2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试题（word版 含答案）

这是一份2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．目前我国经济保持了中高速增长，2020年国内生产总值突破100万亿元，稳居世界第二，将数据“100万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1×1013 B．1×1014 C．1×1015 D．1×1016
3．下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
4．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．若点M(a，-1)与点N(2，b)关于y轴对称，则a+b的值是( )
A．3 B．-3 C．1 D．-1
6．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（　　）
A．13或11 B．12或﹣11 C．13 D．12
7．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3
8．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（  ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )

A．15° B．35° C．25° D．45°
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC， AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：36，则S△BDE与S△BAC的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：36
11．如图，点P是菱形AOBC内任意一点，∠C＝45°，OP＝2，点M和点N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2
12．如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤

二、填空题
13．若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
14．分解因式：m2n+4mn﹣4n＝_____．
15．已知一组从小到大排列的数据： 1，，，2，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是______________．
16．如图，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为_____°．

17．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，则图中阴影部分的面积为_____．

18．已知正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3…在直线y＝x+1上，C1，C2，C3…在x轴上，则点A2021的坐标是_____．


三、解答题
19．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0+2cos30°．
（2）解分式方程：．
20．如图，已知⊙O和点P（点P在⊙O内部），请用直尺和圆规作⊙O的一条弦AB，使得弦AB经过点P且最短（要求不写作法，保留作图痕迹）．

21．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）相交于点A(，4)和点B(m，1)．
（1）求k的值和直线AB的表达式；
（2）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．

22．为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个不同的等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；

(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空: ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少?
23．学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC．
25．如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．

26．已知：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，点F是线段OD的中点，连接EF．

（1）如图1，若AB＝2，∠CBD＝30°，则线段EF的长为　 　．
（2）如图2，设EF与AC的交点为P，连接AF．
①求证：点P是线段EF的中点；
②若AF＝EF，矩形ABCD的形状有怎样的变化？并证明你的结论．


参考答案
1．B
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】
-2的倒数是-
故选B
【点睛】
本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：100万亿＝100000000000000＝1×1014，
故选：B．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的运算、积的乘方、合并同类项逐项判断即可．
【详解】
A、，此项正确
B、，此项正确
C、，此项正确
D、，此项错误
故选：D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的运算、积的乘方、合并同类项，熟记各运算法则是解题关键．
4．B
【详解】
解：由题意可得：，
解得：．
经检验：是原方程的解且符合题意，
故选B．
5．B
【详解】
∵点M(a，-1)与点N(2，b)关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a+b=-3，
故选B.
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特定：点P（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为P1（a，-b）；点P（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为P2（-a，b）．
6．C
【详解】
试题解析：∵关于x的一元二次方程x2-kx+2k-1=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=k，x1x2=2k-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，即k2-4k-5=0，
解得：k1=-1，k2=5．
当k=-1时，原方程为x2+x-3=0，
∴△=12-4×1×（-3）=13＞0，
∴k=-1符合题意，此时x1+x2=-1，x1x2=-3，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=13；
当k=5时，原方程为x2-5x+9=0，
∴△=（-5）2-4×1×9=-11＜0，
∴k=5不符合题意，舍去．
综上可知：（x1-x2）2的值是13．
故选C．
7．C
【分析】
根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m-1，即可得出m的取值范围．
【详解】
，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故选C．
【点睛】
考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则得出是解题关键．
8．B
【详解】
①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；
故选B．
9．A
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
【详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
10．D
【详解】
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴=（）2=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴=（）2=，
故选D．
11．B
【分析】
设点P关于OA的对称点为J，关于OB的对称点为K，当点M、N在JK上时，△PMN的周长最小．
【详解】
解：∵四边形AOBC是菱形，∠C＝45°，
∴∠AOB＝45°，
分别作点P关于OA、OB的对称点J、K，连接JK，分别交OA、OB于点M、N，连接OJ、OK．
∵点P关于OA的对称点为J，关于OB的对称点为K，
∴PM＝JM，OP＝OJ，∠JOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为K，
∴PN＝KN，OP＝OK，∠KOB＝∠POB，
∴OJ＝OK＝OP＝2，∠JOK＝∠JOA+∠POA+∠POB+∠KOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝90°，
∴△JOK是等腰直角三角形，
∴JK＝．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝JM+MN+KN≥JK＝2，
故选：B．

