全国统考2022版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第3讲抛物线1备考试题（含解析）

第十章　圆锥曲线与方程

第三讲　抛物线

练好题·考点自测 

1.[改编题]下列结论说法正确的个数为 (　　)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线;

(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切;

(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0);

(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形;

(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是(0,).

 A.1 B.2 C.4 D.5

2.[2019全国卷Ⅱ,9,5分][文]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p= (　　)

A.2 B.3 C.4 D.8

3.[2020北京,7,4分]设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线              (　　)

A.经过点O B.经过点P

C.平行于直线OP D.垂直于直线OP

4.[2021安徽省四校联考]已知抛物线C:x=4y2的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段AB的中点到准线的距离为              (　　)

A. B. 

C. D.

5.[2020山东,13,5分]斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

6.[2018全国卷Ⅲ,16,5分]已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则 k=　　　　. 

7.[2020四川成都摸底]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AF|=1,则抛物线C的标准方程为　　　　　. 

拓展变式

1.(1)[2021四省八校联考]抛物线C:x2=4y上一点P到C的焦点F的距离为4,若直线PF与C的另一个交点为Q,则|QF|等于(　　)

A. B. C. D.2

(2)[2020湖北省部分重点中学联考]已知动圆P恒过定点(,0),且与直线x=相切,则动圆P的圆心轨迹M的方程为　　　　　. 

2.(1)[2020全国卷Ⅲ,7,5分][文]设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为              (　　)

A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)

(2)[2017全国卷Ⅱ,12,5分][文]过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为              (　　)

A. B.2 C.2 D.3

3.(1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　)

A. B. C. D.

(2)[2017全国卷Ⅰ,10,5分]已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)

A.16 B.14 C.12 D.10

4.[2019浙江,21,15分]如图10-3-7,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.

①求p的值及抛物线的准线方程;

②求的最小值及此时点G的坐标.

图10-3-7

5.[2020湖北省襄阳市调研]动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且两切线相交于点M.

(1)求曲线C的方程.

(2)求证:·=0.

(3)求△ABM面积的最小值.

答  案

第十章　圆锥曲线与方程

第三讲　抛物线

1.A　当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹不是抛物线,故(1)错误;直线与抛物线的准线垂直时,只有一个交点,但直线与抛物线相交,故(2)错误;抛物线y2=2px(p>0)开口向右,过一、四象限,故(3)错误;抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形,故(4)错误;y=ax2化为标准形式为x2=y,焦点为(0,),故(5)正确,故选A.

2.D　由题意知抛物线的焦点坐标为(,0),椭圆的焦点坐标为(±,0),所以,解得p=8,故选D.

3.B　连接PF,由题意及抛物线的定义可知|PQ|=|FP|,则△QPF为等腰三角形,故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.

4.A　解法一　由题意可得F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则整理得x1-x2=4(),则kAB=,解得y0=1,

∵M(x0,y0)在直线l上,∴y0=(x0),∴x0=,从而线段AB的中点到准线的距离为x0+,故选A.

解法二(结论解法)　由题意知,p=,以AB为直径的圆与准线相切,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,线段AB的中点到准线的距离d=·,故选A.

5.　由题意得直线方程为y=(x-1),联立方程,得得3x2-10x+3=0,∴xA+xB=,故|AB|=1+xA+1+xB=2+.

6.2　解法一　由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4.由∠AMB=90°,=(x1+1,y1-1),=(x2+1,y2-1),得·=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=,x1x2=1与y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.

解法二　设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则所以=4(x1-x2),则k=.取AB的中点M'(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A',B',因为∠AMB=90°,点M在准线x=-1上,所以|MM'|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).又M'为AB的中点,所以MM'平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.

解法三　抛物线C:y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.

由题意可知,以AB为直径的圆与准线相切于点M(-1,1), (利用焦点弦的常用结论(详见主书P200规律总结2.(8))

故线段AB中点的纵坐标y0=1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则k==2.

解法四　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),M(-1,1),根据阿基米德三角形的性质(详见主书P201)有MF⊥AB,则kAB===2.

【素养落地】　本题以抛物线为载体,考查考生用代数方法解决几何问题的能力,入口较低,让每个考生都敢做,出口较多,不同水平的考生采用的方法不同,有很好的区分功能,同时考查了考生的转化与化归能力及数形结合思想,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.

