2021年福建省莆田市中考数学二检试卷

这是一份2021年福建省莆田市中考数学二检试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年福建省莆田市中考数学二检试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）计算（﹣1）2021的结果（　　）
A．﹣2021 B．﹣1 C．1 D．2021
2．（4分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）据统计，2020年莆田市常住人口约为2910000人，将2910000用科学记数法表示为（　　）
A．2.91×105 B．2.91×106 C．29.1×105 D．0.291×107
4．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列运算中正确的是（　　）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD、BD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（　　）

A．35° B．55° C．65° D．70°
7．（4分）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（　　）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
8．（4分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（　　）

A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
9．（4分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则下列关系式正确的是（　　）

A．S1＝S2 B．S2＝S3
C．S2+S3＝S1 D．S22+S32＝S12
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（　　）
A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如果一个扇形的圆心角为90°，弧长为π，那么该扇形的半径为　 　．
12．（4分）若x＝，则4x2+4x＝　 　．
13．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼估计大约有　 　条．
14．（4分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为　 　．

15．（4分）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1m，并在同一时刻测得一根长为1.4m的竹竿的影长是0.4m．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是　 　m．

16．（4分）在平面直角坐标系中，若原点O关于直线y＝﹣x+k的对称点O'在双曲线y＝上，则k的值为　 　．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．
17．（8分）计算：20210+|1﹣|﹣2cos45°．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，下列3个条件：①∠A＝∠D；②BF＝CE；③AE∥DF，选出能推出AB＝CD的一个条件．已知：如图，AB∥CD，AE＝DF，　 　（写出一种情况即可）；求证：AB＝CD．

19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接BD．
（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求∠DBC的度数．

21．（8分）2021年3月23日，莆田市校园读书月活动暨第一届校园阅读论坛正式启动，开启了莆田市“书香校园、智慧阅读”2.0版的新篇章．某初中校组织全校1000名学生参加“数学文化知识竞赛”，从全校随机抽取100名学生调查学生的答题情况，得到成绩统计表：
分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
6
10
30
50
4
（1）根据上表数据，下列结论正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）；
①众数落在80≤x＜90分数段
②中位数落在80≤x＜90分数段
③平均数落在80≤x＜90分数段
④极差落在30＜x≤50分数段
（2）学校从90≤x≤100分数段的4名学生中随机抽取2名进行学习交流．已知4名学生中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
22．（10分）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，∠A＝∠BCD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）在BC上取点E，使BE＝BD，过点E作EF∥AB交AC于点F．若EF＝BD，求sinA的值．

23．（10分）鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业，历经30多年的发展，莆田已经成为世界知名运动鞋制造基地．某鞋厂准备生产A，B两种品牌运动鞋共100万双，已知生产每双A种品牌和B种品牌运动鞋共需成本185元，且每双B种品牌运动鞋成本比A种高15元．
（1）求A，B两种品牌运动鞋每双的成本分别是多少元；
（2）“闽宁对口扶贫协作援宁群体”遵循“优势互补、互惠互利、长期协作、共同发展”的方针，该鞋厂主动扛起对口帮扶宁夏脱贫攻坚的历史使命，每售出1双A种品牌运动鞋就捐出a元．根据市场供需情况，计划生产A种品牌运动鞋至少60万双，B种品牌运动鞋至少20万双．已知A，B两种品牌运动鞋每双售价分别为115元和125元，该鞋厂将如何安排生产才能获得最大利润？
24．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边上的动点，连接DE．过点E作EF⊥BD于点F，点G为DE的中点，连接CF，CG，GF．
（1）求证：∠FGC＝2∠BDC；
（2）设BE＝x，△GFC的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②如图2，点M，N分别在AD，CD上，且DM＝，DN＝1，连接GM，GN，当GM+GN取最小值时，求S的值．

