请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
【分析】问题：两班各有多少人？
设2班有x人，则1班有（x+5）人，根据人均捐款金额＝捐款总额÷人数，结合2班比1班人均捐款多4元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】问题：两班各有多少人？
解：设2班有x人，则1班有（x+5）人，
依题意得：﹣＝4，
依题意得：x2+5x﹣2250＝0，
解得：x1＝45，x2＝﹣50．
经检验，x1＝45，x2＝﹣50是原方程的解，x1＝45符合题意，x2＝﹣50不符合题意，舍去，
∴x+5＝50（人）．
答：1班有50人，2班有45人．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形．
（2）若AB＝1，DE＝，求点D到AC的距离．
【分析】（1）由ASA即可证明△ADF≌△ECF，得出AD＝CE，即可得出结论；
（2）作DG⊥AC于G，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，由平行四边形的性质得AC＝DE＝，由勾股定理求出AD＝2，由面积法求出DG即可．
【解答】（1）证明：∵F是CD中点，
∴DF＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∴∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD＝CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）解：作DG⊥AC于G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，
由（1）得：四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵DG⊥AC，
∴△ADC的面积＝AC×DG＝AD×CD，
∴DG＝＝＝，
即点D到AC的距离为．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．
【分析】连接OE，通过证明OE∥BD证明OE⊥AC，得出AC与⊙O相切；通过证明∠C＝∠A，解直角三角形AOE求OE的长，即半径的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵AB＝BC且D是BC中点
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE＝∠DBE
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB
∴∠OEB＝∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD＝2，sinC＝，BD⊥AC
∴BC＝4
∴AB＝4
设⊙O 的半径为r，则AO＝4﹣r
∵AB＝BC
∴∠C＝∠A
∴sinA＝sinC＝．
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA＝＝
∴r＝．
26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ＝FE，继而求出FG•FE＝24，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示．AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴或，
∴CD＝2.5或CD＝10，
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．
（2）如图2，当AB≠BD时，BD是四边形ABCD的“相似对角线”，当AB＝BD时，BD不是四边形ABCD的“相似对角线”，
理由如下：
∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠A+∠ADB＝140°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BDC+∠ADB＝140°
∴∠A＝∠BDC，
当AB≠BD时，△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
当AB＝BD时，△ABD≌△DBC，
∴BD不是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似．
又∠EFH＝∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2＝FE•FG，
过点E作EQ⊥FG垂足为Q，
可得，
∵，
∴，
∴FG•FE＝24，
∴FH2＝FG•FE＝24，
∴．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得
c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．
∴b＝2a﹣3；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，
解得≤a＜0．
当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，
解得 0＜a≤．
∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；
（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，
故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．
∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．
①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）x﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，
则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，
∴a+2a﹣3﹣4＜5．
解得a＜4．
∴0＜a＜4；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，
则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），
∴．即．
解得（舍去）或．
综上，a的取值范围是0＜a＜4或a＝﹣3﹣．
28．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，3为半径的圆弧交边AB、AD于点E，F，交对角线BD于点G、H，点P为弧上的一个动点，过点P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N．设PM＝m，PN＝n．
（1）如图2，当点p运动至G位置时，求m+n的值；
（2）若四边形PMCN的面积为3.5，求四边形PMCN的周长；
（3）求四边形PMCN面积的最小值，并说明此时点P的位置．
【分析】（1）利用正方形的性质可得∠DBC＝∠CDB＝45°，PM⊥BC，则△PMB为等腰直角三角形，BM＝PM＝m；利用四边形PMCN为矩形，可得CM＝PN＝n，于是m+n＝BC＝4；
（2）延长MP，NP，交正方形的边AB，AD于Q，R，连接AP，则得AQ＝4﹣m，PQ＝4﹣n．利用勾股定理可得AQ2+PQ2＝AP2，则可得到关于m，n的关系式，将mn＝3.5代入，利用配方法得到关于m+n的式子，四边形PMCN的周长可求；
（3）利用（2）中的方法，求出四边形PMCN面积关于（m+n）的关系式，利用二次函数的性质可得四边形PMCN面积的最小值．
【解答】解（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°．
∵PM⊥BC，
∴△PMB为等腰直角三角形．
∴BM＝PM＝m．
∵PM⊥BC，PN⊥DC，∠C＝90°，
∴四边形PMCN为矩形．
∴CM＝PN＝n．
∵CM+BM＝BC＝4，
∴m+n＝4．
同理，当点P运动至H位置时，m+n＝4．
（2）延长MP，NP，交正方形的边AB，AD于Q，R，连接AP，如图1，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴四边形PRAQ为矩形．
∴AQ＝PR＝4﹣m，PQ＝4﹣n．
∵AQ2+PQ2＝AP2，
∴（4﹣m）2+（4﹣n）2＝32．
∴16﹣8m+m2+16﹣8n+n2＝9．
∴（m+n）2﹣2mn﹣8（m+n）+32＝9．
∵四边形PMCN的面积为3.5，
∴mn＝3.5．
∴（m+n）2﹣8（m+n）﹣7+32﹣9＝0．
∴（m+n﹣4）2＝0．
∴m+n＝4．
∴四边形PMCN的周长＝2（m+n）＝8．
（3）如图1，由（2）知：（4﹣m）2+（4﹣n）2＝32．
即：16﹣8m+m2+16﹣8n+n2＝9．
∴m2+n2﹣8（m+n）+23＝0．
∴m2+2mn+n2﹣8（m+n）+23＝2mn
∴2mn＝（m+n）2﹣8（m+n）+23．
∵S矩形PMCN＝mn，
∴＝（．
∵，
∴当m+n＝4时，S矩形PMCN有最小值为．
由（1）知，当m+n＝4时，点p运动至G、H位置．
∴此时点P的位置在G或H处．
相关试卷
2023年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州市广陵区文津中学中考数学二模试卷-普通用卷： 这是一份2023年江苏省扬州市广陵区文津中学中考数学二模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷(含解析）： 这是一份2023年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
