2020年山东省菏泽市中考数学试卷

这是一份2020年山东省菏泽市中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年山东省菏泽市中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 下列各数中，绝对值最小的数是（　　）
A. -5 B. C. -1 D.
2. 函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A. x≠5 B. x＞2且x≠5 C. x≥2 D. x≥2且x≠5
3. 在平面直角坐标系中，将点P（-3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A. （0，-2） B. （0，2） C. （-6，2） D. （-6，-2）
4. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（　　）
A. B. C. D.
5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
6. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　）


A. B. α C. α D. 180°-α
7. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7
8. 一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算（-4）（+4）的结果是______．
10. 方程的解是______．
11. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为______．






12. 从-1，2，-3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y=，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
13. 如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA=OB=2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为______．





14. 如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为______．





三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
15. 某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）









16. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．









四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
17. 计算：2-1+|-3|+2sin45°-（-2）2020•（）2020．







18. 先化简，再求值：（2a-）÷，其中a满足a2+2a-3=0．







19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC=ED，求证：CE=DB．














20. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？







21. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，2），B（n，-1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．









22. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．







23. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．

（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE=BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2=2OD•BD．









24. 如图，抛物线y=ax2+bx-6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB=4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．









答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：∵|-5|=5，||=，|-1|=1，||=，
∴绝对值最小的数是．
故选：B．
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2.【答案】D

【解析】解：由题意得x-2≥0且x-5≠0，
解得x≥2且x≠5．
故选：D．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3.【答案】A

【解析】解：∵将点P（-3，2）向右平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，-2）．
故选：A．
先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
本题考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
4.【答案】A

【解析】解：从正面看所得到的图形为．
故选：A．
从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数画出图形即可．
考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
5.【答案】C

【解析】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
故选：C．
由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
此题主要考查了矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大．
6.【答案】D

【解析】解：∵∠ABC=∠ADE，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠BAD+∠BED=180°，
∵∠BAD=α，
∴∠BED=180°-α．
故选：D．
证明∠ABE+∠ADE=180°，推出∠BAD+∠BED=180°即可解决问题．
本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】C

【解析】解：当3为腰长时，将x=3代入x2-4x+k=0，得：32-4×3+k=0，
解得：k=3；
当3为底边长时，关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4）2-4×1×k=0，
解得：k=4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△=0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
8.【答案】B

【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
先由二二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
9.【答案】-13

【解析】解：原式=（）2-42
=3-16
=-13．
故答案为：-13．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
10.【答案】x=

【解析】解：方程=，
去分母得：（x-1）2=x（x+1），
整理得：x2-2x+1=x2+x，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故答案为：x=．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11.【答案】

【解析】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵点D为AB边的中点，
∴BE=EC=BC=2，
在Rt△DCE中，cos∠DCB==，
故答案为：．
过点D作DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．
考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．
12.【答案】

【解析】解：画树状图得：

则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y=中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）==，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】2-π

【解析】解：连接OD，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠A=∠AOB=60°，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴OD=OA•cosA=，
同理可知，△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴图中阴影部分的面积=2×-=2-π，
故答案为：2-π．
连接OD，根据菱形的性质得到OA=AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
14.【答案】3

【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，
∴BD==13，
∵BP=BA=5，
∴PD=BD-BP=8，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DQP，
∴∠DPQ=∠DQP，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ===3．
故答案为：3．
根据矩形的性质可得BD=13，再根据BP=BA可得DQ=DP=8，所以得CQ=3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
15.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，

∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE，FB=DE，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x，AE=12x，
根据勾股定理，得
AB=13x，
∴13x=52，
解得x=4，
∴BE=FD═5x=20，
AE=12x=48，
∴DE=FB=AD-AE=72-48=24，
∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF≈24×≈32，
∴CD=FD+CF=20+32=52（米）．
答：大楼的高度CD约为52米．

【解析】如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为i=1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
16.【答案】（1）证明：连接AD、OD．