25．（14分）已知函数y1＝mx2+（1﹣m）x和y2＝nx2+（1﹣n）x（m＞0，n＜0）的图象在第一象限内的交点为A，且函数y1，y2的图象分别与x轴正半轴交于点B，C．
（1）求点A的坐标；
（2）若∠BAC＝90°，
①求证：mn＝﹣1；
②函数y1，y2图象的顶点分别为M，N，设△ABC的外心为点P，△OMN的内心为点Q．问是否存在m，n的值，使得O，P，Q三点共线？若存在，求m，n的值；若不存在，说明理由．

2021年福建省莆田市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）计算（﹣1）2021的结果（　　）
A．﹣2021 B．﹣1 C．1 D．2021
【分析】直接根据有理数的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1．
故选：B．
2．（4分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，
故选：D．
3．（4分）据统计，2020年莆田市常住人口约为2910000人，将2910000用科学记数法表示为（　　）
A．2.91×105 B．2.91×106 C．29.1×105 D．0.291×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2910000＝2.91×106．
故选：B．
4．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
5．（4分）下列运算中正确的是（　　）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
【分析】根据整式运算即可求出答案．
【解答】解：（A）a5+a5＝2a5，故A错误；
（B）3a3•2a2＝6a5，故B错误；
（C）a6÷a2＝a4，故C错误；
故选：D．
6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD、BD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（　　）

A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】先求出∠CDB，由∠ADB＝90°，可得∠ADC．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠CDB＝∠CAB＝35°（圆周角定理），
∴∠ADC＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
7．（4分）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（　　）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
【分析】设井深为x尺，根据绳子的长度固定不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设井深为x尺，
依题意，得：3（x+4）＝4（x+1）．
故选：D．
8．（4分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（　　）

A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是左转30°，
∴多边形的边数＝360°÷30°＝12，
周长＝12×1＝12米．
故选：B．
9．（4分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则下列关系式正确的是（　　）

A．S1＝S2 B．S2＝S3
C．S2+S3＝S1 D．S22+S32＝S12
【分析】设AB＝c，AC＝b，BC＝a，S3为以BC为直径的半圆减去△ABC的面积，S1为以AB、AC为直径的两个半圆的面积的和减去S3，然后根据圆的面积公式和勾股定理可确定S2＝S1．
【解答】解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
S3＝π•（a）2﹣S1＝πa2﹣S1，
S2＝π•（c）2+π•（b）2﹣S3＝πc2+πb2﹣S3＝π（c2+b2）﹣（πa2﹣S1），
∵c2+b2＝a2，
∴S2＝S1．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，且M（﹣4，c），N（﹣3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（　　）
A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，说明a＜0，对称轴x＝﹣1，假设选项成立，逐项判断即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，
A、若M和N不在该二次函数图象上，则由题意知P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）一定在图象上，而x＞﹣1时y随x增大而减小，这与Q（2，n），R（3，n+1）矛盾，故A不符合题意；
B、若Q和R不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，而抛物线与y轴交点（0，c）一定在图象上，这样抛物线对称轴为x＝＝﹣2，这与抛物线对称轴为x＝﹣1矛盾，故B不符合题意；
C、M和Q可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D、若P和Q不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，同B理由，故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如果一个扇形的圆心角为90°，弧长为π，那么该扇形的半径为　2　．
【分析】设该扇形的半径为R，根据弧长公式得到＝π，然后解方程即可．
【解答】解：设该扇形的半径为R，
根据题意得＝π，解得R＝2．
故答案为2．
12．（4分）若x＝，则4x2+4x＝　1　．
【分析】先把已知条件变形得到2x+1＝，两边平方得到4x2+4x+1＝2，从而得到4x2+4x的值．
【解答】解：∵x＝，
∴2x＝﹣1，
即2x+1＝，
∴（2x+1）2＝2，
即4x2+4x+1＝2，
∴4x2+4x＝1．
故答案为1．
13．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼估计大约有　1200　条．
【分析】首先求出有记号的5条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵×100%＝2.5%
∴30÷2.5%＝1200（条）．
故答案为：1200．
14．（4分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为　（5，120°）　．

【分析】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．
【解答】解：由图可知，图中目标D的位置可记为（5，120°）．
故答案为：（5，120°）．
15．（4分）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1m，并在同一时刻测得一根长为1.4m的竹竿的影长是0.4m．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是　14.35　m．

