专题2.15 超越方程反解难，巧妙构造变简单-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

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【题型综述】导数研究超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解． 【典例指引】例1．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．  [来源:学科网]例2．设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．   例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围． 【新题展示】1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值； （Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围． 3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，. 【同步训练】1．已知函数（），且的导数为．（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： ．  3．已知函数（），．（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．①求实数的值；②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有成立．[来源:Z,xx,k.Com] 4．已知函数．[来源:Z_xx_k.Com]（1）设，①记的导函数为，求；②若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围．[来源:学科网]   5．已知函数．（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；[来源:学,科,网Z,X,X,K]（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．[来源:Zxxk.Com]  6．已知函数，且直线是函数的一条切线．（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: ．  [来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学§科§网Z§X§X§K]7．已知函数（为自然对数的底数，），，．[来源:学科网ZXXK]（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．  8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．