专题2.2 与三角形相关的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解．

二．解题策略

类型一  结合基本不等式求解问题

【例1】【湘赣十四校（湖南省长郡中学、江西省南昌市第二中学等)2019届高三下学期第一次联考】在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

又       

又，当且仅当时取等号

设，即当时，恒成立

设

则可知   

可得：

本题正确选项：

【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosA的范围，通过构造函数，应用二次函数的图象和性质，求出的范围．

【举一反三】

1、【江西省上饶中学2019届高三上学期期中】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

由正弦定理得，化简得. ，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.

2、【安徽省六安市第一中学2019届高三高考模拟考试（三)】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

∵在△ABC中，

∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，

∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，

约掉sinA可得cosB＝，即B＝，

由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，

∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤

故选：A．

 3、【山西省2019届高三考前适应】 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（   ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【解析】

因为的面积为

所以

整理得，即

，

因为 ，所以

又因为周长为6，所以 ，即

所以 ，

所以的最小值是2

故选A

类型二  利用消元法求解问题

【例2】【安徽省A10联盟2019届高三11月段考】在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（    ）

A．2    B．4    C．    D．

【答案】C

【解析】

由题意得，，

∴，又，

∴，

∴

，

则的最大值为，故选C

【指点迷津】利用余弦定理，结合三角形面积可化为 ，从而可得结果.一般地，利用正弦定理、余弦定理实施边角转化，利用辅助角公式实现“消元”，求得范围．

【举一反三】

1、【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（二)】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

即

又，即       

本题正确选项：

2、圆上任意一点，过点作两直线分别交圆于， 两点，且，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】在中，由正弦定理得： ,设

又，所以，

.

..

答案为： .

3.【云南省2019届高三第一次统一检测】在中，内角，，对的边分别为，，，，平分交于点，，则的面积的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设，则，，

，平分交于点，，

在三角形中，，

由正弦定理可得，

，

在三角形中，，

由正弦定理可得，

，

面积，

，

，

，

，

当时，即时，面积最小，最小值为，

故选：

类型三   与三角形的周长有关的最值问题

【例3】【安徽省芜湖市2019届高三上期末】锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（   ）

A．    B．    C．3    D．4

【答案】C

【解析】

依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.

【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.

【举一反三】

1、【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知的内角，，的对边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，，，,

因此.即,因为,所以,选B.

 2、在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，三角形的周长为（   ）

A.     B.     C. 3    D.

【答案】A

【解析】在△ABC中，由正弦定理得： ∵

∴A为钝角．∴，

由，

可得，

tanB=﹣==≤=，

当且仅当tanC=时取等号．∴B取得最大值时，

∴．

∴a=2×=．∴a+b+c=2+．故答案为：2+．

类型四  与三角形面积有关的最值问题

【例4】在中， 分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为__________．

【答案】

【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到.对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件.

【举一反三】

1、【陕西省汉中市2019届高三上学期第一次检测】在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（   ）

A．    B．    C．2    D．

【答案】D

【解析】

因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，

三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.

2.已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.

【答案】

【解析】

因为，所以，在△ABD中，由余弦定理可得，，作CE⊥BD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为.

故答案为：

3、【河南省焦作市2019届高三三模】如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．

【答案】

【解析】

在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得 ，在中， ,则,由正弦定理 ，得 ，在中，

因为，所以，即 ，所以 ，所以

故答案为：

类型五  与三角形解的个数有关的最值问题

【例5】在中，角的对边分别为， ，若符合条件的三角形有两解，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】 因为，所以，

 又，则，则，

 由，所以.

【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.

【举一反三】

1、【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：在中，由正弦定理得：，即，

可得：，

由题意得：当时，满足条件的有两个，

所以，解得：，

则a的取值范围是．

故选：B．

2、在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为________.

【答案】或

【解析】由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个．

类型六  转化成三角函数最值问题

【例6】【湖南省湘潭市2019届高三下学期二模】分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.