【分析】根据题意作出图形，然后根据相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：根据题意，作出如下图形：石雕妈祖像身高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿为CD，竹竿的影子为ED．

设石雕妈祖像身高为xm，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴x＝14.35，
∴石雕妈祖像身高为14.35m，
故答案为：14.35．
16．（4分）在平面直角坐标系中，若原点O关于直线y＝﹣x+k的对称点O'在双曲线y＝上，则k的值为　　．
【分析】连接OO′，根据对称的性质可得OO′与直线y＝﹣x+k垂直，再利用对称的性质列出方程可得答案．
【解答】解：如图，

设直线OO′关系式为y＝ax，O′（m，n），
∴a＝，
设OO′中点为N，则N（，），
由对称性可得N在直线y＝﹣x+k上，且OO′与直线y＝﹣x+k垂直，
∴，
解得：k＝，m＝，n＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤．
17．（8分）计算：20210+|1﹣|﹣2cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×
＝1+﹣1﹣
＝0．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，下列3个条件：①∠A＝∠D；②BF＝CE；③AE∥DF，选出能推出AB＝CD的一个条件．已知：如图，AB∥CD，AE＝DF，　①或③　（写出一种情况即可）；求证：AB＝CD．

【分析】若选择①，由AB∥CD可得∠B＝∠C，由AAS定理可得△ABE≌△DCF，利用全等三角形的性质定理可得结果；若选择③，由AE∥DF可得∠AEB＝∠DFC，可证得△ABE≌△DCF，利用全等三角形的性质定理可得结果．
【解答】解：若选①，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
若选③，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD．
故答案为：①或③．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接BD．
（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求∠DBC的度数．

【分析】（1）分别以A、B为圆心，以AB为半径在AB的右侧画弧，两弧相交于点D；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据旋转的性质得到△ABD为等边三角形，则∠ABD＝60°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD，BD即为所求作；

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
由旋转可知：∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣60°＝10°．
21．（8分）2021年3月23日，莆田市校园读书月活动暨第一届校园阅读论坛正式启动，开启了莆田市“书香校园、智慧阅读”2.0版的新篇章．某初中校组织全校1000名学生参加“数学文化知识竞赛”，从全校随机抽取100名学生调查学生的答题情况，得到成绩统计表：
分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
6
10
30
50
4
（1）根据上表数据，下列结论正确的是　②④　（写出所有正确结论的序号）；
①众数落在80≤x＜90分数段
②中位数落在80≤x＜90分数段
③平均数落在80≤x＜90分数段
④极差落在30＜x≤50分数段
（2）学校从90≤x≤100分数段的4名学生中随机抽取2名进行学习交流．已知4名学生中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）由众数、中位数、平均数以及极差的定义求解即可；
（2）画树状图，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①由众数的定义得：众数不一定落在80≤x＜90分数段，故不正确；
②由中位数的定义得：中位数落在80≤x＜90分数段，故②正确；
③平均数不一定落在80≤x＜90分数段，故③不正确；
④由极差的定义得：极差落在30＜x≤50分数段，故④正确；
故答案为：②④；
（2）分别记七，八年级的学生为A和B，记九年级同学为C、D，
则根据题意，画如下的树状图：

共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有10种，
∴P（不同年级）＝．
22．（10分）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，∠A＝∠BCD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）在BC上取点E，使BE＝BD，过点E作EF∥AB交AC于点F．若EF＝BD，求sinA的值．

