专题2.1 与三角函数相关的最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．

二．解题策略

类型一  与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题

【例1】【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（   ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【解析】

由题得函数，其中．

最小正周期为，即

．

那么．

一条对称轴是

，

可得：

则．

即．

．

的最大值为．

故选：．

【指点迷津】

1.具有奇偶性时，（）或（）.

2. 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．

【举一反三】

1、将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数：

，又其为奇函数，

∴， ， ， ，又

当时， 的最小值为学科&网

故选：B

2、若函数关于直线（）对称，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意得， ，即， ， 时， 的最大值为 .

3、【山东省2019届高三第一次大联考】已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.

【答案】

【解析】

依题意，，

当时，，，所以，

所以或，

因为，所以，

函数的零点可由求得，有四个零点，

函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件. 

 当时，，，所以，

所以或，

因为，所以，

函数的零点可由求得，有三个零点，

函数的零点可由求得，有三个零点，

综上，的最大值是.

类型二  与三角函数的单调性相关的最值问题

【例2】已知, 在上单调递减，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键．

【举一反三】

1、【山西省吕梁市2019.4统一模拟】若在上单调递增，则的取值范围是（　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：∴f（x）＝sinx+cosx+ax＝2sin（x+）+ax，在（0，π）上单调递增，

∴在（0，π）上，f′（x）＝a+2cos（x+）＞0，即a＞2cos（x+）恒成立．

在（0，π）上，x+∈（，）上，2cos（x+）的最大值趋于，

则a≥，

故选：B．

2、将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

3. 已知函数，)，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间上不是单调函数，则的最小值为______________.

【答案】

【解析】试题分析：根据条件对于恒成立可得到函数在处取得最大值，的一个零点为，可列出 解得w的范围即可.

详解：

根据条件对于恒成立得到，函数在处取得最大值，又因为的一个零点为，故根据图象可得到在区间上不是单调函数，则 结合，得到

故答案为：9.

类型三   转化为型的最值问题

【例3】【山东省淄博实验中学2019届高三4月模拟】若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意得，将函数 的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，

因为平移后的图象关于点对称，

所以，故，

又，所以．

所以，

由得，

所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．

故选C．

【指点迷津】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．

【举一反三】

1、【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，则（   ）

A．的最小正周期为,最小值为

B．的最小正周期为,最小值为

C．的最小正周期为,最小值为

D．的最小正周期为,最小值为

【答案】A

【解析】

则的最小正周期为，最小值为

本题正确选项：

 2、函数在内的值域为,则的取值范围是

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】如图所示， ，解得，故选B.

3.【河北省衡水市2019届高三下学期第三次检测】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵ ，

函数的图象向右平移个单位可得 ，所得图象关于y轴对称，

根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即，解得=，，

所以，，且，令 时，的最小值为 .

故选：D．

类型四  转化为二次函数型的最值问题

【例4】函数，当对恒成立时， 的最大值为，则__________．

【答案】-7

【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.

【举一反三】

1、函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．

【答案】

令， ，设

当即时，

∴（舍）

当即时，

∴

当即时， ，即

∴

∴

综上所述，

故答案为

2、求函数的值域.

【解析】

[令sinx+cosx=t,则,其中

所以 ,故值域为.

类型五  转化为三角函数函数型的最值问题

【例5】【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

由题设,其中.可以由题得

≤5，此时.

故选：C

【指点迷津】本题关键由题设,其中，先利用两点间的距离公式将转化成三角函数问题，利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图象和性质求最值得解.

【举一反三】

1．【北京市石景山区2019届高三3月一模】在直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是单位圆x2+y2=1上两点，|AB|=1，则∠AOB=______；|y1+2|+|y2+2|的最大值为______．

【答案】       

【解析】

由|AB|=1，单位圆的半径为1，则△AOB为等边三角形，故∠AOB=；

根据题意可设A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），

则|y1+2|+|y2+2|=4+sinα+sin（α+）= ，

故|y1+2|+|y2+2|的最大值为．

故答案为：．；.

2．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为 （    ）

A．[4，12] B．[4, ） C．[0，6] D．[4，6]

【答案】A

【解析】

解：可转化为

，

故可设（为参数），解得

所以，

因为，

所以，，故选A.

三．强化训练

一、选择题

1、【辽宁省抚顺市2019届高三一模】已知函数，若在区间上恒成立，则实数的最大值是(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

函数，

由于：，故：，．

当时，函数的最小值为．

由于在区间上恒成立，

故：，所以的最大值为故本题选A．

2．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查】已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到的解析式为，考虑该函数在轴左侧且最靠近轴的对称轴，

该对称轴为，故只需把的图象向右平移个单位，所得的函数的图象关于轴对称，此时平移为最小平移.

3．【广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一)】函数最大值是　　

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

，

．

的最大值为．

故选：C．

4．【山西省2019届高三考前适应】已知函数，将其图象向左平移（＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数 ，

将其图象向左平移个单位长度后得到的图象，

因为得到的函数是偶函数，

所以，

又因为＞0，所以

故选B

5．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知函数 与轴交于点，距离轴最近的最大值点，若，且，恒有，则实数的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意得，，，，

，

由五点作图法知，解得，

，

令 ，.

解得 ，.

，

，

故选:C.

6．【湖南省郴州市2019届高三第二次监测】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数

则函数的最大值为2，

存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即

故答案为：B.

7．【山东省烟台市2019届高三高考一模】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象；

∵所得图象关于轴对称，∴，．

∵，即，.

∴，,

则当取最小值时，取，可得，

∴函数的解析式为.

故选：C．

8．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将函数的图象向右平移（＞0）个单位，

可得y＝2sin[2（x﹣φ）]＝2sin（2x2）的图象；

再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

所得图象对应的函数为 y＝2sin（x2）．

再根据所得图象关于直线x对称，可得 2＝kπ，k∈z，

即，故的最小正值为 ，

故选：C．

9．【天津市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，若，且在区间上有最小值，无最大值，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数，

由，在区间上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，

可得在处取得最小值可得，

化简可得：,

∵,

当时，．

当时，，考查此时在区间内已存在最大值．

故选：B．

10．【广东省佛山市第一中学2019届高三上期中】若函数f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

设，则.

由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，

.故选B.

11．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为 （    ）

A．[4，12] B．[4, ） C．[0，6] D．[4，6]

【答案】A

【解析】

解：可转化为

，

故可设（为参数），解得

所以，

因为，

所以，，故选A.

二、填空题

12．【河南省郑州第一中学2019届高三第二次联合】将的图象向右平移个单位后（），得到的图象，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

将图象向右平移个单位后，得到图象

因为，

所以，

则，

则 ，又因为，

所以当k=1时，取得最小值 .

故答案为：.

13．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考】若函数在间上是单调函数，则实数a的最大值是______．

【答案】

【解析】

令，即，

∴函数图象在区间上单调递减，所以的最大值为

故答案为：

14．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，若在处取得最大值，则___．

【答案】

【解析】

由图象得的最大值为，最小正周期为8，且过点，所以，又，所以，将点代入，得，因为，所以，所以.由题意可得，所以，其中 ，当，即时取得最大值，所以，所以 ，故答案为．

15．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______．

【答案】

【解析】

由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.

16．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的最小值为，若点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，函数________．

【答案】

【解析】

由题意，．

因为的周期，且在区间上单调，

则由及，可得①；

又因为点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，所以，即（）②．

由①②得是小于或等于11的正奇数，

所以的最大值为11．

当时，将代入，解得，

又，取可得，

故实数取最大值时．