广西专用高考数学一轮复习考点规范练15导数与函数的单调性含解析新人教A版理

考点规范练15　导数与函数的单调性

基础巩固

1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　)

A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增

B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减

C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增

D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增

答案:C

解析:由题图知,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,

所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.

2.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为(　　)

A.(0,1) B.(0,1)∪(-∞,-1)

C.(-∞,1) D.(-∞,+∞)

答案:A

解析:f(x)=x2-lnx的定义域为(0,+∞),

f'(x)=x-,令f'(x)<0,即x-<0,

解得0<x<1或x<-1,又x>0,所以0<x<1.故选A.

3.下列函数中,在区间(0,+∞)内为增函数的是(　　)

A.y=sin2x B.y=xex

C.y=x3-x D.y=-x+ln(1+x)

答案:B

解析:若y=xex,则y'=ex+xex=ex(1+x)在区间(0,+∞)内恒大于0.故y=xex在区间(0,+∞)内为增函数.

4.若f(x)=,e<a<b,则(　　)

A.f(a)<f(b) B.f(a)=f(b)

C.f(a)>f(b) D.f(a)f(b)>1

答案:C

解析:令f'(x)=<0,解得x>e.

∴f(x)在区间(e,+∞)内单调递减.

∵e<a<b,∴f(a)>f(b).

5.(2020四川德阳模拟)若函数f(x)=ex(sin x+a)在R上为增函数,则实数a的取值范围为(　　)

A.[,+∞) B.(1,+∞) C.[-1,+∞) D.(,+∞)

答案:A

解析:因为f(x)=ex(sinx+a),所以f'(x)=ex(sinx+a+cosx).

因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立.

即sinx+a+cosx≥0恒成立.

所以a≥-sinx-cosx恒成立.

因为-sinx-cosx=-sin,

所以--sinx-cosx,所以a

6.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是　　　　. 

答案:(0,2)

解析:由f'(x)=x2-4x+3,

f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x,

令f'(x+1)<0,解得0<x<2,

所以f(x+1)的单调递减区间是(0,2).

7.若函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案:(0,+∞)

解析:∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不等实根,∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).

8.已知函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式xf'(x)≤0的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:[0,1]∪[2,3)

解析:对于不等式xf'(x)≤0,当-<x<0时,f'(x)≥0,则结合题中图象知,原不等式的解集为;当x=0时,显然成立;当0<x<3时,f'(x)≤0,则结合题中图象知,原不等式的解集为(0,1]∪[2,3).综上,原不等式的解集为[0,1]∪[2,3).

9.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案:(1,2]

解析:∵f(x)=x2-9lnx,∴f'(x)=x-(x>0).令x-0,解得x≤-3或0<x≤3,又x>0,∴0<x≤3,即f(x)在区间(0,3]上单调递减.又f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,

∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.

10.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.

解:函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-

当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.

当k>0时,由f'(x)<0,即<0,解得0<x<;

由f'(x)>0,即>0,解得x>

∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为,

单调递增区间为

综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);

当k>0时,f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为

11.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.

解:(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,

∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.

又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),

∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.

(2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),

由f'(x)=0得x=-a或x=

又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<,

由f'(x)>0,得x<-a或x>,

故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为(-∞,-a)和

能力提升

12.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中为y=f(x)的大致图象的是(　　)

答案:C

解析:当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0,

∴当x<-1时,函数y=f(x)单调递增;

当-1<x<0时,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,

∴当-1<x<0时,函数y=f(x)单调递减;

当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,

∴当0<x<1时,函数y=f(x)单调递减;

当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,

∴当x>1时,函数y=f(x)单调递增.

结合各选项,知C项正确.

13.(2020浙江绍兴二模)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的单调递减区间为(　　)

A.(0,4) B.(-∞,1),

C D.(0,1),(4,+∞)

答案:D

解析:由题中图象可知,过点(0,0)及点的图象为函数f'(x)的图象,且g'(x)=,

令g'(x)<0,可得f'(x)<f(x),结合题中图象可知,0<x<1及x>4符合该不等式,

故所求单调递减区间为(0,1),(4,+∞).

14.(2020浙江金华模拟)已知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为　　　　　　　　　　　　. 

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:令g(x)=(x≠0),

则g'(x)=

因为xf'(x)-2f(x)>0,所以,当x>0时,g'(x)>0,

所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又f(x)是偶函数,故g(x)=(x≠0)也是偶函数,

而f(1)=1,故g(1)==f(1)=1,

因此,f(x)>x2>1,即g(x)>g(1),即g(|x|)>g(1),

所以,|x|>1,解得x>1或x<-1.

则不等式f(x)>x2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

15.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).

(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=-时,

f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1),

f'(x)=-x+=-(x>-1).

当f'(x)>0时,解得-1<x<1;

当f'(x)<0时,解得x>1.

故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).

(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,

所以f'(x)=2ax+0对任意x∈[1,+∞)恒成立,

即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=-,则g'(x)=

因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0,

所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,

故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-,故a≤-即实数a的取值范围为.

16.(2020广西南宁三中模拟)已知函数f(x)=kx-ln x.

(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求k的取值范围;

(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.

答案:(1)解∵f(x)=kx-lnx,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,

∴f'(x)=k-0在区间(1,+∞)内恒成立,

∴k在区间(1,+∞)内恒成立,∴k≥1.

(2)证明不妨设x1>x2>0,

∵f(x1)=f(x2)=0,∴kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,

可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),

要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是证k(x1+x2)>2,

∵k=,∴需证明,

即ln令=t,则t>1,于是lnt>

令g(t)=lnt-,t>1,则g'(t)=>0,

故函数g(t)在区间(1,+∞)内是增函数,

∴g(t)>g(1)=0,即lnt>成立.∴原不等式成立.

高考预测

17.设函数f(x)=

(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)内都单调递增;

(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.

答案:(1)证明f'(x)=(x>0,且x≠1).

令g(x)=2lnx-,则g'(x)=

当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(1)=0.

于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在区间(0,1)内单调递增.

当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,

于是f'(x)=g(x)>0,

故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.

(2)解af(x)-x=-x=

令h(x)=-lnx(x>0),

则h'(x)=

令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且方程φ(x)=0的判别式Δ=1-4a2≤0,即a时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在区间(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a时,在函数f(x)的定义域内,h'(x)>0,故h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增,

若0<x<1,h(x)<h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;

若x>1,h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,

所以当x>0,且x≠1时都有af(x)>x成立,

当0<a<时,由h'(x)<0,解得<x<,

所以h(x)在区间内单调递减,h(x)<h(1)=0.

故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递减,所以在区间(0,1)内h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

同理可得,当x>1时,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

综上所述,a的取值范围是a