【分析】（1）根据BC为直径，可得∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝90°，进而可得AC为⊙O的切线；
（2）设CE＝x，BE＝y，则BC＝x+y，EF＝BD＝y．利用锐角三角函数列式计算即可得结论．
【解答】（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝90°，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠EFC．
∵∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠EFC．
设CE＝x，BE＝y，则BC＝x+y，EF＝BD＝y．
∴，
，
∴，
∴x2+xy﹣y2＝0，
∴（）2+﹣1＝0，
∴．
23．（10分）鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业，历经30多年的发展，莆田已经成为世界知名运动鞋制造基地．某鞋厂准备生产A，B两种品牌运动鞋共100万双，已知生产每双A种品牌和B种品牌运动鞋共需成本185元，且每双B种品牌运动鞋成本比A种高15元．
（1）求A，B两种品牌运动鞋每双的成本分别是多少元；
（2）“闽宁对口扶贫协作援宁群体”遵循“优势互补、互惠互利、长期协作、共同发展”的方针，该鞋厂主动扛起对口帮扶宁夏脱贫攻坚的历史使命，每售出1双A种品牌运动鞋就捐出a元．根据市场供需情况，计划生产A种品牌运动鞋至少60万双，B种品牌运动鞋至少20万双．已知A，B两种品牌运动鞋每双售价分别为115元和125元，该鞋厂将如何安排生产才能获得最大利润？
【分析】（1）设生产A种品牌运动鞋成本m元，B种运动鞋成本n元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设生产A种品牌运动鞋x万双，则生产B种品牌运动鞋（100﹣x）万双，根据题意列不等式组求出x的取值范围；设总利润为w元，根据题意求出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设生产A种品牌运动鞋成本m元，B种运动鞋成本n元，
依题意，得，
解得，
答：生产A种运动鞋成本85元，B种运动鞋成本100元．
（2）设生产A种品牌运动鞋x万双，则生产B种品牌运动鞋（100﹣x）万双，设总利润为w元，
则w＝（115﹣85）x+（125﹣100）（100﹣x）﹣ax＝（5﹣a）x+2500．
又∵，
解得60≤x≤80．
①当5﹣a＞0时，w随x的增大而增大，
∴当a＜5，x＝80时，wmax＝2900﹣80a；
②当5﹣a＝0，即a＝5时，w＝2500；
③当5﹣a＜0时，w随x的增大而减小，
∴当a＞5，x＝60时，wmax＝2800﹣60a．
综上所述，当a＜5时，鞋厂将选择生产A种运动鞋80万双，B种运动鞋20万双能获得最大利润；当a＝5时，利润均为2500万元；当a＞5时，鞋厂将选择生产A种运动鞋60万双，B种运动鞋40万双能获得最大利润．
24．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边上的动点，连接DE．过点E作EF⊥BD于点F，点G为DE的中点，连接CF，CG，GF．
（1）求证：∠FGC＝2∠BDC；
（2）设BE＝x，△GFC的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②如图2，点M，N分别在AD，CD上，且DM＝，DN＝1，连接GM，GN，当GM+GN取最小值时，求S的值．

【分析】（1）如图1，先根据直角三角形斜边中线可得FG＝CG，
法一：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论；
法二：根据FG＝GE＝GC＝GD，可知E，F，D，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（2）①法一：如图2，过G作GH⊥CF于点H，证明△FGH∽△BDC，令GH＝a，则FH＝2a，FC＝4a，FG＝，DE＝，根据三角形面积公式和勾股定理可得结论；
法二：如图3，连接AC交BD于点O，证明△FGC∽△BOC，根据相似三角形的性质得，结合勾股定理可得结论；
法三：如图4，过点F作FK⊥BC于点K，同理得△BFK∽△FEK∽△BDC，则＝＝2，根据面积差和三角形面积公式可得结论；
②如图5，分别取BD，CD中点O，P，作点N关于OP的对称点N'，连接MN'交OP于点G，此时GM+GN的最小值为MN'，可知DN＝NP＝N'P＝1，DN'＝3，根据三角形中位线定理可得EC＝2PG＝3，得x＝5，代入S与x的函数关系式中可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，G为DE中点，

∴CG＝DE．
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴FG＝DE，
∴FG＝CG，
法一：∵FG＝DG＝CG，
∴∠GFD＝∠GDF，∠GCD＝∠GDC，
∴∠FGE＝2∠GDF，∠CGE＝2∠GDC，
∴∠FGC＝∠FGE+∠CGE＝2∠BDC；
法二：∵FG＝GE＝GC＝GD，
∴E，F，D，C四点共圆，
∴∠FGC＝2∠BDC；
（2）①法一：如图2，过G作GH⊥CF于点H，

