江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试 数学（文）（含答案）

这是一份江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试 数学（文）（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B＝{x|2csx≥}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．[﹣1，2]D．[﹣，]
2．已知复数z满足（z+i）i＝1﹣i，则||＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分(△ABC)的概率是（ ）
A． B． C．D．
4．在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗( SKIPIF 1 < 0 称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为 SKIPIF 1 < 0 ．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝5，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．50%B．60%C．70%D．80%
5．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（ ）
A．∀x∉R，x2≥0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0
6．化简 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcsA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数f(x)＝(x＋eq \f(1,x))ln|eq \f(1,x)|的图象大致为（ ）
A B C D
9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的 SKIPIF 1 < 0 （单位：升），则器中米 SKIPIF 1 < 0 应为（ ）
A．2升 B．3升 C．4升 D．6升
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 直线 SKIPIF 1 < 0 与截面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．函数y＝ SKIPIF 1 < 0 与y＝3sin SKIPIF 1 < 0 +1的图象有n个交点，其坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
12．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cs＜，＞＝______
14．已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2， SKIPIF 1 < 0 ，则BC＝ ．
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为 ．
16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点，过点F作x轴垂线在x轴的上方与抛物线C交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝ ．
二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
18．如图，BE，CD为圆柱的母线， SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点.
（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；
（2）设BC=BE，圆柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱锥A-BCDE的体积.
19．（12分）2021年4月20日，博鳌亚洲论坛2021年年会开幕式在海南博鳌举行，国家主席习近平以视频方式发表题为《同舟共济克时艰，命运与共创未来》的主旨演讲，某校政治老师为了解同学们对此事的关注情况，在一个班级进行了调查，发现在全班40人中，对此事关注的同学有24人，该班在上学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：（1）求对此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数；
（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从对此事不关注者中随机抽取1人，求该同学及格的概率；
（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量，请补充下列的 SKIPIF 1 < 0 列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系？
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知离心率e＝，焦点在x轴上的椭圆与直线x+2y＝2相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不经过右焦点F的直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：x2+y2＝1相切，试探究△ABF的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由．
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
（Ⅰ）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。
22．在直角坐标系xOy中，曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
23．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
（2）正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
2021年临川一中高三模拟考试试题
文 科 数 学 答 案
选择题
DBCDD BBDDD AC
二填空题
SKIPIF 1 < 0 14. SKIPIF 1 < 0 15. SKIPIF 1 < 0 16. SKIPIF 1 < 0
1.解：∵＝，
当k＝0时，，∴．故选：D．
2.解：因为（z+i）i＝1﹣i，所以，
所以．故选：B．
3．解：由题可知△EFG内切圆的切点分别为A，B，C，∴EA＝EC，FA＝FB，GC＝GB．又△EFG是等边三角形，∴△ACE，△ABF，△BCG，△ABC是4个全等的等边三角形，
∴所求的概率P＝＝．故选：C．
4.解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即≤1，∴，
∴，∴1﹣，∴，即，故选：D．
5．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．
6．原式＝＝．故选：B．
7．解：在△ABC中，bcsA﹣c＜0，则sinBcsA﹣sinC＜0，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＞sinBcsA，则有sinAcsB＞0，因为sinA＞0，所以csB＞0，故角B为锐角，当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，
故“bcsA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．
9.D程序运行变量值变化如下： SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；不满足 SKIPIF 1 < 0 ，输出 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
D设 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与截面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
11．解：∵y＝＝x++1，y＝3sin+1，∴两个函数对称中心均 为（0，1）；
画图可知共有四个交点，且关于（0，1）对称，故（xi+yi）＝4，故选：A．
12．解：记t＝|PA|+|PF1|＝|PA|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，t有最小值，此时，所以．设焦距为2c，则F2（c，0），所以．又，所以，化简得e4﹣e2﹣2＝0，解得e2＝2（舍负），所以双曲线C的离心率（舍负），故选：C．
13．解：根据题意，＝（1，﹣2），则||＝，若|+|＝2，则（+）2＝2+2+2•＝6+2cs＜，＞＝4，变形可得cs＜，＞＝﹣．
14．解：法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，则．因为，所以AD＝2．
在△ABD中，由正弦定理得，在△ABC中，由正弦定理得，两式相比得．设CD＝x，则BD＝2x，BC＝3x，
在△ABC中，由余弦定理得，所以①．在△ABD中，由余弦定理得，
所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．
法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，D′三点共线，则AB平分∠CBD′．因为，所以．因为，
所以AD′＝2，设BC＝3x，则BD′＝2x，设∠BAD′＝θ，则∠BAC＝π﹣θ．
在△ABC中，由余弦定理得，所以①，
在△ABD′中，由余弦定理得，所以②，
联立①②得x＝2，所以BC＝6．故答案为：6．
15．解：易知f′（x）＝（k+）•﹣﹣1，由题意可得f′（x1）＝f′（x2），即（k+）•﹣﹣1＝（k+）•﹣﹣1，因为x1≠x2，化简可得4（+）＝k+，即4（x1+x2）＝（k+）x1x2，而x1x2＜（）2，
所以4（x1+x2）＜（k+）（）2，则x1+x2＞，
当k≥1时，由基本不等式可得≤＝4，当且仅当k＝＞1时，取等号，
所以x1+x2＞4，所以x1+x2的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．
16．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F为（，0），可得直线AB的方程为x＝y+，由，消去x可得y2﹣2py﹣p2＝0，∴y1+y2＝2p，y1y2＝﹣p2，
∵点M的坐标为（，p），∴k1＝＝，同理k2＝，
∴k1+k2＝+＝2﹣p（+）＝2﹣＝2﹣＝4.
17.（1）(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，①
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①式-②式得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
18．又 SKIPIF 1 < 0 为圆柱的母线， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题可设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形易得
SKIPIF 1 < 0 ，底面圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
19．（1）对此事不关注的16名同学，成绩从低到高依次为
46，52，53，56，63，63，64，66，68，72，74，76，78，78，84，92
中位数为 SKIPIF 1 < 0 ；
平均数为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为对此事不关注的16个人中共有12人及格，所以所求概率 SKIPIF 1 < 0 ，
（3）
SKIPIF 1 < 0
所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系．
20．解：（1）因为e＝，设椭圆的标准方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去x可得，2y2﹣2y+1﹣b2＝0，
所以，因为OP⊥OQ，
所以，
故，解得b＝1，故椭圆C的方程为；
（2）是定值，理由如下：
因为直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与圆x2+y2＝1相切，所以，即m2＝1+k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
消去y可得，（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝16（4k2﹣m2+1）＝48k2＞0，
所以，
故＝
＝，又m2＝1+k2，所以，
因为k＞0，m＜0，所以0＜x1＜2，0＜x2＜2，
因为＝，
同理可得，
所以，
所以，
故△ABF的周长是定值4．
21．解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 证明：①当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，综上可知： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）解：设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
下面证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上不恒成立．
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不恒成立．综上实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
22.（1）由曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 (t为参数)，消去参数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C2为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即曲线C2的直角坐标方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C2为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 的参数方程代入整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 对应的参数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
23．解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 为正数，则 SKIPIF 1 < 0
等价于 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 成立.
优秀
不优秀
合计
关注
24
不关注
16
合计
40
SKIPIF 1 < 0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
政治成绩优秀
政治成绩不优秀
合计
对此事关注者
10
14
24
对此事不关注者
2
14
16
合计
12
28
40