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2021年甘肃省北师大版九年级数学中考二轮复习：平面坐标系中三角形面积（含答案）
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这是一份2021年甘肃省北师大版九年级数学中考二轮复习：平面坐标系中三角形面积（含答案），共23页。试卷主要包含了，且与y轴分别交于点B，C，，连接OA、OB，两点，连接OA，OB等内容，欢迎下载使用。
平面坐标系中三角形面积
1．（2020•邵阳县一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 ．
2．（2019春•铜山区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM＝2，则k的值是 ．
3．（2018春•白云区校级期中）如图，已知A（2，0），过点A的两条直线l1，l2分别交y轴于点B、C，AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．若D（4，1），请说明A、C、D三点是否共线．
4．（2018春•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（﹣5，0），C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE．
（1）求△ABC的面积；
（2）求的值及△ACE的面积．
5．（2019春•西华县期末）一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过点A（﹣3，2），且与y轴分别交于点B，C．
（1）求这两个一次函数的解析式；
（2）求S△ABC．
6．（2018•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
7．如图，直线y1＝3x﹣5与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
8．（2019秋•临颍县期末）如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，其中A（2，m），B（n，n﹣2），连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
9．（2020秋•莲湖区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
10．（2020•巴中模拟）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于A（1，4），B（4，n）两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值．
（2）根据图象直接写出﹣（﹣x+b）＞0的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2018•宁夏）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
12．（2018•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
13．（2019•滨海县二模）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
14．（2019春•江阴市期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△AOB，求点P的坐标．
15．（2020•磴口县校级二模）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数y＝的值自变量x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
16．（2019秋•嵊州市期中）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
平面坐标系中三角形面积
参考答案与试题解析
（2020•邵阳县一模）1．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
【解答】解：∵点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，
∴A、C两点到x轴的距离相等，
∴S△OBA＝S△OBC，
∵S△OBA＝|k|＝×2＝1，
∴S△OBC＝1，
∴S△ABC＝S△OBA+S△OBC＝2．
故答案为2．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
2．（2019春•铜山区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM＝2，则k的值是 2 ．
【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，
∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，
∴△AMO和△BMO的面积相等，且为1，
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为2，
又因为点A在第一象限内，
所以可知反比例函数的系数k为2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，利用了反比例函数的图象在一、三象限和S△＝|xy|而确定出k的值．
3．（2018春•白云区校级期中）如图，已知A（2，0），过点A的两条直线l1，l2分别交y轴于点B、C，AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．若D（4，1），请说明A、C、D三点是否共线．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式，把D（4，1）代入直线l2的解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），
∴AO＝2，
在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，
即22+OB2＝（）2，
∴OB＝3，
∴B（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴4＝BC×OA，即4＝BC×2，
∴BC＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∴C（0，﹣1），
设l2的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
直线L2所对应的函数关系式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝4﹣1＝1，
∴点D（4，1）在直线l2上，
∴A、C、D三点共线．
【点评】本题主要考查了两条直线的交点问题和坐标与图形的性质、三角形的面积，属于基础题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．
4．（2018春•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（﹣5，0），C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE．
（1）求△ABC的面积；
（2）求的值及△ACE的面积．
【分析】（1）求出BC长和AO长，根据三角形面积公式求出即可；
（2）证△AOC≌△BOE，推出OE＝OC＝2，求出AE＝3，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：AO＝OB＝5，OC＝2，∠AOB＝∠AOC＝90°，
BC＝5+2＝7，
∴△ABC的面积是BC×AO＝×5＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠DBC＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠CAO＝∠CBD，
在△AOC和△BOE中
∴△AOC≌△BOE，
∴OE＝OC＝2，
∴AE＝5﹣2＝3，
∴＝，
∴△ACE的面积是AE×OC＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
