全国统考2022版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第2讲双曲线2备考试题（含解析）

第十章　圆锥曲线与方程

第二讲　双曲线

1.[2020浙江,8,4分]已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|=              (　　)

A. B. C. D.

2.[2021大同市调研测试]已知双曲线C与抛物线x2=8y有共同的焦点F,且点F到双曲线C的渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为              (　　)

A.-x2=1  B.-y2=1

C.-x2=1  D.y2-=1

3.[2021郑州名校联考第一次调研]已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,则该双曲线的离心率e等于              (　　)

A. B. C.2sin 50° D.2cos 50°

4.[2021四省八校联考]若P是双曲线x2-y2=1上一点,以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A,B两点,则四边形PAOB的面积为              (　　)

A. B. C.1 D.2

5.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为              (　　)

A.13 B.12 C.11 D.10

6.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是              (　　)

A.(,)　 B.(,)　 C.(,)　 D.(,+1)

7.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tan∠F1PF2=4,O为坐标原点,则|OP|=　　　　　. 

8.[2021安徽省示范高中联考]已知点F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx,k∈[,]与双曲线C交于A,B两点,若AF⊥BF,则该双曲线的离心率的取值范围是              (　　)

A.[,+1] B.[,]

C.[2,+1] D.[2,]

9.[2021江西九江三校联考]已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M(-a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点,当·取得最小值和最大值时,△PF1F2的面积分别为S1,S2,则=              (　　)

A.4 B.8 C.2 D.4

10.[2021河南省名校第一次联考]已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-c,0)作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠F1AF2的平分线过点M(-c,0),则双曲线的离心率为              (　　)

A.2 B. C.3 D.

11.[2020福州适应性测试]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,A,B是C上关于原点对称的两点,M是C上异于A,B的动点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若1≤k1≤2,则k2的取值范围为(　　)

A.[,] B.[,]

C.[-,-] D.[-,-]

12.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为              (　　)

A. B. C. D.

13.[2020惠州市二调][新定义题]我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是              (　　)

A. B. C. D.2

14.[2021河北衡水中学联考][情境创新]小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,D为其顶点,如图10-2-1所示.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线相互垂直,且AB与DC垂直,AB=80 cm,DC=20 cm,若该双曲线的焦点位于直线DC上,则点D下方的焦点距点D　　　　cm.

图10-2-1

15.[递进型]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点(,),则该双曲线的标准方程为　　　　,焦点坐标为　　　　. 

答 案

第十章　圆锥曲线与方程

第二讲　双曲线

1.D　由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是双曲线的右支,点P的轨迹方程为x2=1(x≥1),又y=3,所以x2=,y2=,所以|OP|=,故选D.

2.A　抛物线x2=8y的焦点为F(0,2),因为双曲线C与抛物线x2=8y有共同的焦点,所以双曲线的半焦距c=2,设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,点F(0,2)到渐近线的距离为=1,所以b=1,所以a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为x2=1,故选A.

3.B　根据对称性,取双曲线的一条渐近线bx-ay=0.

圆(x-1)2+y2=sin2130°的圆心为(1,0),半径r=sin 130°=sin 50°.因为渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130°相切,所以=sin 50°,所以.

所以e=.故选B.

4.B　解法一　由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°,所以四边形PAOB为矩形.设点P(x1,y1),则点P到两条渐近线的距离分别为,,所以四边形PAOB的面积为.又点P(x1,y1)在双曲线x2-y2=1上,所以=1,所以

S四边形PAOB=,故选B.

解法二　如图D 10-2-1,由题意,点P为双曲线上任意一点,不妨设点P为双曲线的右顶点,即 P(1,0).易知双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径,点A,B在圆上,所以∠OAP=∠OBP=90°.又点P(1,0)到两条渐近线的距离均为,所以四边形PAOB为正方形,所以S四边形PAOB=()2=,故选B.

图D 10-2-1

5.C　由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=.根据双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=4　①,|BF2|-|BF1|=2a=4　②,①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min==3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.

6.C　不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y-5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2<<4,结合a2+b2=c2,得,所以该双曲线的离心率的取值范围是(,).故选C.

7.　因为tan∠F1PF2=4,所以sin∠F1PF2=,cos∠F1PF2=.