【点睛】
本题考查了轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
12．B
【详解】
试题分析：①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
试题解析：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为-2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：

可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3，2，由图象可得：当-3＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选B．
考点：二次函数综合题.
13．x≠－2
【分析】
要使分式有意义，则必须满足分式的分母不为零.

【详解】
根据题意可得：x+2≠0， 解得：x≠2．
【点睛】
本题主要考查的是分式有意义的条件，属于基础题型．理解分式的性质是解题的关键．
14．n（m2+4m﹣4）
【分析】
运用提取公因式法分解即可．
【详解】
解：m2n+4mn﹣4n＝n（m2+4m﹣4）．
故答案为：n（m2+4m﹣4）．
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．
15．6
【分析】
根据平均数和中位数列出方程组，从而得出关于x和y的二元一次方程组，从而得出答案．
【详解】
解：根据题意可得：，
解得：，
∴这组数据为：1、3、4、6、6、10，
∴这组数据的众数为6．
【点睛】
本题主要考查的就是平均数、中位数与众数的定义，属于基础题型．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据；众数是指在一组数据中，出现次数最多的数据．
16．28
【分析】
如解析图，由平行线的性质可求得∠1＝∠C，再根据三角形外角的性质可求得∠A．
【详解】
解：如图，

∵直线a∥b，
∴∠1＝∠C＝50°，
又∠1＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠1﹣∠B＝50°﹣22°＝28°，
故答案为：28．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形的外角定理，熟记基本性质和定理是解题关键．
17．
【分析】
连接BD，过A作AF⊥BD于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）求出答案即可．
【详解】
解：连接BD，过A作AF⊥BD于F，则∠AFB＝90°，如图，

∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，
∴扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）
＝﹣（）
＝+，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=．
18．(22020﹣1，22020)
【分析】
根据直线y＝x+1 这个条件，可以判定直线与x轴的夹角是45°，且OA1＝1；再结合正方形条件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；点Ak（k＝1，2，3，…） 的高度（纵坐标）恰为前一个正方形边长的2倍，也是Ak﹣1 高度（纵坐标）的2倍．即Ak＝2×Ak﹣1，所以，其中 A1＝1．
【详解】
解：根据条件y＝x+1，可以得到该直线与x轴的夹角是45°，且OA1＝1，即；
再结合正方形条件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；
于是A2 的高度是1+1＝2，即；
A3的高度是2+2＝4，即；
同样A4 的高度是4+4＝8，即；
An的高度是2n-1．
所以当n＝2021 时，A2021的高度是22020，即，
于是将该点的纵坐标代入y＝x+1，得到x＝22020﹣1．
故答案是：（22020﹣1，22020）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征及正方形的性质，找到相关点的坐标规律是解题的关键．
19．（1）﹣1；（2）无解
【分析】
（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）原式

＝﹣1；
（2）原分式方程左右同时乘，
去分母得：x（x+2）﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母得：＝0，
∴原分式方程无解．
【点睛】
本题考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，以及解分式方程等，熟记基本的运算法则以及分式方程最后需要检验是解题关键．
20．见解析
【分析】
作直线OP，过点P作EF⊥OP交⊙O于E，F，线段EF即为所求．
【详解】
解：如图，线段EF即为所求．