5．（2019春•西华县期末）一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过点A（﹣3，2），且与y轴分别交于点B，C．
（1）求这两个一次函数的解析式；
（2）求S△ABC．
【分析】（1）根据两直线相交的问题，把A点坐标分别代入y＝2x+a与y＝﹣x+b，然后求出a和b即可得到两直线解析式；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入y＝2x+a得2×（﹣3）+a＝2，解得a＝8；
把A（﹣3，2）代入y＝﹣x+b得3+b＝2，解得b＝﹣1，
所以两个一次函数解析式为y＝2x+8，y＝﹣x﹣1；
（2）当x＝0时，y＝2x+8＝8，则B（0，8）；当x＝0时，y＝﹣x﹣1＝﹣1，则C（0，﹣1），
所以S△ABC＝×3×（8+1）＝．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
6．（2018•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），
∴，得，
∴此抛物线的表达式是y＝x2+4x﹣5；
（2）∵抛物线y＝x2+4x﹣5交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，﹣5），
∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，
当y＝﹣5时，﹣5＝x2+4x﹣5，得x＝0或x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），
∴AD＝4，
∴△EAD的面积是：＝20；
（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
，得，
即直线AB的函数解析式为y＝﹣x﹣5，
当x＝p时，y＝﹣p﹣5，
∵OB＝5，
∴△ABP的面积是：S＝＝，
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p＜0，
∴当p＝﹣时，S取得最大值，此时S＝，点p的坐标是（，﹣），
即点p的坐标是（，﹣）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是．
【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
7．（2019秋•临颍县期末）如图，直线y1＝3x﹣5与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据直线和双曲线的交点坐标即可求解；
（2）根据直线与x轴和y轴的交点即可求解；
（3）观察两个图象及其交点坐标，根据直线在双曲线的上方即可得结论．
【解答】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线 y＝3x﹣5上，
∴﹣6＝3n﹣5，解得n＝﹣，∴B（﹣，﹣6），
∵反比例函数的图象也经过点B，
∴，解k＝3；
答：k和n的值为3、﹣．
（2）设直线y＝3x﹣5分别与 x轴、y轴相交于点C、点D，
当 y＝0时，即，∴，
当x＝0时，y＝3×0﹣5＝﹣5，∴OD＝5，
∵点A（2，m）在直线y＝3x﹣5上，∴m＝3×2﹣5＝1．即A（2，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△BOD＝．
答：△AOB的面积为．
（3）根据图象可知：
或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是综合运用两个函数的知识．
8．（2019春•武昌区校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，其中A（2，m），B（n，n﹣2），连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B坐标代入一次函数解析式求出n的值，确定出B坐标，过A作AD垂直于OC，过B作BE垂直于OC，三角形AOB的面积＝三角形AOD的面积+四边形BEDA的面积﹣三角形OBE的面积，求出即可．
【解答】解：（1）将A（2，m）代入一次函数y＝﹣x+6中，得：m＝﹣2+6＝4，
∴A（2，4）代入反比例解析式得：4＝，即k＝8，
则反比例解析式为y＝；
（2）将B（n，n﹣2）代入一次函数解析式得：n﹣2＝﹣n+6，即n＝4，
∴B（4，2），
过AD⊥OC，BE⊥OC，
则S△AOB＝S△AOD+S四边形BEDA﹣S△BOE＝×2×4+×2×（2+4）﹣×4×2＝6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9．（2020秋•莲湖区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）依据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，即可得到m＝1，n＝2，把A（1，8），B（4，2），代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）依据D（5，0），可得OD＝5，再根据△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积，进行计算即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，
∴8m＝8，4n＝8，
解得m＝1，n＝2，
∴A（1，8），B（4，2），
代入一次函数y＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）如图，在y＝﹣2x+10中，令y＝0，则x＝5，即D（5，0），
∴OD＝5，
∴△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积
＝×5×8﹣×5×2
＝15．
【点评】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
10．（2020•巴中模拟）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于A（1，4），B（4，n）两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值．
（2）根据图象直接写出﹣（﹣x+b）＞0的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A点坐标分别代入y＝﹣x+b和中可求出k、b的值；
（2）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）直线AB与x轴的交点为D，则D（5，0），利用三角形面积公式先计算出S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝，则S△PAC＝3，由于OA＝OC，所以S△OPA＝S△OCP＝，设P（0，t），根据三角形面积公式得到×|t|×1＝，然后求出t得到P点坐标．
【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y＝﹣x+b和得4＝﹣1+b，，
解得b＝5，k＝4；
（2）﹣（﹣x+b）＞0的解集为x＞4或0＜x＜1；
（3）存在．
直线AB与x轴的交点为D，
由（1）知，b＝5，k＝4，
∴直线y＝﹣x+b的表达式为y＝﹣x+5，
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则D（5，0），
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝×5×4﹣×5×1＝，
∴S△PAC＝S△AOB＝×＝3，
∵点C与点A关于原点对称，
∴OA＝OC，
∴S△OPA＝S△OCP＝S△PAC＝，
设P（0，t），
∴×|t|×1＝，解得t＝3或t＝﹣3，
∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
11．（2018•宁夏）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2
过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．
12．（2018•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