由余弦定理，得，整理得，

即，所以，

由正弦定理，得，即，

所以，所以，

所以或（舍），故，

结合锐角，，则，，所以，

由，又因为，所以，

即的取值范围是，故选D.

【指点迷津】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值..

【举一反三】

1. 在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由正弦定理得： ， 为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，

，则的取值范围是，故选A.

2.【江苏省南京市、盐城市2019届高三二模】在中，若，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

在△ABC中，有,

所以=

=,当即时取等.

故答案为：

三．强化训练

1．【陕西省彬州市高2019届高三上学期第一次监测】在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（   ）

A．或    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

∵，

∴cosA，

由0＜A＜π，可得A，

∵，∴sinBsinC=

∴，即

解得tan2C=，又

∴2C=或，即C=或

故选：A

2.【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考】中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是 （     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

由题意可知，由正弦定理得，

又由在中，，即，即，

因为，所以，

在中，由余弦定理可知，且，

即，当且仅当时，等号成立，

即，所以的最大面积为，故选A.

3．曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

设直线l与曲线的切点坐标为（），

函数的导数为．

则直线l方程为，即，

可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，

在△OAB中，，

当且仅当2＝2时取等号．

由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，

则△OAB外接圆面积，

故选：C．

4．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

∵锐角外接圆的半径为2，，

∴即，

∴，又为锐角，

∴，

由正弦定理得，

∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝

∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2，

∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．

故选：B．

5．【中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月】在中，、、的对边分别是、、.若，，则的最大值为（  ）

A．3    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

因为，，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.

所以.

6．【安徽省巢湖市2019届高三三月份联考】已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：

因为：，所以，

在三角形ADC中，，

在三角形BDC中，，

，，

．设 结合二次函数的性质得到：．

故选：D．

7．【2019年高考模拟试卷（一)】的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，得 ，所以，

所以 当且仅当 取等号，且为三角形内角  ，所以.

故选：D

8．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】若的面积为，且为钝角，则的度数以及的取值范围为　　

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】

解：由余弦定理可得，，

，

，

，

，

由正弦定理可得，

，

，

故选：C．

9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

在中，由正弦定理得

，，解得

为锐角三角形，则

由余弦定理得,

，，当且仅当时，等号成立

故选B项.

二、填空题

10. 【江西省红色七校2019届高三第二次联考】在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为__________________.

【答案】

【解析】

由余弦定理得,整理得即a+b≤4当且仅当a=b=2取等，又a+b>c=2,所以a+b+c

故答案为

11．【四川省巴中市2019届高三零诊】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，则A的取值范围为______

【答案】（0， ]

【解析】

由 得 ，化简得，

，

，且余弦函数在上是递减函数，

，

故答案为（0， ]．

12．【四川省成都石室中学2019届高三二模】四边形中，，，，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10﹣6cosα．

由正弦定理得，即sinβ＝,

∵,，∴CD=

在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β），

即DB2＝9++2×3××

＝-2cosα+2sinα ＝+4sin（）

∴当α＝时，对角线BD最大，最大值为，

则的最大值为,

故答案为：

13．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】在中，角，，所对的边分别是，，，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为____

【答案】

【解析】

由题可知：

故    ，即

又，则

又，则

所以的周长的取值范围为

本题正确结果：

14．【2019年安徽省马鞍山市高考一模】在中，角、、所对的边分别边、、，若，，则的取值范围是__．

【答案】

【解析】

，，

，

，，又，

，

因此

， ，

，

故答案为．

15．【福建省2019届高三适应性练习（四)】设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

由，得，由 ，

，故 ，

所以，所以 ．

16．【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模)】的内角，，的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为______．

【答案】8

【解析】

由余弦定理得（亦可作高求之）：，由正弦定理得：

.

法一：几何法.如图，由面积定值，可知边上的高为定值，不妨作的平行线，再作关于的对称点，.周长的最小值为8.

法二：代数法.如图建系， ，∵，为偶函数，不妨考虑.求导易得，.