2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10题，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2
3．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26分，方差分别为：S甲2＝2.5，S乙2＝15.7，S丙2＝9，S丁2＝11.2，则这四个小组体育测试成绩最稳定的是（　　）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．＝﹣13 B．3﹣2＝1
C．﹣3+＝﹣2 D．＝±6
5．（3分）用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）
A．a∥c B．b∥c C．a∥c，b∥c D．a与b相交
6．（3分）为了应对期末考试，老师布置了15道选择题作业，批阅后得到如图统计表，根据表中数据可知，由45名学生答对题数组成的样本的中位数是（　　）
答对题数（道）
12
13
14
15
人数
4
18
16

A．13 B．14 C．13.5 D．13或14
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
9．（3分）如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（　　）

A．32x+4x2＝40 B．32x+8x2＝40 C．64x﹣4x2＝40 D．64x﹣8x2＝40
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：其中说法正确的有（　　）
①ED⊥CA；
②EF＝EG；
③；
④S△EFD＝S△CED，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6题，共24分）
11．（3分）化简：
（1）＝　 　；
（2）＝　 　．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　 　．
13．（3分）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　 　；其中二次项系数是　 　．
14．（3分）某班共有50名学生，平均身高为168cm，其中30名男生的平均身高为170cm，则20名女生的平均身高为　 　cm．
15．（3分）如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC＝90°，若∠B＝30°，BC＝10，则四边形AECF的面积为　 　．

16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是　 　．

三.解答题（共7题，共66分）
17．（12分）计算：
（1）+×；
（2）（3﹣）（3+）．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）3x2＝8x．
19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．

20．（10分）为了了解高峰时段37路公交车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：8，10，10，13，13，13，14，15，16，20．
（1）请求出这10个班次乘该路人数的平均数、众数与中位数；
（2）如果37路公交车在高峰时段从总站共发出50个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？
21．（10分）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

22．（12分）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价5x元．
（1）分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求x的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
23．（12分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG；
（3）若BC＝2AB＝2，求BG的长．


2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
a﹣2≥0，
解得，a≥2．
故选：D．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26分，方差分别为：S甲2＝2.5，S乙2＝15.7，S丙2＝9，S丁2＝11.2，则这四个小组体育测试成绩最稳定的是（　　）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵S甲2＝2.5，S乙2＝15.7，S丙2＝9，S丁2＝11.2，
∴S甲2＜S丙2＜S丁2＜S乙2，
∴这四个小组体育测试成绩最稳定的是甲组，
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．＝﹣13 B．3﹣2＝1
C．﹣3+＝﹣2 D．＝±6
【分析】A、根据二次根式的性质计算即可判定；
B、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；
C、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；
D、根据算术平方根的定义即可判定．
【解答】解：A、＝13，故选项错误；
B、3﹣2＝，故选项错误；
C、﹣3+＝﹣2，故选项正确；
D、＝6，故选项错误．
故选：C．
5．（3分）用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）
A．a∥c B．b∥c C．a∥c，b∥c D．a与b相交
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：D．
6．（3分）为了应对期末考试，老师布置了15道选择题作业，批阅后得到如图统计表，根据表中数据可知，由45名学生答对题数组成的样本的中位数是（　　）
答对题数（道）
12
13
14
15
人数
4
18
16

A．13 B．14 C．13.5 D．13或14
【分析】根据题意可知，这组数据的中位数是第23名同学的成绩，再根据表格中的数据，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵45名学生答题，
∴这组数据的中位数是第23名同学的成绩，
∴这组数据的中位数是14，
故选：B．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠ABE＝60°，
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
【分析】根据根的判别式符号和一元二次方程的定义解答．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝8m﹣4＞0，
∴m＞，
∵m﹣1≠0，
∴m＞且m≠1，
故选：C．
9．（3分）如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（　　）

A．32x+4x2＝40 B．32x+8x2＝40 C．64x﹣4x2＝40 D．64x﹣8x2＝40
【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，
依题意，得：x（20+4x+12+4x）＝40，
即32x+8x2＝40．
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：其中说法正确的有（　　）
①ED⊥CA；
②EF＝EG；
③；
④S△EFD＝S△CED，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，证出得S△EFD＝S△CEG．得出S△EFD＝S△CED，即可得出结论．
【解答】解：连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴OD＝AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，
∴EG＝CD，
∴EF＝EG，故②正确；
∵EF∥CD，EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FH＝DH，
即，故③正确；
∵△OEF∽△OAB，
∴S△OEF＝S△AOB，
∵S△AOB＝S△AOD＝S▱ABCD，S△ACD＝S▱ABCD，
∴S△OEF＝S▱ABCD，
∵AE＝OE，
∴S△ODE＝S△AOD＝S▱ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，
∵＝，
∴CE＝AC，
∴S△CDE＝S△ACD＝S▱ABCD，
∵CG＝DG，
∴S△CEG＝S△CDE＝S▱ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，
∴S△EFD＝S△CED，故④正确；
故选：D．

