山东省淄博市2020年中考数学试卷

这是一份山东省淄博市2020年中考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省淄博市2020年中考数学试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.若实数a的相反数是﹣2，则a等于（     ）
A. 2                                          B. ﹣2                                          C.                                           D. 0
2.下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）
A.                  B.                  C.                  D. 
3.李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（     ）
A. 4，5                                    B. 5，4                                    C. 5，5                                    D. 5，6
4.如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（     ）

A. 30°                                       B. 35°                                       C. 40°                                       D. 45°
5.下列运算正确的是（     ）
A. a2+a3＝a5                       B. a2•a3＝a5                       C. a3÷a2＝a5                       D. （a2）3＝a5
6.已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（     ）
A.                             B.                             C.                             D. 
7.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A. AC＝DE                      B. ∠BAD＝∠CAE                      C. AB＝AE                      D. ∠ABC＝∠AED
8.化简 的结果是（     ）
A. a+b                                  B. a﹣b                                  C.                                   D. 
9.如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（     ）

A. 36                                         B. 48                                         C. 49                                         D. 64
10.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（     ）

A. 2π+2                                    B. 3π                                    C.                                     D. +2
11.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（     ）

A. 12                                         B. 24                                         C. 36                                         D. 48
12.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ）

A. a2+b2＝5c2                    B. a2+b2＝4c2                    C. a2+b2＝3c2                    D. a2+b2＝2c2
二、填空题（共5题；共5分）
13.计算： ＝________．
14.如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为________．

15.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
16.如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝________cm．

17.某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是________个．
三、解答题（共7题；共77分）
18.解方程组：
19.已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

20.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有________人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝________，话题D所在扇形的圆心角是________度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
21.如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝ ．

（1）求y1 ， y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集．
22.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米， ≈1.4， ≈1.7等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
23.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求 的值（用含α的代数式表示）．
24.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的 ，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
2.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3.【解析】【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．
故答案为：C．
【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
4.【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故答案为：C．
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
5.【解析】【解答】解：A．a2+a3≠a5 ， 所以A选项不符合题意；
B．a2•a3＝a5 ， 所以B选项符合题意；
C．a3÷a2＝a，所以C选项不符合题意；
D．（a2）3＝a6 ， 所以D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A．根据合并同类项的定义即可判断；
B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；
C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；
D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．
6.【解析】【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
7.【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
8.【解析】【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝a﹣b．
故答案为：B．
【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
9.【解析】【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD ，
∴ ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝ 得k＝6×6＝36．
故答案为：A．
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到 ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝ 中求出k的值．
10.【解析】【解答】解：如图，
 
点O的运动路径的长＝ 的长+O1O2+ 的长＝ + + ＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用弧长公式计算即可．
11.【解析】【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝ ＝ ＝6，△ABC的面积＝ ×AC×BP＝ ×8×12＝48，
故答案为：D．
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
12.【解析】【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝ AC＝ b，BD＝ a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2 ， ①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝ b2 ， ②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝ a2 ， ③
②+③得5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④
①﹣④得c2﹣ （a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2 ．
故答案为：A．
【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2 ， 4x2+y2＝ b2 ， x2+4y2＝ a2 ， 然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
二、填空题
13.【解析】【解答】解： + ＝﹣2+4＝2．
故答案为：2
【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．
14.【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．
故答案为1．
【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．
15.【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜ ，
故答案为m＜ ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
16.【解析】【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝ AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝10（cm），∴MN＝ AC＝5（cm），
故答案为5．
【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
17.【解析】【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
三、解答题
18.【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组，y的系数互为相反数，先消掉y，可以求出x=2，再求出y。
19.【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
20.【解析】【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°× ＝36°，
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
21.【解析】【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝ ，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC ， 进行计算即可；（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集．
22.【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
23.【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得 ＝ ，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得 ，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝ ，即可求解．
24.【解析】【分析】（1）根据对称轴 x＝ ＝1 ，再把A点（-2,0）代入，得 ， 两个式子联立可以求出a、b的值。
（2）先求出平行四边形的面积， △ADR的面积是▱OABC的面积的 ， 故， 解得， 把代入二次函数，求出x的值即可求出R的坐标。
（3）∠PQE＝45°，根据圆周角定理得出∠PRE＝90°， △PRE为等腰直角三角形 ， 过点R作RH⊥ME于点H，P点在对称轴上，设P（1,2m），则点R（1+m，m），根据面积相等可以求出m的值，即求出P点坐标。