【分析】（1）由对称轴直线x＝2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：x＝﹣＝﹣＝﹣2，c＝2，
解得：b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，BC＝6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x＝1代入抛物线解析式得：y＝7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y＝kx+2，
把B坐标代入得：k＝﹣1，即y＝﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴＝，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB＝2：3或AQ：QB＝3：2，即AQ：AB＝2：5或AQ：AB＝3：5，
∵BM＝5，
∴QH＝2或QH＝3，
当QH＝2时，把x＝﹣2代入直线AB解析式得：y＝4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y＝x+6，令y＝0，得到x＝﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH＝3时，把x＝﹣3代入直线AB解析式得：y＝5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
13．（2019•滨海县二模）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB＝S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，a＝x+4＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
将点A（﹣1，3）代入y＝中，
3＝，解得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（2）当y＝b+4＝1时，b＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y＝mx+n中，
，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝2x+5．
当y＝2x+5＝0时，x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
（3）S△PAB＝S△ABD﹣S△BDP＝×2×2﹣×2×＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、轴对称中的最短路线问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数表达式；（2）利用对称找出PA+PB的值最小时点P的位置；（3）利用分割图形求面积法求出△PAB的面积．
14．（2019春•江阴市期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y＝（k为常数且k≠0）求得k，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，求得B（﹣3，1），由直线y＝x+4求得C（﹣4，0），设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，解得：b＝﹣3，
∴B（﹣3，1），
当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4，
∴点C（﹣4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×3﹣×4×1＝6﹣2＝4，S△ACP＝S△AOB，
∴×3×|x﹣（﹣4）|＝×4＝3，解得x1＝﹣6，x2＝﹣2，
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过函数图象上点的坐标特征求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
15．（2020•磴口县校级二模）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数y＝的值自变量x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【分析】（1）由点A在一次函数图象上即可求出a值，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线AB与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据点B的坐标即可得出点B′的坐标，由点A、B′的坐标利用待定系数法即可求出直线AB′的函数关系式，令其y＝0求出x值即可得出点P的坐标，再利用分割图形求面积法即可求出S△PAB的值．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4＝3，
∴点A的坐标为（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，
∴3＝k，
∴反比例函数的表达式为y＝．
联立直线AB与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）观察函数图象可知：当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y＝的图象的上方，
故﹣x+4＞的解集为：x＜0或1＜x＜3．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B（3，1），点B、B′关于x轴对称，
∴点B′（3，﹣1）．
设直线AB′的表达式为y＝mx+n（m≠0），
则，解得：，
∴直线AB′的表达式为y＝﹣2x+5．
令y＝﹣2x+5中y＝0，则x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
S△PAB＝S△ABB′﹣S△PBB′＝BB′•（xB﹣xA）﹣BB′•（xB﹣xP）＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）联立两函数关系式成方程组求出交点坐标；（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解集该题型题目时，通过联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
16．（2019秋•嵊州市期中）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），即可求解；
（2）利用两点间的距离公式解答；
（3）S△PAB＝PH×OA＝（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝﹣x2﹣x，即可求解．
【解答】（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0），
∴由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y＝a（x﹣1）（x+3）．
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a．
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
由题意，得M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，m+3）
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；
（3）解：由（2）知，直线AB为y＝x+3．
作PH⊥x轴于Q，交直线AB于H，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3），
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝（x+）2+，
当 x＝时，S最大＝，y＝﹣（）2﹣2×（）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（，）．
【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
