黑龙江省哈尔滨市2020-2021学年高二下学期期中考试：数学（理）+答案（pdf版）

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选择题：ABBCC ADACD CD填空题： 13. 5   14.    15.    16.17．（1）；（2）极小值，无极大值；【详解】（1）设切点为，因为，所以，，，...................2所以切线方程为，即．......................4（2）的定义域为．（3）令即，，..............................6令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，..............................................8所以存在极小值，无极大值，.......................10 18．（1）；（2）.【详解】（1）当时，，.............................1由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，...........................3且..........................................................5则函数的最小值为,最大值为2..................................6（2）由题得，若恒成立，则，即恒成立...........................................8令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，.................10则，所以，故的取值范围为....................................12  19．（1）函数定义域为，，.......................2因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或......5经检验，时，是函数的极值点，所以.................................6(2)若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间；................................8若，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是................11综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是......12 20．解：(1)令，..........................2的定义域为，， 当时，恒成立，∴在上单调递减，......................4∴当时，恒成立， ...............................6故当时，； (2)设，的定义域为，，设，的定义域为，， 当时，恒成立，∴在上单调递减，...............7又，，∴存在唯一的使据，...........8 当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，.............................10又，，， ......................11∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根..............................1221．（1）由题意，当,时，，所以，当时，； 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值.所以.......................................4（2）当时，， ，在恒成立，所以在上单调递增，.....6①当时，，所以在上单调递增，所以，满足题意. ..........................8②当时，因为在上单调递增，所以，存在，使得当时，，在上单调递减，............10所以当时，，这与在上恒成立矛盾................11综上所述，，即实数a的取值范围..................................12 22．（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析.【详解】（1），令，，因为，，所以当是，，单调递减，所以当时，，单调递增，所以，所以当时，，当时，，的单调递减区间，单调递增区间为..................................4（2）（i），要使在上有两个极值点，，则在上有两个不同的零点，①时，由（1）知，，令，故，所以在上为增函数，所以，故，故在上无零点，舍.②当时，，，，则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即要使，解得，综上所述，a的取值范围为...................................8（ii）由（i）知，，，即，故，所以，要证，只要证，就要证，由上可知在上单调递增，所以只要证，而，所以只要证，（*）令，即，所以，故在上单调递增，所以当时，，即，，即（*）式成立，所以得证...................................................12