2021学年2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件测试题

这是一份2021学年2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2015·河南新乡高一期末测试)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(eq \f(1,2)，－eq \f(3,4))
[答案] B
[解析] A中，e1∥e2；C中，e2＝2e1，∴e1∥e2；D中，e1＝4e2，∴e1∥e2，只有B中，e1与e2不共线，故选B．
2．若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
[答案] D
[解析] ∵A、B、C共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.
3．(2015·潮州高一期末测试)已知向量a＝(2,1)、b＝(x，－2)，若a∥b，则x＝( )
A．1 B．－1
C．－2 D．－4
[答案] D
[解析] ∵a∥b，∴2×(－2)－x＝0，∴x＝－4.
4．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于( )
A．3 B．－3
C．5 D．－5
[答案] C
[解析] a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由题意得，9－3k＝－6，∴k＝5.
5．已知向量a＝(3,4)、b＝(csα，sinα)，且a∥b，则tanα＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3)
C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴3sinα－4csα＝0，∴tanα＝eq \f(4,3).
6．若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0，b)(ab≠0)共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
[答案] A
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，∴(a－2)(b－2)－4＝0，
∴ab－2(a＋b)＝0.
∵ab≠0，
∴将等式两边同除以ab，得
1－2(eq \f(1,b)＋eq \f(1,a))＝0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2).
二、填空题
7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝2i，eq \(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→))，则点C的坐标为________．
[答案] (1，－1)
[解析] 由已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,0)、eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,2)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－2，y)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→))，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2＝2,－2y＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－1)).
∴点C的坐标为(1，－1)．
8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
[答案] eq \f(π,4)
[解析] 由已知，得12sin2α＝6，
∴sinα＝±eq \f(\r(2),2)，∴α为锐角，∴α＝eq \f(π,4).
三、解答题
9．设向量Oeq \(A,\s\up6(→))＝(k,12)、Oeq \(B,\s\up6(→))＝(4,5)、Oeq \(C,\s\up6(→))＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．
[解析] ∵Oeq \(A,\s\up6(→))＝(k,12)、Oeq \(B,\s\up6(→))＝(4,5)、Oeq \(C,\s\up6(→))＝(10，k)，
∴Aeq \(B,\s\up6(→))＝Oeq \(B,\s\up6(→))－Oeq \(A,\s\up6(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，
Beq \(C,\s\up6(→))＝Oeq \(C,\s\up6(→))－Oeq \(B,\s\up6(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．
∵A、B、C三点共线，∴Aeq \(B,\s\up6(→))与Beq \(C,\s\up6(→))共线，
∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝11或k＝－2.
10．已知向量a＝(1,2)、b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求x的值．
[解析] u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(1＋2x,4)，v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
因为u∥v，所以(1＋2x)×3＝(2－x)×4.
解得x＝eq \f(1,2).
一、选择题
1．设向量a＝(2,1)、b＝(－4，λ)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A．eq \r(3) B．eq \r(5)
C．3 D．5
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴2λ－1×(－4)＝0，∴λ＝－2.
∴b＝(－4，－2)．
∴3a＋b＝(2,1)．
∴|3a＋b|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
[答案] C
[解析] ∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案] C
[解析] ∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，
∴a＋b＝(0，x2＋1)，
∵1＋x2≠0，
∴向量a＋b平行于y轴．
4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，
又a、b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ,1＝－λ))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－1,k＝－1)).
∴c＝－d，∴c与d反向．
二、填空题
5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))
[解析] 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝x－1,3λ＝y－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2λ,y＝3λ＋2)).
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)).
6．已知点A(1，－2)，若向量eq \(AB,\s\up6(→))与a＝(2,3)同向，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(13)，则点B的坐标为________．
[答案] (5,4)
[解析] 设点B的坐标为(x，y)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y＋2)，∵eq \(AB,\s\up6(→))与a同向，
∴3(x－1)－2(y＋2)＝0，
∴3x－2y－7＝0.
又∵(x－1)2＋(y＋2)2＝52，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y－7＝0,x－12＋y＋22＝52))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝－8)).
当x＝－3，y＝－8时，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－6)＝－2a不合题意，
∴x＝5、y＝4.∴B(5,4)．
三、解答题
7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9))).
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－eq \f(16,13).
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
求证：eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
[解析] 设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意有：
eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)、eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,3)、eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3))).
因为eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
因为(x1＋1，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3))).
因为(x2－3，y2＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1))，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)).
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－\f(2,3))).
又因为4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(8,3)×(－1)＝0，所以eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
9．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
[解析] 由已知，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线．
又eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
∴3×(－1)－3×2≠0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不共线．
∴AB∥CD，AB与AD不平行．
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(CD,\s\up6(→))|，即AB≠CD．
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)，
∴|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)＝|eq \(AD,\s\up6(→))|.
故四边形ABCD是等腰梯形．