∵FG＝CG，
∴∠FGC＝2∠FGH，
∵∠FGC＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠FGH，
∵∠GHF＝∠DCB＝90°，
∴△FGH∽△BDC，
∴，
令GH＝a，则FH＝2a，FC＝4a，FG＝，DE＝，
∴S＝＝＝2a2，
∵CE＝8﹣x，CD＝4，
∴DE2＝CE2+CD2＝（8﹣x）2+42＝，
∴，
∴．
法二：如图3，连接AC交BD于点O，则OB＝OC＝OD，

∴∠BOC＝2∠BDC＝∠FGC．
∵，
∴△FGC∽△BOC，
∴，
∵BC＝8，CD＝4，
∴BD＝＝，BO＝，，
∵，
∴．
法三：如图4，过点F作FK⊥BC于点K，

∵EF⊥BD，CD⊥BC，
同理得△BFK∽△FEK∽△BDC，
∴＝＝2，
∴KE＝BE＝x，
∴FK＝x，
∴，
∵点G为DE中点，
∴S△DEF＝2S△DFG，S△DCE＝2S△DCG，
∴，
∵S△FEC＝＝（8﹣x）x＝﹣+x，
∴；
②如图5，分别取BD，CD中点O，P，

∵点E在线段CB上运动，G为DE中点，
∴点G在线段OP上运动，
∴作点N关于OP的对称点N'，连接MN'交OP于点G，
此时GM+GN的最小值为MN'．
∵DN＝NP＝N'P＝1，
∴DN'＝3，
∵，
∴，
∵PG∥BC，DP＝CP，
∴EC＝2PG＝3，
∴BE＝BC﹣EC＝5，即x＝5，
∵，
∴S＝×25﹣+8＝．
25．（14分）已知函数y1＝mx2+（1﹣m）x和y2＝nx2+（1﹣n）x（m＞0，n＜0）的图象在第一象限内的交点为A，且函数y1，y2的图象分别与x轴正半轴交于点B，C．
（1）求点A的坐标；
（2）若∠BAC＝90°，
①求证：mn＝﹣1；
②函数y1，y2图象的顶点分别为M，N，设△ABC的外心为点P，△OMN的内心为点Q．问是否存在m，n的值，使得O，P，Q三点共线？若存在，求m，n的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）综合两个二次函数的解析式列方程组，解出可得点A的坐标；
（2）①根据y1＝0可得点B的坐标为（，0），同理得C（，0），作辅助线，构建相似三角形，证明
△ABD∽△CAD，列比例式代入可得结论；
②先利用配方法得函数y1，y2图象的顶点分别为M，N，作辅助线，构建直角三角形，利用三角函数列等式可得m+n＝2，联立方程组解出可得结论．
【解答】（1）解：联立，
得（m﹣n）x2+（n﹣m）x＝0，
∴（m﹣n）（x2﹣x）＝0，
∵m＞0，n＜0，
∴m≠n，
∴x2﹣x＝0，
解得 x1＝0，x2＝1，
当x＝1时，y1＝y2＝1，
∴A（1，1）；
（2）①证明：令y1＝0，得 mx2+（1﹣m）x＝0，

解得 x1＝0，x2＝，
∴B（，0），
同理得C（，0），
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴AD2＝BD•CD，
∵，，
∴＝1，
∴mn＝﹣1；
②解：∵y1＝mx2+（1﹣m）x＝m（x﹣）2﹣，
y2＝nx2+（1﹣n）x＝n（x﹣）2﹣，
∴函数y1，y2图象的顶点分别为M，N，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，

则，，
∵∠BAC＝90°，
∴Rt△ABC外心P在x轴上，
∴当O，P，Q三点共线时，Q也在x轴上，
此时，∠NOF＝∠MOE，
∴，
∴m+n＝2，
联立，
解得：，（舍去），
∴存在m＝，n＝，使O，P，Q三点共线．