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日期：2021/5/13 13:05:41；用户：沈泽军；邮箱：18298363750；学号：21978915
平面坐标系中三角形面积
1．（2020•邵阳县一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 ．
2．（2019春•铜山区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM＝2，则k的值是 ．
3．（2018春•白云区校级期中）如图，已知A（2，0），过点A的两条直线l1，l2分别交y轴于点B、C，AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．若D（4，1），请说明A、C、D三点是否共线．
4．（2018春•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（﹣5，0），C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE．
（1）求△ABC的面积；
（2）求的值及△ACE的面积．
5．（2019春•西华县期末）一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过点A（﹣3，2），且与y轴分别交于点B，C．
（1）求这两个一次函数的解析式；
（2）求S△ABC．
6．（2018•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
7．如图，直线y1＝3x﹣5与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
8．（2019秋•临颍县期末）如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，其中A（2，m），B（n，n﹣2），连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
9．（2020秋•莲湖区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
10．（2020•巴中模拟）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于A（1，4），B（4，n）两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值．
（2）根据图象直接写出﹣（﹣x+b）＞0的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2018•宁夏）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
12．（2018•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
13．（2019•滨海县二模）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
14．（2019春•江阴市期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△AOB，求点P的坐标．
15．（2020•磴口县校级二模）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数y＝的值自变量x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
16．（2019秋•嵊州市期中）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
平面坐标系中三角形面积
参考答案与试题解析
（2020•邵阳县一模）1．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
【解答】解：∵点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，
∴A、C两点到x轴的距离相等，
∴S△OBA＝S△OBC，
∵S△OBA＝|k|＝×2＝1，
∴S△OBC＝1，
∴S△ABC＝S△OBA+S△OBC＝2．
故答案为2．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
2．（2019春•铜山区期末）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM＝2，则k的值是 2 ．
【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，
∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，
∴△AMO和△BMO的面积相等，且为1，
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为2，
又因为点A在第一象限内，
所以可知反比例函数的系数k为2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，利用了反比例函数的图象在一、三象限和S△＝|xy|而确定出k的值．
3．（2018春•白云区校级期中）如图，已知A（2，0），过点A的两条直线l1，l2分别交y轴于点B、C，AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．若D（4，1），请说明A、C、D三点是否共线．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式，把D（4，1）代入直线l2的解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），
∴AO＝2，
在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，
即22+OB2＝（）2，
∴OB＝3，
∴B（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴4＝BC×OA，即4＝BC×2，
∴BC＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∴C（0，﹣1），
设l2的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
直线L2所对应的函数关系式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝4﹣1＝1，
∴点D（4，1）在直线l2上，
∴A、C、D三点共线．
【点评】本题主要考查了两条直线的交点问题和坐标与图形的性质、三角形的面积，属于基础题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．
4．（2018春•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（﹣5，0），C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE．
（1）求△ABC的面积；
（2）求的值及△ACE的面积．
【分析】（1）求出BC长和AO长，根据三角形面积公式求出即可；
（2）证△AOC≌△BOE，推出OE＝OC＝2，求出AE＝3，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：AO＝OB＝5，OC＝2，∠AOB＝∠AOC＝90°，
BC＝5+2＝7，
∴△ABC的面积是BC×AO＝×5＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠DBC＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠CAO＝∠CBD，
在△AOC和△BOE中
∴△AOC≌△BOE，
∴OE＝OC＝2，
∴AE＝5﹣2＝3，
∴＝，
∴△ACE的面积是AE×OC＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
5．（2019春•西华县期末）一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+b的图象都经过点A（﹣3，2），且与y轴分别交于点B，C．
（1）求这两个一次函数的解析式；
