安徽省合肥市2021届高三下学期最后一卷文科数学试题

这是一份安徽省合肥市2021届高三下学期最后一卷文科数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合则AB＝（ ）．
A. B. C. D.
2.复数在复平面内所对应的点位于（ ）．
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3已知则（ ）．
A. 2 B. －2 C. D. 3
4.函数的图象大致是（ ）．
A. B.
C. D.
5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）．
A.27 B.32 C. 64 D. 81
6.下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨跌幅的统计图，现有如下说法：
①2020年下半年生产资料出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势；
②可以预测，在市场平稳的前提下．2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数；
③将2020年1月－2021年1月生产资料出厂价格的同比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%，则错误的个数为（ ）．
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
7.设实数满足，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
8.已知正方体的体积为64，若点平面，点平面，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
10. 过抛物线焦点的直线与抛物线 两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于两点，且，则点的横坐标为（ ）．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11.关于函数 ，下列结论正确的是（ ）．
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
C. 在上单调递减 D. 是的一条对称轴
12. 若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.设平面向量则 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴．若点使得其中c为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为 ．
15.已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 ．
16.已知△的外接圆面积是，且，分别是边上的点．若，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列满足：，．
（ = 1 \* ROMAN I）求数列的通项公式；
（ = 2 \* ROMAN II）设，数列的前项和为，求证：
18.（本小题满分12分）
如图，三棱锥中，点在平面的投影为点， ，，点分别是线段的中点，点在线段上．
（ = 1 \* ROMAN I）若，求证：；
（ = 2 \* ROMAN II）若 ，求四面体的体积．
19.（本小题满分12分）
随着工作压力的増大，很多家长下班后要么加班，要么抱着手机，陪伴孩子的时间逐新减少，为了调査A地区家长陪伴孩子的时间，研究人员对200名家长一天陪伴孩子的时间进行统计，所得数据统计如图所示．
（ = 1 \* ROMAN I）求这200名家长陪伴孩子的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（ = 2 \* ROMAN II）若按照分层抽样的方法从陪伴时间在的家长中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求至少有1人陪伴孩子的时间在[60，80）的概率；
（ = 3 \* ROMAN III）为了研究陪伴时间的多少与家长的性别是否具有相关性，研究人员作出统计如下表所示，判断是否有99%的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关．
附：，．
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（ = 1 \* ROMAN I）若在上有极值，求的取值范围；
（ = 2 \* ROMAN II）求证：当时，过点只有一条直线与的图象相切．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的右顶点为，长轴长为，为椭圆上一点，为坐标原点，且重心的横坐标为，的面积为．
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）直线与椭圆交于两点，以为邻边作平行四边形，且试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程，
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（ = 1 \* ROMAN I）求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程；
（ = 2 \* ROMAN II）若直线与曲线交于两点，求△的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数的最大值为．
（ = 1 \* ROMAN I）求的值；
（ = 2 \* ROMAN II）设均为正实数，且满足，求证：．

文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，毎每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.C 由题意得，，故选C
2.D 由题意得，，则其在复平面内所对的点为，位于第四象限，故选D．
3.A
即
，故选A
4.D 易知是非奇非偶函数，所以排除选项A，C．当x＞0时，单调递増、所以排除选项B．故选D
5.B 设数列的公比为，显然，即
，故选B
6.C 由图（1）可知，2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升，故错误；
由图（2）中的环比折线可知，生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于－0.2%~－0.4%之间，由于2021年1月环比的涨幅为0.2%，故可预测在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数故②正确；将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的同比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为－2.7%，故③错误．故选C．
7.A 作出不等式组表示的可行域，是以为顶点的三角形．令，则故，故选A
8.B 由题意得，的最小值为平面到平面的距离，正方体的体积为64，易得，则 故选B．
9.D 令，则，解得，即．由得或，根据函数的图象得，的解集为，故选D
10.B 易知圆过原点，设，由，可得，又，联立可解得将代入中，解得，物线C的方程为，焦点 准线．过分别作，，可得即由梯形的中位线性质得点到准线的距离，则点的横坐标为3． 故选B
11.D
是的一个周期，故A错误；要使，即，即
，显然不成立，故B错误；当时，，在上先增后减，故C错误；，故D正确，故选D．
12.C 由题意得，上有两解，即上有两解，令，故；令，故
上单调递增，且，故当时，，当时，，，，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.－6
由题意得，
14.
由题意得，
点在双曲线上，且轴， 解得 （舍去），的离心率为 ．
15.
设，球的半径为，则，由球的表面积为，得 ，在中，，即解得，故圆锥的侧面积为．
16.
由题意得，外接圆半径为2， 由得，过的平行线交，在中，，；在中，的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
（ = 1 \* ROMAN I）
，即……．3分
……．4分
数列是首项为1、公差为1的等差数列，…．．6分
（ = 2 \* ROMAN II）由（ = 1 \* ROMAN I）知，…．．8分
…．．10分
在上单调递增，且，……．11分
……12分
18.（本小题满分12分）
（ = 1 \* ROMAN I）在中，由余弦定理得，
为等腰直角三角形，
……3分
，
……5分
又 ……6分
（ = 2 \* ROMAN II）如图，取的中点 ，连接

……8分



……．10分
，为线段靠近点的四等分点，
……………12分
19.（本小题满分12分）
（ = 1 \* ROMAN I）由题意得，这200名家长陪伴孩子的平均时间为
（分钟）……3分
（ = 2 \* ROMAN II）由题意得，分数在的抽取3人，记为1，2，3，分数在的抽取4人，记为，则任取2人，所有的情况为

共21种……．5分
其中满足条件的为，
共18种…．．7分
故所求概率…．8分
（ = 3 \* ROMAN III）由题意补充后的列表如下：
……10分

的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关．……12分
20.（本小题满分12分）
（ = 1 \* ROMAN I）由题意得，
由 ……2分
上有极值，
即的取值范围是……．．5分
（ = 2 \* ROMAN II）设过点的直线与的图象切于点，则切线斜率 即…．．7分
若过点只有一条直线与的图象相切，则关于的方程只有1个产根……8分
设，则
由得，
，上单调递增，在上单调递减…．．9分


，
且 上单调递增
上有唯一的实数根
即当时，过点只有一条直线与的图象相切…．．12分
21.（本小题满分12分）
（ = 1 \* ROMAN I）由题意得， 则……．．1分
设，则……2分

……5分
（ = 2 \* ROMAN II）
由余弦定理得，

两式相加得，……7分
……．8分

……．9分
……．11分
是定值，定值为24……．．12分
请考生从第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的
第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
（ = 1 \* ROMAN I）曲线的极坐标方程为
将代入，得
曲线的直角坐标方程为…3分
由题意得，直线的普通方程为……．5分
（ = 2 \* ROMAN II）解法一：直线的方程为，直线分成两条射线，
其极坐标方程分別为……6分
联立
分别解得……8分
的距离为
……．． 10分
解法二：联立，整理得…6分
设
……8分
又点到直线的距离d＝1，
……10分
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（ = 1 \* ROMAN I）由题意得，……3分
上单调递增，在上单调递减
……5分
（ = 2 \* ROMAN II）由（1）得，……6分
由柯西不等式得，（当且仅当时取等号）
……10分 男性
女性
陪伴时间少于60分钟
50
30
陪伴时间不少于60分钟
50
70
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
D
B
C
A
B
D
B
D
C
男性
女性
合计
陪伴时间少于60分钟
50
30
80
陪伴时间不少于60分钟
50
70
120
合计
100
100
200