2022版新教材高考数学一轮复习45圆的方程训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习45圆的方程训练含解析新人教B版，共7页。试卷主要包含了在直角坐标系中，已知A，B，设抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A 解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2，))代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2．已知圆C经过A(0,2)，B(4,6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－6x－16＝0
B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0
C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0
D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0
C 解析：因为线段AB的中点坐标为(2,4)，直线AB的斜率为eq \f(6－2,4－0)＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－4＝－(x－2)，即y＝6－x.与直线l的方程联立，得圆心坐标为(3,3)．又圆的半径r＝eq \r(3－02＋3－22)＝eq \r(10)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.
3．(2021·衡水中学高三月考)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y＋1＝0
C 解析：圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－1)).因为圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，所以圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－1))和(0,0)的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，－\f(1,2)))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，－\f(1,2)))满足直线方程y＝x－1，解得a＝2.
过点C(－2,2)的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为(x，y)，
所以eq \r(x＋22＋y－22)＝|x|，解得y2＋4x－4y＋8＝0，
所以圆心P的轨迹方程是y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.
4．(多选题)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
ABD 解析：圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
圆的圆心坐标(4，－3)，半径为5.
显然选项C不正确，ABD均正确．
5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3))) 解析：若方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq \f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq \f(2,3).
6．(2020·南宁高三一模)已知圆C经过A(5,1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________．
(x－2)2＋y2＝10 解析：由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线的方程为y＝2x－4.令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径为eq \r(5－22＋1－02)＝eq \r(10)，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
7．(2020·上海高三一模)在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(4,0)．若直线x＋my－1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是____________．
(－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞) 解析：设点P的坐标为(x，y)．因为|PA|＝2|PB|，所以eq \r(x－12＋y2)＝2eq \r(x－42＋y2)，
化简得(x－5)2＋y2＝4，则动点P的轨迹是以(5,0)为圆心，半径为2的圆．
由题意可知，直线x＋my－1＝0与圆(x－5)2＋y2＝4有公共点，
则eq \f(4,\r(1＋m2))≤2，解得m≤－eq \r(3)或m≥eq \r(3).
因此，实数m的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞)．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3).
(1)求圆心C的轨迹方程；
(2)若点C到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆C的方程．
解：(1)设C(x，y)，圆C的半径为r.
由题意得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，
从而y2＋2＝x2＋3，
故C的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设C(x0，y0)，由已知得eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
又点C在双曲线y2－x2＝1上，
从而得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x0－y0|＝1，,y\\al(2,0)－x\\al(2,0)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1.))
此时，圆C的半径r＝eq \r(3)，
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
9．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直线l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
B组 新高考培优练
10．(多选题)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2eq \r(7)，则圆Ω的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y－2)2＝10
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25
D．(x－4)2＋(y－1)2＝16
AC 解析：因为圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，所以圆心在直线y＝2上．
设圆心坐标为(a,2)，
由题意得
eq \f(|a－2|,\r(2))＝eq \r(a2＋5－22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(7),2)))2)，
解得a＝0或a＝－4.
当a＝0时，圆心坐标为(0,2)，半径为3；
当a＝－4时，圆心坐标为(－4,2)，半径为5，
所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.
11．(多选题)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2，0)， eq \\ac(CD,\s\up10(︵)) 是以OD为直径的圆上一段圆弧， eq \\ac(CB,\s\up10(︵)) 是以BC为直径的圆上一段圆弧， eq \\ac(BA,\s\up10(︵)) 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是( )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. eq \\ac(CB,\s\up10(︵)) 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D. eq \\ac(CB,\s\up10(︵)) 与 eq \\ac(BA,\s\up10(︵)) 的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1
BCD 解析：如图，曲线W与x轴围成的图形为以(0,1)为圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形．
可得其面积为eq \f(1,2)π＋eq \f(1,2)π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故B正确；
eq \\ac(CB,\s\up10(︵)) 是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
由图易知公切线l平行直线GF：y＝－x＋1，且两直线间距离为1，设l：y＝－x＋b(b>0)，则eq \f(|b－1|,\r(2))＝1，解得b＝1＋eq \r(2)或b＝1－eq \r(2)(舍)，∴l：y＝－x＋1＋eq \r(2)，故D正确．
12．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为__________．
(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1 解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)．
又F(1,0)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，－a)．
由题意得eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AF,\s\up6(→))的夹角为120°，得cs 120°＝eq \f(－1,1×\r(1＋a2))＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \r(3).
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1.
13．已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则eq \r(x2＋y2)的最大值为________，|3x＋4y－28|的最小值为________．
11 5 解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而eq \r(x2＋y2)表示圆上的点到坐标原点的距离，所以(eq \r(x2＋y2))max＝eq \r(32＋－42)＋6＝11.由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36，可设其圆上点的坐标为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ＋3，,y＝6sin θ－4))(θ为参数)，所以|3x＋4y－28|＝|18cs θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(3,4)))，所以当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.
14．(2020·潍坊高三月考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝5，直线l：mx－y＋1＋2m＝0，m∈R.
(1)证明：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．
(3)是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为eq \f(4\r(5),5)？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
(1)证明：(方法一)圆C：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为C(－2，0)，半径为eq \r(5)，所以圆心C到直线l：mx－y＋1＋2m＝0的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2m＋1＋2m,\r(1＋m2))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(1＋m2))))所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点．
(方法二)直线l：mx－y＋1＋2m＝0的方程可化为m(x＋2)＋(1－y)＝0，所以直线l过定点(－2，1)．因为(－2＋2)2＋12＝1<5，所以点(－2,1)是圆C内一点，故直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)解：设中点为M(x，y)．
因为直线l：mx－y＋1＋2m＝0恒过定点(－2,1)，
所以当直线l的斜率存在时，kAB＝eq \f(y－1,x＋2).
又kMC＝eq \f(y,x＋2)，kAB·kMC＝－1，
所以eq \f(y－1,x＋2)·eq \f(y,x＋2)＝－1，
化简得(x＋2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)(x≠－2).
当直线l的斜率不存在时，
中点M(－2,0)也满足上述方程．
所以M的轨迹方程是(x＋2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)，它是一个以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))为圆心，以eq \f(1,2)为半径的圆．
(3)解：假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为eq \f(4\r(5),5).由于圆心C(－2,0)，半径为eq \r(5)，则圆心C(－2，0)到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2m＋1＋2m,\r(1＋m2))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(1＋m2))))化简得m2>4，解得m>2或m<－2，即m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，
＋∞)．