（2）求S△ABC．
【分析】（1）根据两直线相交的问题，把A点坐标分别代入y＝2x+a与y＝﹣x+b，然后求出a和b即可得到两直线解析式；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入y＝2x+a得2×（﹣3）+a＝2，解得a＝8；
把A（﹣3，2）代入y＝﹣x+b得3+b＝2，解得b＝﹣1，
所以两个一次函数解析式为y＝2x+8，y＝﹣x﹣1；
（2）当x＝0时，y＝2x+8＝8，则B（0，8）；当x＝0时，y＝﹣x﹣1＝﹣1，则C（0，﹣1），
所以S△ABC＝×3×（8+1）＝．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
6．（2018•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），
∴，得，
∴此抛物线的表达式是y＝x2+4x﹣5；
（2）∵抛物线y＝x2+4x﹣5交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，﹣5），
∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，
当y＝﹣5时，﹣5＝x2+4x﹣5，得x＝0或x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），
∴AD＝4，
∴△EAD的面积是：＝20；
（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
，得，
即直线AB的函数解析式为y＝﹣x﹣5，
当x＝p时，y＝﹣p﹣5，
∵OB＝5，
∴△ABP的面积是：S＝＝，
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p＜0，
∴当p＝﹣时，S取得最大值，此时S＝，点p的坐标是（，﹣），
即点p的坐标是（，﹣）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是．
【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
7．（2019秋•临颍县期末）如图，直线y1＝3x﹣5与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据直线和双曲线的交点坐标即可求解；
（2）根据直线与x轴和y轴的交点即可求解；
（3）观察两个图象及其交点坐标，根据直线在双曲线的上方即可得结论．
【解答】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线 y＝3x﹣5上，
∴﹣6＝3n﹣5，解得n＝﹣，∴B（﹣，﹣6），
∵反比例函数的图象也经过点B，
∴，解k＝3；
答：k和n的值为3、﹣．
（2）设直线y＝3x﹣5分别与 x轴、y轴相交于点C、点D，
当 y＝0时，即，∴，
当x＝0时，y＝3×0﹣5＝﹣5，∴OD＝5，
∵点A（2，m）在直线y＝3x﹣5上，∴m＝3×2﹣5＝1．即A（2，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△BOD＝．
答：△AOB的面积为．
（3）根据图象可知：
或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是综合运用两个函数的知识．
8．（2019春•武昌区校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数交于A、B两点，与x轴交于点C，其中A（2，m），B（n，n﹣2），连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B坐标代入一次函数解析式求出n的值，确定出B坐标，过A作AD垂直于OC，过B作BE垂直于OC，三角形AOB的面积＝三角形AOD的面积+四边形BEDA的面积﹣三角形OBE的面积，求出即可．
【解答】解：（1）将A（2，m）代入一次函数y＝﹣x+6中，得：m＝﹣2+6＝4，
∴A（2，4）代入反比例解析式得：4＝，即k＝8，
则反比例解析式为y＝；
（2）将B（n，n﹣2）代入一次函数解析式得：n﹣2＝﹣n+6，即n＝4，
∴B（4，2），
过AD⊥OC，BE⊥OC，
则S△AOB＝S△AOD+S四边形BEDA﹣S△BOE＝×2×4+×2×（2+4）﹣×4×2＝6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9．（2020秋•莲湖区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）依据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，即可得到m＝1，n＝2，把A（1，8），B（4，2），代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）依据D（5，0），可得OD＝5，再根据△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积，进行计算即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，
∴8m＝8，4n＝8，
解得m＝1，n＝2，
∴A（1，8），B（4，2），
代入一次函数y＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）如图，在y＝﹣2x+10中，令y＝0，则x＝5，即D（5，0），
∴OD＝5，
∴△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积
＝×5×8﹣×5×2
＝15．
【点评】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
10．（2020•巴中模拟）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于A（1，4），B（4，n）两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值．
（2）根据图象直接写出﹣（﹣x+b）＞0的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A点坐标分别代入y＝﹣x+b和中可求出k、b的值；
（2）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）直线AB与x轴的交点为D，则D（5，0），利用三角形面积公式先计算出S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝，则S△PAC＝3，由于OA＝OC，所以S△OPA＝S△OCP＝，设P（0，t），根据三角形面积公式得到×|t|×1＝，然后求出t得到P点坐标．
【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y＝﹣x+b和得4＝﹣1+b，，
解得b＝5，k＝4；
（2）﹣（﹣x+b）＞0的解集为x＞4或0＜x＜1；
（3）存在．
直线AB与x轴的交点为D，
由（1）知，b＝5，k＝4，
∴直线y＝﹣x+b的表达式为y＝﹣x+5，
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则D（5，0），
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝×5×4﹣×5×1＝，
∴S△PAC＝S△AOB＝×＝3，
∵点C与点A关于原点对称，
∴OA＝OC，
∴S△OPA＝S△OCP＝S△PAC＝，
设P（0，t），
∴×|t|×1＝，解得t＝3或t＝﹣3，
∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
11．（2018•宁夏）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2
过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．
12．（2018•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
【分析】（1）由对称轴直线x＝2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：x＝﹣＝﹣＝﹣2，c＝2，