7.y2=2x　如图D 10-3-1,设直线l与x轴交于点D,过点B作BE⊥l于点E,则|DF|=p.由抛物线的定义知|BE|=|BF|.因为|AF|=1,即|AF|=1,=|AF|,=|AF|.因为△AEB∽△ADF,所以,得=|AF|,即|DF|=1,即p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.

图D 10-3-1

【易错警示】　本题的易错点是忽略抛物线的定义在解题中的应用,进而不会利用三角形的相似比把等式|AF|=1进行转化.求解抛物线中涉及焦点、准线、抛物线上的点、定点的距离问题时,常利用抛物线的定义,把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离.

1.(1)C　由题意知F(0,1),直线PF的斜率存在且不为零,设直线PF的方程为y-1=kx,与抛物线的方程联立并消去x,得y2-(4k2+2)y+1=0,所以 yPyQ=1.由抛物线的定义,知|PF|=yP+1=4(题眼),所以yP=3,所以yQ=,所以|QF|=yQ+1=,故选C.

(2)y2=x　由题意知,动圆P的圆心到点(,0)的距离与到直线 x=的距离相等,则圆心P的轨迹是以(,0)为焦点,直线x=为准线的抛物线,故p=,所以动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.

2.(1)B　解法一　将直线方程与抛物线方程联立,可得y=±2,不妨设D(2,2),E(2,-2),

由OD⊥OE,可得·=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(,0).

解法二　由题可知点D,E关于x轴对称,设DE与x轴交于P,且D在第一象限,因为OD⊥OE,所以∠DOP=45°,故xD=yD=2,代入y2=2px可得p=1,焦点坐标为(,0).

解法三　过抛物线的顶点O垂直的两条弦OD⊥OE,则DE直线过定点(2p,0),则可知2p=2⇒p=1,所以焦点坐标为(,0).

(2)C　解法一　依题意,得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方,得M(3,2),由MN⊥l,得|MN|=|MF|=3+1=4,又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形,点M到直线NF的距离为4×=2,选C.

解法二　依题意,得直线FM的倾斜角为60°,则|MN|=|MF|==4,又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形,点M到直线NF的距离为4×=2,选C.

3.(1)D　解法一　由已知得焦点坐标为F(,0),因此直线AB的方程为y=(x),与抛物线方程联立,消去x,化简得4y2-12y-9=0,故|yA-yB|==6.

因此S△OAB=|OF||yA-yB|=×6=.

解法二(结论解法)　由抛物线焦点弦的结论可得S△AOB=.

(2)A　解法一(斜率式)　焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0,分别设为k1,k2,则直线l1的方程为y=k1(x-1),由消去y并整理得x2-(2+4)x+=0,Δ>0,所以x1+x2=.因为l1⊥l2,所以k2=.同理有x3+x4==2+4,

则|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=+2+4+4=+4+8≥2+8=16,当且仅当=4,即k1=±1时,|AB|+|DE|取最小值16.故选A.

解法二(倾斜角式)　设l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为θ±,易知θ≠0且θ≠,由抛物线焦点弦长公式得|AB|=,则|DE|=,则|AB|+|DE|==4()=,当sin 2θ=1时,|AB|+|DE|取最小值16.故选A.

4.①由题意得=1,即p=2.

所以抛物线的准线方程为x=-1.

②设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2y-4=0,

故2tyB=-4,即yB=,所以B(,).

又xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t+yC=0,

得C((t)2,2(t)),G(,0).

所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).

因为Q在焦点F的右侧,所以t2>2.

从而=2.

令m=t2-2,则m>0,=2=2≥2=1+.

当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).

5.(1)由题意知,动点P在直线y=-2上方,即条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,于是曲线C的方程为x2=4y.

(2)由题意得,直线AB斜率一定存在,故设直线AB的方程为y=kx+1,

由消去y并整理,得x2-4kx-4=0.

设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=4k,xAxB=-4.

由x2=4y得y=x2,求导得y'=x,

所以直线AM的方程为yxA(x-xA)　①,

直线BM的方程为yxB(x-xB)　②,

由①-②得()=(xA-xB)x+(),

即x==2k.

将x=代入①得yxA·xAxB,

所以y=xAxB=-1.

则M(2k,-1),所以=(-2k,2),=(xB-xA,k(xB-xA)),

于是·=-2k(xB-xA)+2k(xB-xA)=0.

(3)易知点M到AB的距离d=|MF|=2.

因为|AB|=|AF|+|BF|=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k2+4,

所以△ABM的面积S=|AB|·d=·4(k2+1)·2=4(1+k2≥4,

当k=0时,△ABM面积取得最小值4.