2022高考数学一轮复习课时规范练15利用导数研究函数的单调性（含解析）

课时规范练15　利用导数研究函数的单调性

基础巩固组

1.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是(　　)

A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0

2.(2020山东青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是(　　)

A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)

C.(2,+∞) D.(-∞,2)

3.(2020山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)+1>3ex的解集为(　　)

A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0)

4.已知函数f(x)=,则(　　)

A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)

C.f(e)>f(2)>f(3) D.f(e)>f(3)>f(2)

5.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是(　　)

A.a∈-∞, B.a∈-,+∞

C.a∈- D.a∈,+∞

7.已知函数f(x)=aln x-2x,若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.(-∞,0] D.[0,2]

8.若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　　. 

9.(2020河北唐山一模,文21)已知a>0,函数f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)在R上仅有一个零点,求a的取值范围.

综合提升组

10.(2020湖南郴州二模,文12)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),满足f(x)=f(-x).且对任意x∈0,,有f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=f-,b=f-,c=2f,则(　　)

A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a

11.(2020山东泰安一中期中)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:

f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,关于f(x)的结论正确的是(　　)

A.函数f(x)是周期函数

B.函数f(x)在[0,2]上单调递增

C.函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4

D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点

12.(2020安徽皖东名校联盟联考)若函数f(x)=的值域是[e-1,+∞),其中e是自然对数的底数,则实数m的最小值是　　　　. 

13.(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mln x-x+(m∈R),讨论f(x)的单调性.

创新应用组

14.(2020山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数f(x)的定义域为-,其导函数为f'(x),当0<x<时,有f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<fcos x的解集为(　　)

A.　　　　　　B.-,-∪

C.-,0∪0, D.-,0∪

15.设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.

(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

参考答案

课时规范练15　利用导数研

究函数的单调性

1.B　函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充要条件是f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⫋(-∞,0].故选B.

2.D　令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.又因为不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选D.

3.C　令g(x)=,∵f(x)+1<f'(x),则g'(x)=>0,故g(x)在R上单调递增,且g(0)=3,由f(x)+1>3ex,可得>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选C.

4.D　f'(x)=(x>0),当x∈(0,e)时,f'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.故当x=e时,f(x)max=f(e).f(2)=,f(3)=,故f(e)>f(3)>f(2).故选D.

5.(1,2]　∵f(x)=x2-9lnx,∴f'(x)=x-(x>0),当x-≤0时,有0<x≤3,即f(x)在(0,3]上单调递减,则[a-1,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.

6.D　f'(x)=2ax-4a-.若f(x)在(1,3)上不具有单调性,令g(x)=2ax2-4ax-1,则当a=0时,显然不成立,a≠0时,只需解得a<-或a>.而,+∞⫋-∞,-∪,+∞,故选D.

7.A　f(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)>ax-2ex在(0,+∞)上恒成立,等价于f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为当x∈(0,+∞)时,1<x+1<ex恒成立,所以只需f(x)在(1,+∞)上单调递减,即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,即当x>1时,≤2恒成立,所以a≤2.故选A.

8.(-∞,-2-2ln 2)　因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0有解,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.函数g(x)=2x-4ex在(-∞,-ln2)上单调递增;在(-ln2,+∞)上单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.

9.解(1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由f'(x)=0,得x=a或x=.

当0<a<1时,>a.

所以当x<a或x>时,f'(x)>0,从而f(x)在(-∞,a),,+∞上单调递增;

当a<x<时,f'(x)<0,

从而f(x)在a,上单调递减.

当a=1时,=a=1.

所以f'(x)≥0,从而f(x)在R上单调递增.当a>1时,a>.

所以当x<或x>a时,f'(x)>0,

从而f(x)在-∞,,(a,+∞)上单调递增;

当<x<a时,f'(x)<0,

从而f(x)在,a上单调递减.

综上,当0<a<1时,f(x)在(-∞,a),,+∞上单调递增,在a,上单调递减;

当a=1时,f(x)在R上单调递增;

当a>1时,f(x)在-∞,,(a,+∞)上单调递增,在,a上单调递减.

(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f=1-.

当0<a<1时,f(a)<0,f<0,

所以f(x)仅在,+∞上有一个零点,因此0<a<1满足题设.

当a=1时,f(1)=0,

所以f(x)在R上仅有一个零点1,因此a=1满足题设.

当a>1时,f>0,所以要满足题设须有f(a)>0,

从而2-a2>0,解得1<a<,

因此1<a<满足题设.

综上满足题目条件的a的取值范围是(0,).

10.A　构造函数g(x)=,x∈0,,则g'(x)=>0,∴g(x)在0,上单调递增.

由f(x)=f(-x),得f(x)为偶函数,

∴a=f-=f==g,

b=f-=f==g,c=2f==g.

∵0<,且g(x)在0,上单调递增,∴g<g<g,即a<b<c.故选A.

11.C　由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象可以有以下两种代表形式,如图,

由图得,不能断定函数f(x)是周期函数,故A错误;在[0,2]上导函数值为负,故原函数单调递减,故B错误;

由动直线x=a与函数f(x)的图象交点个数可以为0,1,2,3,4,故函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,故C正确;对于第二个图,函数y=f(x)-a的零点个数可以为2或3,故D错误.

12.-1　当x≥e时,f'(x)=1->0,

所以f(x)=x-lnx在[e,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(e)=e-lne=e-1,值域是[e-1,+∞).

又当x<e时,f(x)=-+m单调递减,则f(x)>-+m,值域是-+m,+∞.

由题设f(x)的值域为[e-1,+∞),所以-+m,+∞⊆[e-1,+∞).

于是-+m≥e-1,解得m≥-1.故实数m的最小值为-1.

13.解由题意得x∈(0,+∞),f'(x)=-1-=-.

令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).

①当0≤m≤4时,Δ≤0,g(x)≥0恒成立,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②当m<0时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),

x1+x2=m<0,x1x2=m<0,则x1<0,x2>0.

所以当x∈0,时,g(x)<0,f'(x)>0,则f(x)在0,上单调递增;

当x∈,+∞时,g(x)>0,f'(x)<0,则f(x)在,+∞上单调递减.

③当m>4时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),

x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则x1>0,x2>0.

所以f(x)在0,,,+∞上单调递减;

在上单调递增.

综上所述,当0≤m≤4时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当m<0时,f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减;

当m>4时,f(x)在0,上单调递减,

在,,+∞上单调递减.

14.A　根据题意,设g(x)=,其导数为g'(x)=.因为当0<x<时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以当0<x<时,g'(x)<0,则函数g(x)在0,上单调递减.又因为f(x)为定义域为-的奇函数,则g(-x)==-=-g(x),则函数g(x)为奇函数,所以函数g(x)在-上为减函数.f(x)<fcosx,即f,即,即g(x)<g.所以<x<,即不等式的解集为.故选A.

15.解(1)当a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).

此时f'(x)=,于是f'(1)=,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=(x-1),

即x-2y-1=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.

①当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②当a<0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).

(ⅰ)当a≤-时,Δ≤0,所以g(x)≤0,于是f'(x)≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

(ⅱ)当-<a<0时,Δ>0,此时g(x)=0有两个不相等的实数根,分别是x1=,x2=,x1<x2.下面判断x1,x2是否在定义域(0,+∞)上.由韦达定理可得0<x1<x2.

当0<x<x1或x>x2时,有g(x)<0,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减;

当x1<x<x2时,有g(x)>0,f'(x)>0,所以函数f(x)在(x1,x2)上单调递增.

综上所述,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,函数f(x)在0,,,+∞上单调递减,在上单调递增.