解得：b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，BC＝6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x＝1代入抛物线解析式得：y＝7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y＝kx+2，
把B坐标代入得：k＝﹣1，即y＝﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴＝，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB＝2：3或AQ：QB＝3：2，即AQ：AB＝2：5或AQ：AB＝3：5，
∵BM＝5，
∴QH＝2或QH＝3，
当QH＝2时，把x＝﹣2代入直线AB解析式得：y＝4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y＝x+6，令y＝0，得到x＝﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH＝3时，把x＝﹣3代入直线AB解析式得：y＝5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
13．（2019•滨海县二模）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB＝S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，a＝x+4＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
将点A（﹣1，3）代入y＝中，
3＝，解得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（2）当y＝b+4＝1时，b＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y＝mx+n中，
，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝2x+5．
当y＝2x+5＝0时，x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
（3）S△PAB＝S△ABD﹣S△BDP＝×2×2﹣×2×＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、轴对称中的最短路线问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数表达式；（2）利用对称找出PA+PB的值最小时点P的位置；（3）利用分割图形求面积法求出△PAB的面积．
14．（2019春•江阴市期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y＝（k为常数且k≠0）求得k，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，求得B（﹣3，1），由直线y＝x+4求得C（﹣4，0），设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，解得：b＝﹣3，
∴B（﹣3，1），
当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4，
∴点C（﹣4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×3﹣×4×1＝6﹣2＝4，S△ACP＝S△AOB，
∴×3×|x﹣（﹣4）|＝×4＝3，解得x1＝﹣6，x2＝﹣2，
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过函数图象上点的坐标特征求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
15．（2020•磴口县校级二模）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数y＝的值自变量x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【分析】（1）由点A在一次函数图象上即可求出a值，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线AB与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据点B的坐标即可得出点B′的坐标，由点A、B′的坐标利用待定系数法即可求出直线AB′的函数关系式，令其y＝0求出x值即可得出点P的坐标，再利用分割图形求面积法即可求出S△PAB的值．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4＝3，
∴点A的坐标为（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，
∴3＝k，
∴反比例函数的表达式为y＝．
联立直线AB与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）观察函数图象可知：当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y＝的图象的上方，
故﹣x+4＞的解集为：x＜0或1＜x＜3．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B（3，1），点B、B′关于x轴对称，
∴点B′（3，﹣1）．
设直线AB′的表达式为y＝mx+n（m≠0），
则，解得：，
∴直线AB′的表达式为y＝﹣2x+5．
令y＝﹣2x+5中y＝0，则x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
S△PAB＝S△ABB′﹣S△PBB′＝BB′•（xB﹣xA）﹣BB′•（xB﹣xP）＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）联立两函数关系式成方程组求出交点坐标；（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解集该题型题目时，通过联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
16．（2019秋•嵊州市期中）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），即可求解；
（2）利用两点间的距离公式解答；
（3）S△PAB＝PH×OA＝（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝﹣x2﹣x，即可求解．
【解答】（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0），
∴由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y＝a（x﹣1）（x+3）．
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a．
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
由题意，得M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，m+3）
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；
（3）解：由（2）知，直线AB为y＝x+3．
作PH⊥x轴于Q，交直线AB于H，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3），
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝（x+）2+，
当 x＝时，S最大＝，y＝﹣（）2﹣2×（）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（，）．
【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/5/13 13:05:41；用户：沈泽军；邮箱：18298363750；学号：21978915
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