江西省南昌市2020-2021学年高二下学期期中联考数学（理）试题（word版 含答案）

2020—2021学年度下学期期中联考

高二数学（文科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（      ）

A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限             D．第四象限

2．用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假设正确的是（      ）

A．至少存在两个实数，使成立        B．至多存在一个实数，使成立

C．任意实数，恒成立                D．不存在实数，使成立

3．设存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（      ）

A．                 B．                 C．1                    D．2

4．记函数的导函数为，且满足，则（      ）

A．                B．1                    C．                  D．3

5．（      ）

A．                B．                 C．                  D．

6．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（      ）

A．              B．                C．               D．

7．（      ）

A．9                  B．                 C．               D．16

8.在区间上任取两个实数，，则函数无极值点的概率为（      ）

A.                  B.                    C.                    D.

9．已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（      ）

A．                       B．

C．                        D．

10．将三角形数列中的各项排列如下所示：

，

，，，

，，，，，

，，，，，，，

…

以此类推，则数列的第2021项为（      ）

A．                B．                 C．                 D．

11．已知函数，其中为自然对数的底数，……，则的零点个数为（      ）

A．0                  B．1                    C．2                    D．3

12．在边长为2的等边三角形中，点（与，不重合）在边上，于点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，则四棱锥的体积的最大值为（      ）

A．               B．                C．                D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）

13．若三角形的内切圆半径为，三边的长分别为，，，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为，四个面的面积分别为，，，，则此四面体的体积___________．

14．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有_________种．（用数字作答）

15．已知函数，，．当直线与曲线相切时，切点的坐标为_________.

16．若对任意，恒有（为自然对数的底数），则实数的最小值为_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

求由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积．

18．（本小题满分12分）

某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课．

（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？

（Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

19．（本小题满分12分）

已知，，求证：.

20．（本小题满分12分）

已知函数，，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）求证：对任意，，都有成立．

21．（本小题满分12分）

已知数列的前项和，满足，且．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

22．（本小题满分12分）

已知函数（且）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，求证：对任意，恒成立．

2020—2021学年度下学期期中联孝

高二数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．C  ∵，∴复数在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限．故选C．

2．D  根据反证法的原理，“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数”，

故假设“不存在实数，使成立”．故选D．

3．A  由题意得，曲线在点处的切线的斜率为

，故选A．

4．A  由题意得，，∴，解得．故选A．

5．B  ∵，∴．故选B．

6．D  由题意得，，

∴，

∴．故选D．

7．B  ，

∴是奇函数，且在区间关于原点对称，∴，

对应的区域是一个半径为3的半圆，面积为，

∴．故选B．

8．B  由题意得，无零点，∴，∵，，∴．在区间上任取两个实数，所对应的点构成的区域为正方形，则函数无极值点构成的区域为，如图，则所求概率．故选B．

9．D  是奇函数，∴是偶函数．设，

∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，

∵．当时，不等式等价于，当时，不等式等价于，

∴原不等式的解集为．故选D．

10．C  由题意得，前行项的个数为，当时，；当时，，∴是第45行第85个数，，故选C．

11．C由题意得，，∴当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．∵，∴存在唯一．使得，即在上存在唯一零点．∵，∴存在唯一，使得，即在上存在唯一零点．综上，有且只有两个零点．故选C．

12．B  设，则，，∴的面积，底面的面积.

由题意得，当四棱锥的体积最大时，平面底面，可得底面，此时四棱锥的体积

，其中，

则，令，则为唯一的极值点，

也是最大值点，∴当时，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）

13．

设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则

．

14．128

∵学生只能从东门或西门进入校园，∴4名学生进入校园的方式共2+=16种．

∵教师只可以从南门或北门进入校园，∴3名教师进入校园的方式共有种．

∴3名教师和4名学生要进入校园的方式共有种情况．

15．

设切点坐标为，，由题意得，，

∴．令，则

，∴在上单调递减，∴最多有一个实数根．又∵，∴，∴，∴切点坐标为．

16．1

∵等价于，

即．令，则，

，易得函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴函数在上单调递增．

∵等价于，∴，则

，即．令，则，易得函数

在上单调递增，在上单调递减，∴，．∴，

∴实数的最小值为1．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

由，得交点坐标为，

∴所求面积为.

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，

则不同的排法有（种）．

（Ⅱ）若将这了节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，

则不同的排法有（种）.

19．（本小题满分12分）

要证，即证，

即证，即证.

∵，，∴恒成立，则原不等式成立．

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意得，函数的定义域为，．

令，解得；令，解得，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上单调递增，又，

∴函数在区间上的最小值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在处取得最小值，

即，∴．

∵，则．

易得函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在处取得最大值，即，∴，

∴对任意，，都有成立．

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）对任意的，，且．

当时，，整理得，且，

∴；

当时，，整理得，且，

∴；

当时，，整理得，且，

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想，，

下面用数学归纳法加以证明：

①当时，由（Ⅰ）知成立；

②假设当时，成立．

当时，

，

∴，且，

∴，即当时猜想也成立．

综上所述，猜想对一切都成立

22．（本小题满分12分）

（Ⅰ）．

若，令，则，∴，解得，

令，解得；

若，令，则，∴，解得，

令，解得．

综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）∵，∴，∴．（*）

当时，不等式（*）两边取对数，则．

记函数，则.

令，解得，令，解得，

则在上单调递增，在上单调递减，

∴．

令函数，则，

令，解得，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，

∴当时，恒成立，∴恒成立，

∴当时，对任意，恒成立．