2021高考数学二轮专题复习专题二第8讲 三角函数中的范围、最值问题

这是一份2021高考数学二轮专题复习专题二第8讲 三角函数中的范围、最值问题，共5页。

例1 (1)若函数y＝sin2x＋acs x＋eq \f(5,8)a－eq \f(3,2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值是1，则实数a的值为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 y＝1－cs2x＋acs x＋eq \f(5,8)a－eq \f(3,2)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(a,2)))2＋eq \f(a2,4)＋eq \f(5,8)a－eq \f(1,2).
∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴0≤cs x≤1.
①若eq \f(a,2)>1，即a>2，则当cs x＝1时，
ymax＝a＋eq \f(5,8)a－eq \f(3,2)＝1⇒a＝eq \f(20,13)<2(舍去)；
②若0≤eq \f(a,2)≤1，即0≤a≤2，
则当cs x＝eq \f(a,2)时，ymax＝eq \f(a2,4)＋eq \f(5,8)a－eq \f(1,2)＝1，
∴a＝eq \f(3,2)或a＝－4<0(舍去)；
③若eq \f(a,2)<0，即a<0，则当cs x＝0时，
ymax＝eq \f(5,8)a－eq \f(1,2)＝1⇒a＝eq \f(12,5)>0(舍去)．
综上可得，a＝eq \f(3,2).
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acs C＋b＝0，则tan B的最大值是________．
答案 eq \f(3,4)
解析 在△ABC中，因为3acs C＋b＝0，
所以C为钝角，
由正弦定理得3sin Acs C＋sin(A＋C)＝0，
3sin Acs C＋sin Acs C＋cs Asin C＝0，
所以4sin Acs C＝－cs A·sin C，
即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，
所以tan B＝－tan(A＋C)＝－eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)
＝eq \f(tan A＋tan C,tan Atan C－1)＝eq \f(－3tan A,－4tan2A－1)＝eq \f(3,4tan A＋\f(1,tan A))
≤eq \f(3,2\r(4))＝eq \f(3,4)，
当且仅当tan A＝eq \f(1,2)时取等号，故tan B的最大值是eq \f(3,4).
例2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cs x的图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，＋∞))
答案 A
解析 f(x)＝cs x向右平移eq \f(2π,3)个单位长度，得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))的图象，再将各点横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)得g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(2π,3)))，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，ωx－eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(ωπ,2)－\f(2π,3)))，
又此时g(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
∴0≤eq \f(ωπ,2)－eq \f(2π,3)≤eq \f(2π,3)，∴eq \f(4,3)≤ω≤eq \f(8,3).
(2)若将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案 eq \f(3π,8)
解析 方法一 将f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2φ＋\f(π,4)))的图象，该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此eq \f(π,4)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以φ＝－eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小正值为eq \f(3π,8).
方法二 将f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2φ＋\f(π,4)))的图象，令2x－2φ＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)＋φ(k∈Z)，此即为g(x)的对称轴方程，
又g(x)的图象关于y轴对称，所以有eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)＋φ＝0，k∈Z，于是φ＝－eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，故当k＝－1时，φ取最小正值eq \f(3π,8).
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 A
解析 函数f(x)的周期T≤4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝π，则eq \f(2π,ω)≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
2．若函数f(x)＝2sin x＋cs x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(\r(21),5)
答案 A
解析 f(x)＝eq \r(5)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(1,2)，且φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,2)－φ＋2kπ≤x≤eq \f(π,2)－φ＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－φ，\f(π,2)－φ))，所以αmax＝eq \f(π,2)－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ))＝sin 2φ＝eq \f(2sin φcs φ,sin2φ＋cs2φ)＝eq \f(2tan φ,tan2φ＋1)＝eq \f(4,5).
3．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))中x在任意的eq \f(1,5)个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．
答案 [10π，＋∞)
解析 由题意得T＝eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,5)，∴ω≥10π，
∵ω>0，∴ω≥10π.
4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上恰有两个零点，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,24)))上单调递增，则ω的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(10,3)))
解析 令ωx＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，
得x＝eq \f(3kπ－π,3ω)，k∈Z，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为eq \f(5π,3ω)，eq \f(8π,3ω)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5π,3ω)≤\f(2π,3)，,\f(8π,3ω)>\f(2π,3)，))解得eq \f(5,2)≤ω<4，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴－eq \f(5π,6ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,6ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z，
令k＝0，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))上单调递增，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,24)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6ω)≤－\f(π,4)，,\f(π,6ω)≥\f(π,24)，,ω>0))⇒0<ω≤eq \f(10,3)，
综上得ω的取值范围是eq \f(5,2)≤ω≤eq \f(10,3).