【点睛】
本题主要考查了利用垂线的做法作图，准确理解是解题的关键．
21．（1）2，y＝﹣2x+5；（2）x＜0或＜x＜2
【分析】
（1）首先利用A点的坐标根据待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入B（m，1），即可得出B点坐标，最后根据待定系数法即可得出直线AB的 解析式；
（2）根据图象求得即可．
【详解】
解：（1）∵ 双曲线y＝（k≠0）经过A（，4），
∴ k＝＝2，
∴ 双曲线为y＝，
把B（m，1）代入得，1＝，
解得m＝2，
∴ B（2，1），
把A、B的坐标代入y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+5；
（2）由图形可知，不等式＜ax+b的解集为：x＜0或＜x＜2．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法，正确得出B点坐标是解题的关键．
22．(1)60；(2)10；(3)2000
【详解】
【分析】（1）根据B等级的人数为18，占比为30%即可求得样本容量；
（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级的人数求得C等级的人数，补全条形图，用D等级的人数除以样本容量再乘以100%即可求得n；
（3）用5000乘以A等级所占的比即可求得.
【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；
（2）C等级的人数为：60-24-18-6=12，补全条形图如图所示：

6÷60×100%=10% ，
所以n=10，
故答案为10；
（3）估计本次测试成绩为级的人数为：5000×=2000（人）.
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题的关键.
23．（1）甲单价为40元/件，乙单价为30元/件；（2）600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元
【分析】
（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依题意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．
24．（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．
【详解】
（1）连接OD，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=，
在RT△BEC中，tanC=．
25．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）；（3）(2，1+2)或(2，1﹣2)或(2，3)
【分析】
（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求；
（2）设出点P的坐标（m，m2﹣4m+3），用含有m的式子求得△PBC的面积，应用二次函数的性质可求△PBC面积的最大值时的m的值，P点坐标可求；
（3）利用分类讨论的思想，分以CE为边和以CE为对角线两种情形讨论．利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3），

设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴D（m，﹣m+3）．
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理为顶点式得：．
∵，
∴当m＝时，S△PBC有最大值．
当m＝时，代入抛物线解析式得函数值．
∴P．
（3）如下图，

∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为（2，1）．
∵C（0，3），
∴EC＝．
①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，
根据菱形的四条边相等，
∴．
∵点M在对称轴x＝2上，
∴，．
②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，
∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，
∴△CN3F是等腰直角三角形．
∴．
则点M3的坐标为（2，3）．
综上，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，准确求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数最值问题的常用求解方式，并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
26．（1）；（2）①见解析，②矩形变成正方形，见解析
【分析】
（1）连接CF，根据正切的定义求出BC，根据矩形的性质、等边三角形的判定定理得到CF⊥OD，根据直角三角形的性质解答即可；
（2）①取OB的中点G，连接EG，根据三角形中位线定理得到EG∥OC，根据平行线分线段成比例定理证明即可；
②过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，根据平行线分线段成比例定理得到点H是线段EC的中点，根据线段垂直平分线的判定定理得到DA＝DC，根据正方形的判定定理证明结论．
【详解】
（1）解：如图1，连接CF，
∵ 四边形ABCD为矩形，∠CBD＝30°，
∴ OC＝OD，∠BDC＝60°，BC＝＝，
∴ △OCD为等边三角形，
∵点F是线段OD的中点，
∴ CF⊥OD，
∵点E是BC边的中点，
∴ EF＝BC＝，
故答案为：；

（2）①证明：如图2，取OB的中点G，连接EG，
∵点E是BC边的中点，
∴ EG∥OC，
∴ ，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OB＝OD，
∵点F是线段OD的中点，
∴ OF＝OG，
∴ FP＝PE，即点P是线段EF的中点；
②解：矩形ABCD是正方形，
理由如下：过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，
∵OB＝OC，点E是BC边的中点，
∴ OE⊥BC，
∴ OE∥FH∥CD，
∵ 点F是线段OD的中点，
∴ 点H是线段EC的中点，
∴ FE＝FC，
∵AF＝FE，
∴ AF＝CF，
∵ OA＝OC，
∴ DA＝DC，
∴ 矩形ABCD为正方形．

【点睛】
本题考查的是正方形的判定定理、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握矩形的性质定理、正方形的判定定理是解题的关键．