中考数学 三专题突破训练：直角三角形与勾股定理

这是一份中考数学 三专题突破训练：直角三角形与勾股定理，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为( )
A. B.3C. D.5
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.B.1，
C.6，7，8D.2，3，4
3. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )
A.B.C.D.
4. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为( )
A.2+B.+
C.2+D.3
5. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米B.15平方千米
C.75平方千米D.750平方千米
6. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为( )
A.B.C.D.
7. 如图所示，底边BC为2eq \r(3)，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为( )
A. 2＋2eq \r(3) B. 2＋eq \r(3) C. 4 D. 3eq \r(3)

8. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(3\r(3),2) C. eq \f(3,2) D. 不能确定
二、填空题
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 .

10. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.

11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．

12. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是 .

13. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米(结果精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73).

14. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.
(1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系;
(2)若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积.
15. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是 .
16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

三、解答题
17. 如图，已知:在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E，F分别是边BC，AC的中点.求证:DF=BE.
18. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
(1)线段DC= ;
(2)求线段DB的长度.
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.
20. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.

21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

备用图
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

2021中考数学 三专题突破训练：直角三角形与勾股定理-答案
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】B
3. 【答案】D [解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，
∴AC===5.
∴sin∠BAC==.故选D.
4. 【答案】A [解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF=1.
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD=DF=，
∴BC=BD+CD=2+.
5. 【答案】A [解析]将里换算为千米，则三角形沙田的三边长分别为2.5千米，6千米，6.5千米，因为2.52+62=6.52，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S=×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A.
6. 【答案】A [解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，
根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.
∵∠D=90°.
∴由勾股定理得:
BM===5.
过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，
∴∠HBA=∠DBM，
∵∠AHB=∠D=90°，
∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.
7. 【答案】A 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，BC＝2eq \r(3)，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝eq \r(3)，在Rt△ACF中，AC＝eq \f(CF,csC)＝eq \f(\r(3),cs30°)＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝2eq \r(3)＋2.

8. 【答案】B 【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝eq \f(3,2)，AH＝eq \r(AB2－BH2)＝eq \f(3\r(3),2).连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴eq \f(1,2)AB·PD＋eq \f(1,2)BC·PE＋eq \f(1,2)CA·PF＝eq \f(1,2)BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝eq \f(3\r(3),2).

二、填空题
9. 【答案】1.6 [解析]连接AD，
由作法可知AD=BD，
在Rt△ACD中，设CD=x，
则AD=BD=5-x.
由勾股定理得，CD2+AC2=AD2，
即x2+32=(5-x)2，
解得x=1.6，
故答案为1.6.
10. 【答案】50° 【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝eq \f(AB,2)＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.
11. 【答案】5 【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝eq \f(1,2)AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(82＋62)＝10，∴CD＝5.
12. 【答案】15-5 [解析]过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.
∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cs30°=15.
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5.
13. 【答案】2.9 [解析]首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米，再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案.
∵AM=4米，∠MAD=45°，DM⊥AM，
∴DM=4米，
∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=(2MC)2，
即MC2+122=(2MC)2，∴MC=4 米，
则DC=4-4≈2.9(米).
14. 【答案】解:(1)由勾股定理得，a2+b2=c2.
(2)∵正方形EFMN的面积为64，∴c2=64，即c=8.
∵Rt△ABC的周长为18，∴a+b+c=18，
∴a+b=10，
∴Rt△ABC的面积=ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=9.
15. 【答案】8+4 [解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，
由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=CD=2.
∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，
∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，
∴BD=，∴BD2=()2=8+4.
16. 【答案】78 【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝eq \r(152＋202)＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∴CE＝eq \f(15,25)×20＝12.
法一：BC·AH＝AB·AC，AH＝eq \f(AB·AC,BC)＝eq \f(15×20,25)＝12，S△ABE＝eq \f(1,2)×12×13＝78.
法二：DE＝eq \r(152－122)＝9，由△CDE∽△CAH可得，eq \f(CD,CA)＝eq \f(ED,HA)，∴AH＝eq \f(9×20,15)＝12，S△ABE＝eq \f(1,2)×12×13＝78.

三、解答题
17. 【答案】
证明:连接AE，∵点E，F分别是边BC，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，即EF∥AD且EF=AB.
又∵AD=AB，∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF=AE.
∵在Rt△ABC中，点E是BC的中点，
∴AE=BC=BE，∴BE=DF.

18. 【答案】
解:(1)4
(2)∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△CAD是等边三角形，
∴CD=AC=4，∠ACD=60°.
过点D作DE⊥BC于E，
∵AC⊥BC，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.
在Rt△CDE中，CD=4，∠BCD=30°，
∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，
在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.
19. 【答案】
解:(1)证明:∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.
(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AC=AB=3.
20. 【答案】
eq \r(13)证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，(1分)
在△ACE与△BCD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(EC＝DC,∠ACE＝∠BCD,AC＝BC))，(3分)
∴△ACE≌△BCD(SAS)．(4分)
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°，(6分)
∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°，
在Rt△EAD中，ED2＝AD2＋AE2，
∴ED2＝AD2＋BD2，(8分)
又ED2＝EC2＋CD2＝2CD2，
∴2CD2＝AD2＋DB2.(10分)
21. 【答案】
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2) ①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．
如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．
②当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
因此，当时，y的最大值为．

图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．
22. 【答案】
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．
图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，，，由，得．
如图9，当G落在AC上时，，，由，得．
图8 图9