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO=90°．
∴∠EDA=∠ODB．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠EDA=∠OBD．
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°．
∴∠DEA=90°．
∴DE⊥AC．
（2）解：∵∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的半径为5，BC=16，
∴AC=10，CD=8，
∴AD==6，
∵S△ADC=AC•DE，
∴DE===．

【解析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB=90°，∠EDO=90°，从而可证明∠EDA=∠ODB，由OD=OB可得到∠EDA=∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD=∠BAD，故此∠EAD+∠EDA=90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA=90°，于是可得到DE⊥AC．
（2）由等腰三角形的性质求出BD=CD=8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式=+3-+2×-（-2×）2020
=+3-+-1
=2．

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：原式=（-）÷
=•
=•
=2a（a+2）
=2（a2+2a），
∵a2+2a-3=0，
∴a2+2a=3，
则原式=2×3=6．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为2（a2+2a），再由已知等式变形得出a2+2a=3，继而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠A=∠A，BC=DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE=AB，AC=AD，
∴CE=BD．

【解析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE=AB，AC=AD，由线段的和差关系可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△AED是本题的关键．
20.【答案】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%=60（人），
C组学生有：60-6-12-18=24（人），
即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；
（3）1500×=150（人），
答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．

【解析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：（1）将点A（1，2）代入y=，得：m=2，
∴y=，
当y=-1时，x=-2，
∴B（-2，-1），
将A（1，2）、B（-2，-1）代入y=kx+b，
得：，
解得，
∴y=x+1；
∴一次函数解析式为y=x+1，反比例函数解析式为y=；

（2）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
解得x=-1，
∴C（-1，0），
设P（m，0），
则PC=|-1-m|，
∵S△ACP=•PC•yA=4，
∴×|-1-m|×2=4，
解得m=3或m=-5，
∴点P的坐标为（3，0）或（-5，0）．

【解析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC=|-1-m|，根据S△ACP=•PC•yA=4求出m的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
22.【答案】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54-m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．

【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54-m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO=∠AEO，∠EAO=∠DCO，
又∵OA=OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD=AE，OD=OE，
∵OB=OE+BE，OB=OD+CD，
∴BE=CD，
∴AE=BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，

由（1）可知△AOE≌△COD，AE=BE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'=∠ABD，
∴∠ABD'=∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，

∵AD'∥BC，BD'∥AE，
∴四边形AD'BF为平行四边形．
∴∠D'=∠AFB，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
∴∠D'=∠ADB，
∴∠AFB=∠ADB，
又∵∠AED=∠BEF，
∴△AED∽△BEF，
∴，
∵AE=CD，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴=，
∴，
∴CD2=DE•BD，
∵△AOE≌△COD，
∴OD=OE，
∴DE=2OD，
∴CD2=2OD•BD．

【解析】（1）证明△AOE≌△COD（AAS），由全等三角形的性质得出CD=AE，OD=OE，则可得出结论；
（2）①过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）得出∠ABE=∠AEB，由折叠的性质可得出∠ABD'=∠BAE，则BD'∥AE，可得出结论；
②过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，证明△AED∽△BEF，得出，证明△BEF∽△BDC，由相似三角形的性质得出=，根据AE=CD，DE=2OD可得出结论．
本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：（1）∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-6中得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-6；

（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，

当x=0时，y=-6，
∴C（0，-6），
设BC的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴BC的解析式为：y=x-6，
设D（x，x2-x-6），则H（x，x-6），
∴DH=x-6-（x2-x-6）=-，
∵△BCD的面积是，
∴，
∴，
解得：x=1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，-），
∴△ABD的面积===；

（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，

∵B（4，0），D（3，-），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为，
当y=时，即x2-x-6=，
解得：x=1+或1-，
∴N（1-，）或（1+，）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，

∴N（-1，-）；
综上，点N的坐标为：（1-，）或（1+，）或（-1，-）．

【解析】（1）根据OA=2，OB=4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，利用待定系数法求直线BC的解析式，设D（x，x2-x-6），则H（x，x-6），表示DH的长，根据△BCD的面积是，列方程可得x的值，因为D在对称轴的右侧，所以x=1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；
（3）分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y=确定N的坐标，并正确画图．
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．