由余弦定理得2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,

所以·|PF1|·|PF2|=16,

又||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|·|PF2|=7,

则△F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=2.

设P(x0,y0),因为△F1PF2的面积为·2c·|y0|=2,所以|y0|=,代入x2=1得=2,所以|OP|=.

8.A　解法一　设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tan α∈[,],所以α∈[,].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c,则A(ccosα,csinα),代入双曲线方程可得,=1,即=1,所以e2cos2α=1,所以e4cos2α-2e2+1=0,可得e2=,则e2=或e2=(舍去),即e2=,又α∈[,],所以2≤e2≤=4+2=(+1)2,所以≤e≤+1.故选A.

解法二　设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tan α∈[,],所以α∈[,].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,则∠ABF=,在直角三角形ABF中,|AF|=2csin,|BF|=2ccos,由对称性可得|AF'|=|BF|=2ccos,由双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=2c(cossin),所以e=,因为α∈[,],所以∈[,],则cos()∈[,],所以e∈[,+1],故选A.

解法三　设直线y=kx的倾斜角为α,则k=tan α∈[,],所以α∈[,].设点A在第一象限,双曲线的左焦点为F',O为坐标原点,则∠AOF=α,连接F'A,F'B,由AF⊥BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c.当α=时,|AF|=c=c,∠AOF'=,|AF'|=c=c,根据双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=c,所以e=.当α=时,△AOF为正三角形,所以|AF|=c,∠AOF'=,|AF'|=c,根据双曲线的定义可得,2a=|AF'|-|AF|=(1)c,所以e=+1.所以≤e≤+1,故选A.

【关键能力】　本题主要考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力和创新能力,需要考生结合图形和已知条件综合分析,寻求关系建立离心率的相关表达式或a与c的关系式,进而求出离心率的取值范围.

9.A　由双曲线的离心率为2,可知c=2a,b=a,则N(0,a),F1(-2a,0),F2(2a,0),线段MN的方程为y=x+a(-a≤x≤0).设P(x0,x0+a),-a≤x0≤0,则=(-2a-x0,x0a),=(2a-x0,x0a),所以·=(-2a-x0)(2a-x0)+(x0a)2=4+6ax0-a2(-a≤x0≤0).当x0=a时,·取得最小值,此时P(a,a),则S1=2a×a=a2;当x0=0时,·取得最大值,此时P(0,a),则S2=2a×a=2a2.所以=4.故选A.

10.D　由题知,|MF1|=c,|MF2|=c,|AF1|=,又|AF2|-|AF1|=2a,则|AF2|=2a+,由角平分线性质得,即,化简得b2=2a2,所以e=,故选D.

11.A　由双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,可得,即a=2b,则双曲线的方程为=1(b>0).

设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),

因为A,B,M在双曲线上,所以两式相减得,

所以,即k1·k2=.

因为1≤k1≤2,所以k2=∈[,].故选A.

12.C　如图D 10-2-2,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF1F2=,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=,由F1A∥F2B,可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,则有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0,即=0,整理得2c2-3ac-a2=0,可化为2e2-3e-1=0,解得e=或e=(舍去),所以双曲线C的离心率为.故选C.

图D 10-2-2

13.A　设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,x>y.由椭圆、双曲线的定义得在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==cos 60°,∴,∴+3=4c2.∵e1·e2=·=1,∴c2=a1a2,∴+3=4a1a2,即(a1-a2)(a1-3a2)=0,∴a1=3a2,∴3=c2,∴e2=,即双曲线的离心率为.故选A.

14.30(1)　将题图逆时针旋转90°,并以DC所在直线为x轴,点D左侧的点O为坐标原点,与DC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图D 10-2-3所示.设该双曲线的方程为=1(a>0,b>0).

因为该双曲线的渐近线相互垂直,所以a=b.由题意知,=1,解得a=b=30,c=30,故点D下方的焦点距点D 30(1)cm.

图D 10-2-3

15.x2=1　(±,0)　解法一　因为点(,)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知 b=2a,由得所以双曲线的标准方程为x2=1,焦点坐标为(±,0).

解法二　由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,设双曲线的方程为4x2-y2=λ,再将(,)代入双曲线的方程,得λ=4,所以双曲线的标准方程为x2=1,焦点坐标为(±,0).