苏科新版七年级下册《第9章整式乘法与因式分解》2021年单元测试卷（江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校）

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1．（4分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
2．（4分）多项式的公因式是
A．B．C．D．
3．（4分）若代数式因式分解的结果是，则的值是
A．B．4C．D．
4．（4分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
5．（4分）设，，则、的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
6．（4分）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是
A．B．C．D．
二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
7．（4分）若是一个完全平方式，那么的值是 ．
8．（4分）在实数范围内分解因式： ．
9．（4分）因式分解的结果是 ．
10．（4分）已知，，则的值为 ．
11．（4分）若中不含的一次项，则的值为 ．
12．（4分）已知，，，则代数式的值是 ．
三.解答题（共6小题，满分52分）
13．（9分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
14．（8分）因式分解：
（1）；
（2）．
15．（6分）若，先化简，并求出化简后式子的值．
16．（6分）已知，求的值．
17．（11分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则的展开式 ．
（2）的展开式共有 项，系数和为 ．
（3）利用上面的规律计算：．
（4）运用：若今天是星期二，经过天后是星期 ．
18．（12分）知识生成通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法 ；方法 ；
（3）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则 ；
知识迁移
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
苏科新版七年级下册《第9章 整式乘法与因式分解》2021年单元测试卷（江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校）
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则和单项式与单项式相乘进行判断．
【解答】解：、，错误；
、，错误；
、，正确；
、不能合并，错误；
故选：．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、单项式与单项式相乘，掌握法则是解题的关键．
2．（4分）多项式的公因式是
A．B．C．D．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：系数的最大公约数是12，相同字母的最低指数次幂是，
公因式为．
故选：．
【点评】此题考查的是对公因式的确定，熟练掌握定义是解题的关键．
3．（4分）若代数式因式分解的结果是，则的值是
A．B．4C．D．
【分析】根据完全平方公式因式分解即可得结果．
【解答】解：因为
所以的值为：．
故选：．
【点评】本题考查了因式分解运用公式法，解决本题的关键是掌握公式法分解因式．
4．（4分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：、是整式的乘法，故不符合题意；
、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
、是乘法交换律，故不符合题意；
、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．
5．（4分）设，，则、的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，先把、进行整理，然后比较即可得出答案．
【解答】解：，，
，
；
故选：．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
6．（4分）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长，然后结合图形列出关于、的方程，求出、的值，分别计算即可得解．
【解答】解：大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，
大正方形的边长是6，中间空缺的小正方形的边长为2，
，，
，，
，，
关系式中不正确的是．
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，主要利用了正方形的面积与边长的关系，观察图形得到长方形的长与宽的关系式是解题的关键．
二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
7．（4分）若是一个完全平方式，那么的值是 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可求出的值．
【解答】解：若是一个完全平方式，
，
故答案为：
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（4分）在实数范围内分解因式： ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（4分）因式分解的结果是 ．
【分析】直接去括号再合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10．（4分）已知，，则的值为 ．
【分析】本题要求代数式的值，而代数式恰好可以分解为两个已知条件，的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．
【解答】解：
当，时，原式，
故答案为：
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
11．（4分）若中不含的一次项，则的值为 ．
【分析】首先利用多项式乘法法则计算出，再根据积不含的一次项，可得含的一次项的系数等于零，即可求出的值．
【解答】解：
，
不含的一次项，
，
解得：．
故答案为．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
12．（4分）已知，，，则代数式的值是 6 ．
【分析】根据、、的值，分别求出，，，进而把代数式分组分解，即可得出答案．
【解答】，，，
，，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确的分解因式得出的值是解决问题的关键．
三.解答题（共6小题，满分52分）
13．（9分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方可以解答本题；
（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式和平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
14．（8分）因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接提取公因式，进而分解因式即可；
（2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
15．（6分）若，先化简，并求出化简后式子的值．
【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，再利用整式的加减运算法则化简得出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
，
当，时，
原式
．
【点评】此题主要考查了整式的加减以及非负数的性质，正确合并同类项是解题关键．
16．（6分）已知，求的值．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而结合同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：，
，
则，
解得：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
17．（11分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则的展开式 ．
（2）的展开式共有 项，系数和为 ．
（3）利用上面的规律计算：．
（4）运用：若今天是星期二，经过天后是星期 ．
【分析】（1）由，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
（2）结合（1）即可得的展开式的项和系数和；
（3）将写成“杨辉三角”的展开式形式，即可得结果；
（4）展开后看最后一项即可得结论．
【解答】解：（1）根据上面的规律可知：
；
故答案为：；
（2）结合（1）可知：
的展开式共有项，系数和为．
故答案为：，；
（3），
；
（4）的最后一项是1，
今天是星期二，经过天后是星期三；
故答案为：三．
【点评】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
18．（12分）知识生成通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法 ；方法 ；
（3）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则 ；
知识迁移
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
【分析】利用面积相等推导公式；利用体积相等推导；
【解答】解：（1）由图直接求得阴影边长为；
故答案为；
（2）方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
面积为；
故答案为；；
（3）由阴影部分面积相等可得；
（4）由，
可得，
，，
，
；
故答案为25；
（5）方法一：正方体棱长为，
体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
；
故答案为；
（6）；
将，，代入得
；
【点评】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．