二、填空题（共6题，共24分）
11．（3分）化简：
（1）＝　2　；
（2）＝　　．
【分析】（1）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
（2）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
【解答】解：（1）＝＝×＝2，
故答案为：2；
（2）＝＝＝＝，
故答案为：．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　6　．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（3分）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　6x2﹣5x﹣11＝0　；其中二次项系数是　6　．
【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．
【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，
二次项系数为：6．
故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．
14．（3分）某班共有50名学生，平均身高为168cm，其中30名男生的平均身高为170cm，则20名女生的平均身高为　165　cm．
【分析】设20名女生的平均身高为xcm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题．
【解答】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm；设20名女生的平均身高为xcm，
则有：＝168，
解可得x＝165（cm）．
故答案为165．
15．（3分）如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC＝90°，若∠B＝30°，BC＝10，则四边形AECF的面积为　　．

【分析】由条件可先证得四边形AECF为菱形，连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积＝AC•EF，即可得出结果．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC边的中点，
∴AE＝BC＝CE，
同理，AF＝AD＝CF，
∴AE＝CE＝AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形，
连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝10，
∴AC＝BC＝5，AB＝AC＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝，
∴EF＝5，
∴S菱形AECF＝AC•EF＝×5×5＝，
故答案为：．

16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是　14.5　．

【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【解答】解：过G点作GM⊥AF于点M，
由折叠知AG＝AD＝4，
∵∠GAF＝45°，
∴∠AGM＝45°，
∴AM＝GM＝＝4，
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，
∵GH＝5，5，
∴EF＝2x+5.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x+5.5，
∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，
由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，
即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，
解得，x＝3，或x＝﹣（舍），
∴AB＝3x+5.5＝14.5，

故答案为：14.5．
三.解答题（共7题，共66分）
17．（12分）计算：
（1）+×；
（2）（3﹣）（3+）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝+2×2
＝+4
＝5；
（2）原式＝（3）2﹣（）2
＝45﹣2
＝43．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）3x2＝8x．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝16+4＝20＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）3x2＝8x，
3x2﹣8x＝0，
x（3x﹣8）＝0，
x＝0或3x﹣8＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．

20．（10分）为了了解高峰时段37路公交车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：8，10，10，13，13，13，14，15，16，20．
（1）请求出这10个班次乘该路人数的平均数、众数与中位数；
（2）如果37路公交车在高峰时段从总站共发出50个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？
【分析】（1）根据加权平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）用总班次乘以样本中10个班次乘该路的平均人数即可．
【解答】解：（1）这10个班次乘该路人数的平均数为＝13.2（人），
众数为13人，中位数为＝13（人）；
（2）估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有50×13.2＝660（人）．
21．（10分）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；

（2）解：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2．
22．（12分）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价5x元．
（1）分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求x的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
【分析】（1）降价后平均每天的销售量＝24+降价的钱数÷5×4，每台的利润＝销售价﹣进价；
（2）根据每台的盈利×销售的件数＝1540元，即可列方程求解；
（3）根据每台的盈利×销售的件数＝2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
【解答】解：（1）降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4＝24+4x，
降价后销售的每台利润：60﹣5x；

（2）依题意，可列方程：
（60﹣5x）（24+4x）＝1540，
解方程得：x1＝1，x2＝5．
答：x的值为1或5．

（3）依题意，可列方程：
（60﹣5x）（24+4x）＝2000，
化简得x2﹣6x+28＝0，
△＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元．
23．（12分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG；
（3）若BC＝2AB＝2，求BG的长．

【分析】（1）根据旋转的性质得到CB＝CE，求得∠EBC＝∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BEA，于是得到结论；
（2）如图1，过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB＝BQ，求得CG＝BQ，根据全等三角形的性质得到BH＝GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（3）如图2，过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB＝CE，
∴∠EBC＝∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠BEA，
∴∠BEA＝∠BEC，
∴BE平分∠AEC；
（2）如图1，过点B作CE的垂线BQ，
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，
∴AB＝BQ，
∴CG＝BQ，
∵∠BQH＝∠GCH＝90°，BQ＝AB＝CG，∠BHQ＝∠GHC，
∴△BHQ≌△GHC（AAS），
∴BH＝GH，
即点H是BG中点，
又∵点P是BC中点，
∴PH∥CG；
（3）如图2，过点G作BC的垂线GM，
∵BC＝2AB＝2，
∴BQ＝1，
∴∠BCQ＝30°，
∵∠ECG＝90°，
∴∠GCM＝60°，
∴，，
∴．